Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

На практике линейная фильтрация может применяться, например, для повышения отношения сигнал/шум на входе демодулятора, рис. 21.

Предположим, что в канале связи модулированный сигнал, представляющий собой стационарный случайный процесс со спектральной плотностью мощности , суммируется со стационарным шумом , имеющим спектральную плотность мощности , причем оба процесса имеют нулевые средние и некоррелированны между собой. Задача состоит в том, чтобы найти характеристики линейной стационарной цепи (оптимального фильтра), такой, чтобы процесс на ее выходе был близок к процессу в смысле некоторого критерия при условии, что на вход воздействует смесь .

Поскольку фильтр линейный, то его отклик представляется сверткой

.

Здесь обозначает множество всех допустимых значений переменной . Обозначим импульсную характеристику оптимального фильтра, который предстоит найти, , а отклик . Ошибка фильтрации представляет собой разность

.

Поскольку и сигнал и шум имеют нулевые средние, а фильтр линеен, то ошибка также имеет нулевое математическое ожидание, а ее средний квадрат совпадает с дисперсией. Примем в качестве критерия оптимальности фильтра минимум дисперсии ошибки фильтрации.

Средний квадрат ошибки для оптимального фильтра

представляет собой минимальное значение, достижимое при фильтрации любым линейным устройством. Для произвольного линейного фильтра импульсную характеристику можно представить в виде , где и – некоторые константа и функция. Тогда средний квадрат ошибки для произвольного фильтра

.

Поскольку при достигается минимум, то можно записать уравнение

,

решением которого и будет искомая импульсная характеристика оптимального фильтра. Дифференцируя по и приравнивая результат нулю (при ), получаем уравнение

.

Выражение в первых квадратных скобках представляет собой ошибку оптимального фильтра , во вторых квадратных скобках заключен отклик на наблюдаемый процесс линейного фильтра с импульсной характеристикой . В силу того, что – произвольная функция, выражение представляет собой математическую запись принципа ортогональности, смысл которого состоит в том, что для оптимального фильтра ошибка фильтрации должна быть некоррелированна с наблюдаемым процессом во все моменты времени (ср. с [4, 5]).

Раскрывая скобки в , получаем

,

,

откуда снова в силу произвольности следует, что выражение в фигурных скобках должно быть равно нулю при всех . Учитывая, что результатами усреднения являются взаимно корреляционная и автокорреляционная функции, запишем уравнение Винера – Хопфа

,

решением которого является импульсная характеристика оптимального фильтра .

Решение уравнения Винера – Хопфа легко находится при помощи преобразования Фурье, примененного к его левой и правой частям, в результате чего получается уравнение

,

где – спектральная плотность мощности наблюдаемого процесса, – взаимная СПМ полезного и наблюдаемого процессов, – комплексная частотная характеристика оптимального фильтра, которая находится как

.

Если сигнал и шум некоррелированны, то их взаимная СПМ , тогда , и

.

Полученный фильтр известен, как фильтр Винера (Колмогорова – Винера)¹⁵. Видно, что коэффициент передачи фильтра меньше на тех частотах, где больше СПМ шума, и в этом состоит сходство фильтра Винера с согласованным фильтром. В заключение отметим, что в случае, когда сигнал и шум являются совместно гауссовскими процессами, фильтр Винера является оптимальным среди всех фильтров (а не только среди линейных).

ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ

1. Перечислите свойства согласованного фильтра и фильтра Винера.

2. Назовите общие черты и различия в постановке задач синтеза этих фильтров.

1. ЦИФРОВАЯ ПЕРЕДАЧА НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ

   1. Основные понятия и термины

Непрерывные сообщения, представленные сигналами с непрерывным временем (континуальными, или аналоговыми), можно передавать по цифровым каналам связи. Теоретическим основанием для этого служит теорема отсчетов (Котельникова), которая утверждает, что континуальный сигнал с финитным (ограниченным по ширине) спектром можно без потери информации представить последовательностью его отсчетов, взятых с достаточно малым шагом, определяемым верхней частотой спектра сигнала. Таким образом, отсчеты сигнала, представляющие собой числа, можно закодировать и передать при помощи последовательности кодовых символов по цифровому каналу связи.

Цифровые сигналы имеют перед аналоговыми ряд общеизвестных преимуществ. Одно из них заключается в большей помехоустойчивости цифровых сигналов. В самом деле, континуальный сигнал, искаженный сколь угодно малым шумом, уже невозможно восстановить точно. причина этого заключается в том, что комбинация (например, сумма) аналогового сигнала и аналогового шума ничем принципиально не отличается от исходного аналогового сигнала. Таким образом, поражение аналогового сигнала шумом необратимо. Цифровой сигнал, который по определению может принимать значения только из дискретного множества, может быть искажен шумом только в том случае, если шум имеет достаточно большую интенсивность, чтобы перевести сигнал с одного допустимого уровня на другой.

Второе преимущество цифровых сигналов заключается в возможности помехоустойчивого кодирования отсчетов, что дополнительно повышает помехоустойчивость передачи цифровых сигналов. Третье преимущество состоит в возможности использования для обработки цифровых сигналов универсальных цифровых вычислителей (процессоров), позволяющих реализовать практически любые алгоритмы. Учитывая широкое распространение средств цифровой обработки информации, можно утверждать, что роль цифровой передачи будет в обозримом будущем возрастать.

1. Импульсно-кодовая модуляция

Преобразование аналогового сигнала в цифровой производится в три этапа и сопровождается искажениями (потерями информации).

1. Дискретизация состоит в замене аналогового сигнала дискретным сигналом, то есть последовательностью его значений, измеренных с бесконечной точностью. В реальных устройствах дискретизации происходит случайное смещение моментов взятия отсчетов (джиттер), а также искажение сигнала за счет конечного времени запоминания его уровня (подробности см., например, в [8]).

2. Квантование заключается в замене точного значения отсчета его значением, имеющим конечную разрядность. Эта операция является неизбежной, так как любое реальное устройство цифровой обработки сигналов имеет конечную разрядность. Квантование выполняется путем округления бесконечной дроби, представляющей число, или ее усечения. Если сигнал является случайным процессом достаточной интенсивности, то квантование эквивалентно сложению сигнала с шумом квантования.

3. Кодирование состоит в представлении полученной квантованной величины в виде некоторой кодовой комбинации. Чаще всего используется двоичный код, соответствующий обычному представлению полученного значения в двоичной системе счисления. Полученный двоичный код можно непосредственно передавать по двоичному каналу связи, поэтому описанное преобразование аналогового сигнала в цифровой в теории связи называют импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ, иначе КИМ – кодо-импульсная модуляция). На практике операции квантования и кодирования предстают в неразрывной связи и осуществляются одновременно в устройствах, называемых аналого-цифровыми преобразователями (АЦП).

Обратное преобразование цифрового сигнала в аналоговый производится в устройствах, называемых цифроаналоговыми преобразователями (ЦАП), и выполняющих декодирование (преобразование кода в квантованный уровень напряжения) и сглаживание полученного ступенчатого сигнала при помощи фильтра нижних частот.

Аналоговый сигнал, восстановленный из цифрового после передачи его по цифровому каналу, отличается от передаваемого аналогового сигнала , во-первых, вследствие квантования (шум квантования), и во-вторых, вследствие ошибок, которые случайным образом искажают отдельные символы кодовых комбинация при передаче по каналу, в котором действуют случайные помехи (шум ложных импульсов).

Характеристики

Список файлов книги