Васюков В.Н. - Введение в ТЭС (1275345), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

, .

Структурная схема приемника (демодулятора) показана на рис. 8.

Постоянная времени интегрирующей цепи должна быть много больше длительности посылки. В этом случае начальный участок экспоненты , отображающей заряд емкости, можно аппроксимировать прямой линией с тангенсом угла наклона , равным производной экспоненты в нуле. Тогда за время напряжение на входе решающего устройства, обусловленное сигналом, составит , а значение порога должно быть равно 

Пример 11. Предположим, что в двоичной системе связи с амплитудной телеграфией сигнал, соответствующий символу “1”, представляет собой прямоугольный радиоимпульс с амплитудой и длительностью . Тогда , корреляционный интеграл имеет вид

,

а порог равен . Сокращая на и применяя реальный интегратор в виде -цепи, получаем структуру приемника, показанную на рис. 9. 

Пример 12. В двоичной системе связи с фазовой телеграфией сигналы и , соответствующие символам “1” и “0”, являются противоположными

;

.

Принятие решения основано на сравнении величин и . С учетом равенства энергий правило принятия решения упрощается и принимает вид

, . 

1. Согласованная фильтрация

В случае приема сигнала известной формы, как было показано, устройство принятия решения (демодулятор) должно вычислять значение корреляционного интеграла, которое и сравнивается с порогом, выбираемым в соответствии с принятым критерием эффективности. Устройство, вычисляющее корреляционный интеграл, называется коррелятором (рис. 10).

Коррелятор является нестационарным (параметрическим) устройством и включает генератор опорного колебания, совпадающего по форме с ожидаемым сигналом на интервале наблюдения и интегратор, на выходе которого в момент окончания интервале наблюдения формируется значение, сравниваемое с порогом. В некоторых случаях удобнее использовать линейную стационарную (инвариантную к сдвигу) цепь, которая вычисляет значение корреляционного интеграла и называется согласованным фильтром. Этот фильтр, как и любая линейная инвариантная к сдвигу (ЛИС) цепь исчерпывающим образом описывается импульсной характеристикой , при этом выходной сигнал определяется сверткой (интегралом Дюамеля) которая для момента сравнения с порогом равна , а с учетом финитности посылки .

Учитывая, что в момент на выходе согласованного фильтра должно быть выработано значение корреляционного интеграла, приходим к выводу, что должно выполняться равенство

,

откуда , следовательно, . Импульсная характеристика согласованного фильтра, таким образом, совпадает по форме с ожидаемым сигналом, обращенным во времени и задержанным на время . Для выполнения требования каузальности (причинности, физической реализуемости) очевидно, необходимо, чтобы было не меньше, чем , рис. 11.

Найдем комплексную частотную характеристику согласованного фильтра:

.

Таким образом, КЧХ согласованного фильтра является комплексно-сопряженной функцией по отношению к спектральной плотности ожидаемого сигнала, умноженной на фазовый множитель, соответствующий задержке на , необходимой для обеспечения каузальности.

Для понимания физического смысла согласованной фильтрации целесообразно рассмотреть отдельно составляющие КЧХ – амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) совпадает по форме с модулем спектральной плотности сигнала. Это означает, что согласованный фильтр имеет больший коэффициент передачи для более интенсивных частотных компонент сигнала («подчеркивает» сильные гармоники и подавляет слабые).

Фазочастотная характеристика состоит из двух сомножителей, а именно: аргумента функции , обратного фазовому спектру спектральной плотности сигнала, и фазового множителя . Первый сомножитель обеспечивает суммирование всех частотных компонент сигнала «в фазе», благодаря чему в момент времени , обусловленный множителем , имеет место максимальное значение отклика, численно равное энергии сигнала¹¹

.

Для произвольного момента времени отклик согласованного фильтра на «свой» сигнал

,

где – автокорреляционная функция сигнала, которая, как известно, достигает максимума, равного энергии сигнала, при нулевом значении аргумента.

Согласованный фильтр для сигнала произвольной формы может быть реализован (приближенно) на основе линии задержки с отводами, рис. 12.

При подаче на вход 1 короткого импульса (в идеале – -функции) на вход ФНЧ поступают с интервалом, обусловленным конструкцией линии задержки, такие же импульсы с амплитудами, определяемыми коэффициентами усиления , , … . Тогда на выходе ФНЧ формируется сигнал, равный взвешенной сумме функций, получаемы сдвигами импульсной характеристики ФНЧ. В частности, если ФНЧ является идеальным с П-образной КЧХ, то его импульсная характеристика имеет вид

,

а отклик устройства на короткий импульс, поданный на вход 1, представляет собой конечную сумму ряда Котельникова

,

аппроксимирующую сигнал требуемого вида. Нетрудно видеть, что если короткий импульс подать на вход 2, то отклик будет представлять собой зеркальную копию сигнала . Коэффициенты , , … представляют собой отсчеты сигнала с шагом, определяемым верхней частотой спектра сигнала.

На практике в качестве линий задержки с отводами применяют интегральные устройства с использованием поверхностных акустических волн (ПАВ).

Очевидно, форма сигнала на выходе согласованного фильтра отличается от формы сигнала на его входе. Это естественно, так как назначение согласованного фильтра состоит в вычислении корреляционного интеграла для наиболее надежного принятия решения о наличии или отсутствии сигнала на входе приемника. Иными словами, согласованный фильтр должен обеспечивать максимальное отношение сигнал/шум в момент времени . Убедимся, что это действительно так при условии, что входной шум является белым стационарным процессом с нулевым средним.

Пусть на вход фильтра воздействует процесс , где – белый стационарный шум с нулевым средним, тогда сигнальная составляющая выходного процесса

,

а шумовая составляющая

.

Так как , то , поэтому дисперсия шумовой составляющей выходного процесса равна среднему квадрату, а поскольку – белый шум, то

,

где – энергия импульсной характеристики.

Отношение сигнал/шум по мощности в момент отсчета составляет

.

Заметим, что согласно неравенству Буняковского – Шварца

и равенство достигается лишь тогда, когда при произвольном коэффициенте . Таким образом, в момент среди всех ЛИС-цепей согласованный фильтр обеспечивает максимальное отношение сигнал /шум на выходе. Умножение импульсной характеристики на коэффициент не влияет на отношение сигнал/шум (почему?).

1. Потенциальная помехоустойчивость когерентного приёма

Напомним, что по определению В.А. Котельникова потенциальной помехоустойчивостью называется максимум вероятности правильного решения, достижимый при заданных условиях приема сигналов на фоне помех (шумов). Определим потенциальную помехоустойчивость приема двух сигналов известной формы на фоне белого гауссовского шума при равных априорных вероятностях сигналов.

Алгоритм принятия решения в приемнике, реализующем критерий максимального правдоподобия имеет вид

.

Это выражение можно привести к виду

.

Ошибки при приеме состоят в том, что при передаче первого сигнала принимается решение о приеме второго и наоборот. Учитывая, что гауссово распределение симметрично и априорные вероятности равны, легко видеть, что суммарная (средняя) вероятность ошибки равна любой из условных вероятностей ошибок (убедитесь в этом!).

Найдем условную вероятность ошибки, то есть вероятность события, заключающегося в принятии решения о наличии сигнала при условии, что в наблюдаемом колебании присутствует сигнал . Это событие соответствует выполнению неравенства

которое можно переписать в виде

.

Проведя очевидные преобразования, получим

.

Левая часть неравенства представляет собой случайную величину (так как это интеграл по времени от случайного процесса с весом, равным разности сигналов ) имеющую нормальное распределение (поскольку процесс гауссов) с нулевым средним (очевидно); обозначим её и найдем её средний квадрат, равный дисперсии:

Характеристики

Список файлов книги