Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

.

Вероятность выполнения неравенства – это, очевидно, вероятность того, что нормальная случайная величина с нулевым средним и дисперсией принимает значение меньше, чем . Эта вероятность равна

,

где – центрированная нормальная случайная величина с единичной дисперсией, а – положительное число. Очевидно, зависит только от , поэтому можно ввести функцию

где – интеграл вероятности, и записать .

Таким образом, условная вероятность ошибки, равная средней вероятности ошибки при когерентном приеме сигналов на фоне белого шума, определяется энергией разностного сигнала и спектральной плотностью мощности шума .

Рассмотрим потенциальную помехоустойчивость двоичного когерентного приемника максимального правдоподобия для различных способов модуляции, считая, что энергия сигнала фиксирована.

1. Амплитудная телеграфия с пассивной паузой.

В этом случае и энергия разностного сигнала равна (норма равна ), рис. 13, а. Следовательно, потенциальная помехоустойчивость определяется средней вероятностью ошибки

.

1. Частотная телеграфия с ортогональными сигналами.

Два сигнала представляют собой радиоимпульсы одинаковой формы с различными несущими частотами, так, что сигналы взаимно ортогональны, рис. 13, б. Энергия разностного сигнала равна , а средняя вероятность ошибки

.

Повышение потенциальной помехоустойчивости при переходе от АТ-ПП к частотной телеграфии представляется естественным, так как во втором случае вдвое возрастает суммарная мощность передатчика. Однако средняя вероятность ошибки может быть дополнительно понижена без увеличения мощности передатчика, если перейти к взаимно обратным сигналам.

1. Фазовая телеграфия с манипуляцией фазы на 180.

В случае фазовой телеграфии с взаимно обратными сигналами, рис. 13, в энергия разностного сигнала составляет , средняя вероятность ошибки равна

и дальнейшее повышение потенциальной помехоустойчивости за счет выбора сигналов при заданной энергии, очевидно, невозможно.

Заметим, что если используются три сигнала одинаковой энергии, то для достижения максимальной помехоустойчивости они должны иметь взаимный фазовый сдвиг 120, то есть соответствующие сигналам точки должны располагаться на окружности радиуса в вершинах равностороннего треугольника, рис. 13, г. Если сигналов четыре, то оптимальным является их размещение в вершинах правильного тетраэдра, вписанного в сферу радиуса . В общем случае оптимальный выбор системы из сигналов соответствует их расположению в вершинах правильного -мерного симплекса, вписанного в -мерную сферу¹².

1. Некогерентный приём

На практике иногда не удается обеспечить условия для когерентного приема сигналов, так как один или несколько параметров принимаемого сигнала оказываются неизвестными. Такая ситуация типична, например, в системах спутниковой связи, радиосвязи с подвижными объектами, и т.п., поскольку расстояние между передатчиком и приемником изменяется случайным образом. Это приводит, в частности, к тому, что меняется начальная фаза несущего колебания. Если изменение происходит настолько медленно, что соседние посылки имеют практически одинаковую начальную фазу, то ее можно оценить и оценку использовать вместо точного значения при организации приема. Такой прием называют квазикогерентным. Если же начальная фаза изменяется (флюктуирует) быстро или устройство оценивания оказывается слишком сложным, тогда рассматривается задача приема сигнала со случайной начальной фазой или некогерентного приема.

Перепишем выражение для логарифма отношения правдоподобия при приеме сигнала :

.

Сигнал при некогерентном приеме известен с точностью до начальной фазы. поэтому обозначим его и запишем

.

В этом выражении неизвестная начальная фаза сигнала представлена комплексным фазовым множителем при аналитическом комплексном сигнале , который определяется выражением

,

где вещественная и мнимая части связаны парой преобразований Гильберта

,

.

Тогда, очевидно,

.

Корреляционный интеграл в выражении в таком случае приобретает вид

.

В полученном выражении фигурирует комплексная величина , имеющая смысл корреляционного интеграла для аналитического сигнала :

,

где, очевидно,

;

.

Корреляционный интеграл согласно можно переписать в виде

,

тогда логарифм отношения правдоподобия

,

а само отношение правдоподобия

.

Считая, что начальная фаза сигнала является случайной величиной, имеющей равномерное в интервале распределение, выполним усреднение отношения правдоподобия по ансамблю:

.

Учтем известное соотношение

,

где – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, тогда

.

Правило некогерентного приема сигнала со случайной равновероятной начальной фазой на фоне гауссовского шума должно быть основано на сравнении величины с некоторым порогом, а правило различения двух сигналов – на сравнении двух отношений правдоподобия между собой. Предположим, что рассматривается прием двух сигналов и . Сравнение усредненных отношений правдоподобия можно заменить сравнением их логарифмов

,

или сравнением с порогом разности логарифмов

.

Алгоритм сильно упрощается, если энергии сигналов равны, в этом случае в силу монотонности функции можно сравнивать между собой величины и :

.

Структурная схема корреляционного приемника, реализующего это правило, показана на рис. 14. Для каждого из сигналов реализуется корреляционный прием раздельно по двум квадратурным составляющим, после чего квадраты огибающих поступают на решающее устройство, выполняющее их сравнение.

То же правило можно реализовать с использованием согласованных фильтров по схеме рис. 15. Здесь вычисление величин и производится устройством, называемым детектором огибающей.

1. Потенциальная помехоустойчивость некогерентного приёма

Определим потенциальную помехоустойчивость некогерентного приема на примере системы с пассивной паузой при равных априорных вероятностях посылок

, ; .

Средняя вероятность ошибки равна

.

Здесь и – условные плотности распределения вероятности огибающей корреляционного интеграла при условии гипотез о передаче сигналов и соответственно, – порог (рис. 16).

При гипотезе значение огибающей обусловлено только шумом, тогда квадратурные составляющие являются независимыми нормальными случайными величинами с нулевыми средними и дисперсиями (см. п. 3.5, выражение ). Условная плотность распределения вероятностей огибающей имеет рэлеевский вид

.

Если наблюдаемое колебание содержит сигнал , то огибающая имеет обобщенное рэлеевское распределение (распределение Рэлея – Райса)

.

Средняя вероятность ошибки равна

.

Второй интеграл берется по частям, при этом

.

Оптимальное значение порога, при котором достигается потенциальная помехоустойчивость некогерентного приема, является решением уравнения .

Взяв производную и приравняв ее нулю, получим

или

.

Точно решить полученное уравнение не удается. Прологарифмируем обе части выражения:

.

Известно, что

Поэтому оптимальный порог определяется приближенными выражениями

.

Подставляя в порог , получим среднюю вероятность ошибки при больших отношениях сигнал/шум (ОСШ)

.

При больших ОСШ ( ) первым слагаемым можно пренебречь, тогда

.

Аналогично можно проанализировать помехоустойчивость приема двух ортогональных частотно-манипулированных сигналов; для этого случая средняя вероятность ошибки

.

Сигналы с фазовой манипуляцией при случайной начальной фазе каждой посылки, очевидно, применять при некогерентном приеме нельзя. Однако при медленных изменениях фазы можно использовать относительную фазовую манипуляцию, при которой начальная фаза следующей посылки совпадает с начальной фазой предыдущей посылки при передаче символа «0» и отличается от нее на 180 – при передаче символа «1». При этом средняя вероятность ошибки [1]

.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое потенциальная помехоустойчивость?

2. Как формулируется задача синтеза оптимального демодулятора?

3. В чем состоит сущность критерия Байеса?

4. Что такое средний риск?

5. Что такое гипотеза?

6. Что такое отношение правдоподобия?

7. Чем отличается когерентный прием от некогерентного?

8. Что такое согласованный фильтр?

9. Какую форму имеет сигнал на выходе согласованного фильтра, когда на его вход воздействует «свой» сигнал? «чужой» сигнал? шум?

10. Что удобнее применять на практике – коррелятор или согласованный фильтр?

11. Можно ли реализовать точно согласованный фильтр для сигнала произвольной формы?

12. Как следует выбирать совокупность сигналов одинаковой энергии для обеспечения максимальной помехоустойчивости?

Задачи

1. Для когерентного приема сигнала в системе амплитудной телеграфии с пассивной паузой методом однократного отсчета выбран порог равный 2 В. Известно, что порог оптимален с точки зрения критерия максимального правдоподобия, в то же время априорные вероятности символов равны и . Насколько изменится средняя вероятность ошибки при выборе порога по критерию идеального наблюдателя, если дисперсия шума равна 9 В²?

2. В системе амплитудной телеграфии с пассивной паузой используется согласованный фильтр. Определить изменение средней вероятности ошибки по сравнению с методом однократного отсчета, если амплитуда радиоимпульса равна В, длительность мкс, среднеквадратическое отклонение шума 0.3 В.

3. Определить, насколько изменится средняя вероятность ошибки при переходе от когерентного приема к некогерентному, если в системе амплитудной телеграфии с пассивной паузой амплитуда радиоимпульса равна В, длительность мкс, среднеквадратическое отклонение шума 0.5 В.

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ

   1. Основные понятия и термины

Непрерывные сообщения, к которым относятся, например, речь, музыка и т.п., могут передаваться по каналу связи непосредственно (например, по местной проводной радиосети, по телефонному каналу) или при помощи модуляции. В первом случае сигнал , передаваемый по каналу, может совпадать с сообщением (первичным сигналом) или быть связан с ним простой пропорциональной зависимостью, во втором – передаваемый сигнал является функцией сообщения, в общем случае нелинейной, рис. 17.

Колебание на входе демодулятора

Характеристики

Список файлов книги