Васюков В.Н. - Введение в ТЭС (1275345), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

представляет собой в простейшем случае сумму передаваемого сигнала и шума . Задача демодулятора состоит в нахождении такого выходного первичного сигнала , который бы был близок к передаваемому сообщению . Иными словами, демодулятор должен найти оценку сообщения, наилучшую в смысле выбранного критерия близости. В качестве критерия часто принимают средний квадрат ошибки

,

где черта означает статистическое усреднение по ансамблю. В системах телеметрии используется критерий максимальной ошибки

,

в радиовещании – увеличение выходного отношения сигнал/шум по сравнению с входным, критерий разборчивости речевых сообщений и т.п.

1. Оптимальное оценивание параметров сигнала

Простейшей задачей, связанной с оцениванием параметров сигнала является оценка параметра, постоянного или настолько медленно меняющегося во времени, что на интервале наблюдения его можно считать постоянным. Такие задачи встречаются в системах телеуправления и телеметрии, когда сообщение представляет собой значение управляющего сигнала или результат измерения некоторой физической величины. Рассмотрим задачу оценивания единственного параметра , который полагается случайной величиной, постоянной на интервале наблюдения колебания

и имеющей априорное распределение с плотностью .

Правило оценивания¹³ – это алгоритм обработки наблюдаемого колебания, результатом выполнения которого является значение оценки параметра . Для оценивания одного и того же параметра может существовать множество алгоритмов, вырабатывающих различные оценки. Качество оценки принято характеризовать следующими показателями:

1. Несмещенность.

Оценка называется несмещенной, если выполняется условие

,

означающее, что при любом значении параметра условное математическое ожидание оценки равно этому значению. Другими словами, несмещенность означает отсутствие систематической ошибки. В противном случае оценка называется смещенной. Следует отметить, что смещенные оценки также находят применение, если смещение достаточно мало.

1. Состоятельность.

Оценка называется состоятельной, если при неограниченном возрастании времени наблюдения оценка сходится по вероятности к значению параметра:

.

Смещенная оценка может быть состоятельной, если ее смещение стремится к нулю при . Для состоятельной оценки, очевидно, дисперсия ошибки стремится к нулю .

1. Эффективность.

Оценка называется эффективной, если среди всех оценок, полученных при заданном времени наблюдения, она обеспечивает наименьшую дисперсию ошибки

.

Эффективность представляет собой очень сильное свойство, и во многих случаях эффективную оценку не удается найти или она не существует¹⁴.

Классический подход к оцениванию основывается на формуле Байеса для апостериорной плотности распределения вероятности (ПРВ) оцениваемого параметра [7]

,

где – априорная ПРВ параметра , – условная ПРВ наблюдаемого процесса при заданном значении , рассматриваемая как функция от при данном (функция правдоподобия), – при фиксированной реализации постоянная величина. Выражение показывает, что, зная априорную плотность и наблюдая реализацию процесса , можно получить уточненное представление о значении параметра . На рис. 18 показаны примеры априорной и апостериорной ПРВ параметра (истинное значение параметра обозначено ).

Влияние функции правдоподобия на апостериорное распределение выражается в его обострении по сравнению с априорным распределением, что естественно, так как наблюдая реализацию , мы получаем дополнительную информацию о параметре, что уменьшает исходную неопределенность, заключенную в априорной ПРВ.

Апостериорное распределение содержит всю информацию о параметре, которую можно получить из наблюдаемой реализации и априорных данных. Поэтому правило оценивания должно использовать апостериорную ПРВ, а способ использования зависит от выбранного критерия качества оценки.

Ошибки оценивания параметра в общем случае приводят к различным последствиям, поэтому естественным способом их учета является введение функции потерь (штрафной функции) , зависящей от разности оценки и истинного значения параметра. Усредняя функцию потерь по апостериорному распределению параметра, получаем количественную характеристику, называемую апостериорным (условным) риском

,

описывающим потери, связанные с получением оценки при наблюдении реализации . Усреднение апостериорного риска по всевозможным реализациям приводит к среднему риску

.

Правило оценивания, которому соответствует наименьший средний риск, называется байесовским, а соответствующая оценка – байесовской, или оценкой по критерию минимума среднего риска. Правило, оптимальное в смысле минимума среднего риска находится из условия минимизации условного риска .

Часто используют квадратичную функцию потерь

,

тогда

,

то есть апостериорный риск равен среднему квадрату ошибки (а если оценка несмещенная, то дисперсии ошибки). Байесовская оценка в этом случае становится оценкой минимума среднеквадратической ошибки. Для нахождения правила раскроем скобки в выражении

.

Дифференцируя полученное выражение по и приравнивая результат к нулю, получаем правило

.

Таким образом, оценка, оптимальная в смысле минимума среднеквадратической ошибки, равна апостериорному среднему значению параметра.

Кроме квадратичной, на практике часто используется простая функция потерь

.

Подставляя в , получаем

.

Очевидно, это выражение достигает минимума, если в качестве оценки принять значение параметра, доставляющее максимум апостериорной ПРВ . Такая оценка называется МАВ-оценкой (оценкой максимума апостериорной вероятности).

Во многих задачах априорная ПРВ параметра неизвестна, тогда принимают ее равной константе, и максимизируют функцию правдоподобия . Получаемые таким образом оценки называются оценками максимального правдоподобия, или МП-оценками.

Пример 13. Пусть наблюдается колебание

,

где – сигнал известной формы, – амплитудный множитель, подлежащий оцениванию, – гауссовский шум с нулевым средним и спектральной плотностью мощности , постоянной в полосе частот («квазибелый» шум). Найдем правило оценивания параметра , оптимальное по критерию максимального правдоподобия.

Как в п. 3.3, возьмем отсчетов наблюдаемого колебания на интервале наблюдения с шагом , при этом отсчеты шума являются некоррелированными. Совместная плотность распределения вероятности взятых отсчетов поэтому равна

,

где . Устремляя к нулю ( ), запишем функцию правдоподобия

_.

Для нахождения правила оценивания следует продифференцировать функцию правдоподобия или, что проще, ее логарифм и приравнять результат нулю. Полученное уравнение правдоподобия

для данного случая имеет вид

,

откуда

.

Решением этого уравнения является значение параметра , равное оценке , определяемой выражением

,

где – энергия сигнала.

Качество полученной МП-оценки можно оценить, подставив в выражение для :

.

Второе слагаемое представляет собой ошибку оценивания, причем дисперсия интеграла равна (см. п. 3.3), поэтому дисперсия ошибки равна . Таким образом, оценка тем точнее, чем больше энергия сигнала на интервале наблюдения и чем меньше спектральная плотность мощности. Из выражения видно, что оценка несмещенная, так как имеет нулевое математическое ожидание. Учитывая несмещенность и стремление к нулю дисперсии при увеличении интервала наблюдения, можно заключить, что оценка является состоятельной. Кроме того, можно показать, что оценка также эффективна. 

Полученный алгоритм оценивания может быть реализован в виде структурной схемы, показанной на рис. 19.

Полученное правило оценивания амплитуды сигнала можно использовать и при медленном изменении этого параметра; вместо интегратора применяется фильтр нижних частот (ФНЧ) и при гармоническом сигнале схема рис. 19 превращается в схему синхронного детектора амплитудно-модулированных колебаний, рис. 20. Заметим, что синхронный детектор является линейным нестационарным устройством.

1. Оптимальная фильтрация случайного сигнала

Более общей, чем задача оценивания постоянного параметра, является задача оценивания изменяющегося сообщения на основе наблюдаемой реализации. Сообщение рассматривается как реализация случайного процесса, множество сообщений – как ансамбль реализаций с некоторым вероятностным распределением. Сообщение (первичный сигнал) модулирует несущее колебание, поэтому сигнал на выходе канала связи также случаен. Таким образом, ставится задача по наблюдаемому случайному колебанию оценить другое случайное колебание (закон модуляции), связанное с ним в общем случае сложным нелинейным образом (задача нелинейной фильтрации). Эта задача может быть весьма сложной. В этом подразделе рассматривается наиболее простой случай оптимальной линейной фильтрации.

Характеристики

Список файлов книги