TR_KINEMATIKA_primer (1273227), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Геометрическим местом всевозможных положений схвата, допускаемых конструкциейманипулятора, является ограниченная область координатной плоскости Oxy – рабочая область манипулятора. Если управление требует, чтобы схват вышел запределы рабочей области, то манипулятор не может это обеспечить.Более подробное обсуждение особенностей кинематики трёхзвенного манипулятора, связанных с ограниченностью его рабочей области, можно найти в [11].36Здесь лишь отметим, что при тех значениях длин r j , которые приведены в табл.1,манипулятор заведомо не может “дотянуться” до точки, удалённой на десять метров от начала координат O, так что она заведомо лежит вне его рабочей области.Значения в табл.1 подобраны так, чтобы схват не выходил за пределы рабочей области манипулятора.Рассмотрим на конкретном примере, как можно решить один из вариантов задания расчёта, используя возможности программы robby2.3.2.
Укрощение строптивого… (о составлении расчётныхформул в задании типового расчёта)Рассмотрим манипулятор, кинематическая схема которого представлена на рис.16.Д а н о: OA = r 1 = 0,442 м; AB = r 2 = 0,846 м; BC = r 3 = 0,620 м;CM = 2 r 3 ; ϕ 1 ( 0 ) = 1,550 рад; ϕ 2 ( 0 ) = 5,758 рад; ϕ 3 ( 0 ) = 0,308 рад;x D ( 0 ) = 2,940 м; y D ( 0 ) = − 1,360 м; x D ( τ ) = 1,640 м; y D ( τ ) = 1,560 м;β x = 12,36 ; β y = 2,24 ; δ = 0,022; τ = 1,20 с.Из рисунка видно, что ползун C движется по вертикали. Поэтому задачасоставления расчётных кинематических формул конкретизируется следующимобразом.Требуется выразить угловые скорости ω 1 z , ω 2 z , ω 3 z и линейную скорость VC y через VM x и VM y .Предположим, что поставленная задача досталась студенту Пушкову Леониду Остаповичу, и проследим за ходом его действий.Лёня знает (от преподавателя или из настоящего пособия), что задачу можнорешить, используя два кинематических графа.
В качестве первого графа – в соответствии с рекомендациями из раздела 2 – следует выбрать такой, с которым связано не более двух неизвестных величин.На рис.16 – не так уж много точек, и в принципе при выборе графа можнобыло бы действовать способом перебора: перебирать по очереди все приходящиена ум графы и проверять (учитывая связи в концевых точках), сколько же неизвестных связано с каждым из них. Но это, конечно, не самый рациональный путь.Леонид немного задумался и пришёл к таким выводам. Во-первых, поскольку скорости нужно выразить через проекции линейной скорости точки M , то точкаM обязательно должна быть одной из концевых точек первого графа (иначе проекции её линейной скорости не попадут в кинематические соотношения). Во-вторых,всего в задаче – четыре неизвестные величины, а два графа способны дать четырекинематических соотношения; значит, ни точка A , ни точка B не могут быть концевыми точками (в противном случае в кинематические соотношения войдут проекции их линейных скоростей, и неизвестных величин станет больше).Таким образом, второй из концевых точек первого графа может быть либоточка O , либо точка С (скорость неподвижной точки O равна нулю, а для точки С ,движущейся по вертикали, VC x = 0, а VC y – одна из искомых величин).После этих рассуждений Лёне осталось рассмотреть всего две возможности:1233O→A→B→C→Mи3C→M.37Рис.
16. Трёхзвенный робот-манипуляторПравильный выбор теперь сделать нетрудно: с первым из этих графов связаны три неизвестные величины ( ω 1 z , ω 2 z и ω 3 z ), а со вторым – две: ω 3 z и VC y .С чувством удовлетворения Леонид записал:Выберем графC3M.→ϕ π/23+−−−−Кинематический угол для направленного отрезка CM Леонид нашёл правильно: этот отрезок (если перенести его, не меняя направления, в точку B) можно по−−−−лучить из отрезка BC (для которого кинематический угол равен ϕ 3 ) поворотом на90◦ в положительном направлении (а также растяжением в два раза, что сейчас,впрочем, совсем не важно).Составим кинематические соотношения для выбранного графа:VM x = VC x − ω 3 z 2 r 3 sin ( ϕ 3 + π / 2 ) ,VM y=VC y+ ω 3 z 2 r 3 cos ( ϕ 3 + π / 2 ) .(35)(36)Выражения, включающие синус и косинус, нетрудно упростить по формуламприведения.
Теперь следует учесть связи в концевых точках графа (Леонид фактически уже делал это при выборе графа, но пришла пора перенести всё это на бумагу). Поскольку на движение точки M никаких ограничений не накладывается, аползун может двигаться лишь по вертикали (что приводит к условию V C x = 0 ),Леонид записал:Учитывая связи, имеем:VM x = − ω 3 z 2 r 3 cos ϕ 3 ,VM y = VC y − ω 3 z 2 r 3 sin ϕ 3 .(37)(38)Отсюда было уже совсем нетрудно выразить через компоненты скоростисхвата кинематические величины ω 3 z и VC y .Решая кинематические уравнения (37) и (38), находим:38VM xω 3 z = − −−−−−−−−−−−− ,2 r3 cos ϕ 3VC y=VM y+ 2 ω 3 z r3 sin ϕ 3 .(39)Заметим, что вовсе не требуется подставлять во вторую из полученных сейчас расчётных кинематических формул выражение для ω 3 z , которое даёт перваяформула.
Расчётные формулы нужны для того, чтобы программа robby2 многократно вычисляла по ним правые части дифференциальных уравнений (34) в процессе их численного интегрирования. Вычисления программа выполняет в том порядке, в котором расчётные формулы записаны; поэтому на этапе вычисления текущего значения VC y текущее значение ω 3 z будет уже найдено.Полученные расчётные формулы Лёня записал в виде, пригодном для ввода впрограмму robby2:(1)(2)Теперь осталось выбрать второй граф и найти с его помощью кинематические величины ω 1 z и ω 2 z .Выбирая граф, Леонид исходил из простого рассуждения: для того чтобы всоставленные для графа кинематические соотношения вошли угловые скоростизвеньев 1 и 2, необходимо, чтобы граф “проходил” по этим звеньям.
С учётом этого при выборе второго графа остаются лишь две возможности:123O→A→B→Cи1233O→A→B→C→M.С каждым из этих графов связаны две неизвестные величины: ω 1 z и ω 2 z , такчто для получения расчётных формул можно использовать любой из графов. Очевидно, однако, что уравнения, полученные с помощью последнего графа, будут более громоздкими: с ним связано больше известных величин, не равных нулю.
Поэтому Леонид записал:Выберем также графO123C.→→→ϕ1ϕ2ϕ3ABСоставим с его помощью кинематические соотношения, учитывая связив концевых точках:0VC x0=VO x0VC y=VO y− ω 1 z r 1 sin ϕ 1 − ω 2 z r 2 sin ϕ 2 − ω 3 z r 3 sin ϕ 3 ,(40)+ ω 1 z r 1 cos ϕ 1 + ω 2 z r 2 cos ϕ 2 + ω 3 z r 3 cos ϕ 3 .(41)Вновь в нашем распоряжении – система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными; однако теперь уже каждая из неизвестных встречается в обоихуравнениях.
Наиболее удобный способ решения такой системы состоит в поочерёдном исключении из неё одной из неизвестных.Леонид решил сначала исключить неизвестную ω 2 z . Сравнивая слагаемые сω 2 z в обоих уравнениях, он заметил, что для этого достаточно домножить первоеиз уравнений на cos ϕ 2 , второе – на sin ϕ 2 , а затем их сложить.Получаем:VC y sin ϕ 2 = − ω 1 z r 1 sin ϕ 1 cos ϕ 2 − ω 3 z r 3 sin ϕ 3 cos ϕ 2 ++ ω 1 z r 1 cos ϕ 1 sin ϕ 2 + ω 3 z r 3 cos ϕ 3 sin ϕ 2 .39Это выражение – ещё не окончательный ответ, поскольку оно достаточногромоздко.
Однако, сгруппировав слагаемые с ω 1 z и ω 3 z , нетрудно заметить, чтов роли коэффициентов выступают синусы разностей углов (с подобной ситуациейВы встретитесь и в остальных вариантах задания):VC ysin ϕ 2 = ω 1 z r 1 sin ( ϕ 2 − ϕ 1 ) + ω 3 z r 3 sin ( ϕ 2 − ϕ 3 ) .Отсюда:ω1zsin ϕ 2 + ω 3 z r3 sin ( ϕ 3 − ϕ 2 )= −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−r1 sin ( ϕ 2 − ϕ 1 )VC y(42)(знак плюс при ω 3 z поставлен потому, что Лёня изменил порядок следования угловв круглых скобках).Теперь осталось получить расчётную формулу для ω 2 z (что можно сделать,исключив аналогичным способом из уравнений (40) – (41) неизвестную ω 1 z ).
Лёнясначала так и собирался поступить, но затем сообразил: в эти уравнения переменные с индексами 1 и 2 входят симметрично, так что нужная формула получится,если в формуле (42) индексы 1 и 2 поменять местами (учтите, что этот приём проходит не во всех вариантах задания типового расчёта!).Таким образом,VC y sin ϕ 1 + ω 3 z r3 sin ( ϕ 3 − ϕ 1 )ω 2 z = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− .r2 sin ( ϕ 1 − ϕ 2 )(43)У читателя может возникнуть вопрос: а почему нельзя было просто выразитьω 2 z из уравнения (40), поскольку угловая скорость ω 1 z теперь известна? Но Лёня(обративший в своё время внимание на пояснения преподавателя) действовал совершенно правильно.Дело в том, что расчётная формула, полученная непосредственно из уравнения (40), содержала бы в знаменателе sin ϕ 2 .
Если в ходе моделирования текущеезначение sin ϕ 2 обратится в нуль, то правая часть формулы превратится в неопределённость типа “0 / 0”, а выполнение программы натолкнётся на ошибку “делениена нуль”. Обращение в нуль значения sin ϕ 2 отнюдь не исключается постановкойзадачи (более того, после получения результатов моделирования мы увидим, что водин из моментов времени это действительно произойдёт).Расчётная формула (43) также содержит в знаменателе сомножитель, который может обратиться в нуль: sin ( ϕ 2 − ϕ 1 ) . Нетрудно, однако, убедиться, что обращение в нуль этого сомножителя соответствует нарушению линейной независимости уравнений (40) – (41) (определитель системы этих линейных уравненийпропорционален данному сомножителю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
