TR_KINEMATIKA_primer (1273227), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда управляющее устройство может в любой момент времени вычислить рассогласования(20)∆ x = xM − xD , ∆ y = yM − yD .Это устройство должно обеспечить сведение рассогласований (20) к нулю; кроме того, во избежание удара при захвате детали необходимо потребовать, чтобы и первые производные по времени от рассогласований былипри t = τ близки к нулю. Сформируем сигналы управления в виде линейных комбинаций рассогласований и их производных:(21)u x = ∆ x + T * −d−− ∆ x ,u y = ∆ y + T * −d−− ∆ y ,dtdtгде T * – постоянный коэффициент (характерное время управления).Сигналы управления (21) после усиления подаются на приводы. В современных высокоточных манипуляторах коэффициенты усиления k оченьвелики (“жёсткое” управление), поэтому будем считать, что k → ∞ , а величины k u x , k u y остаются конечными.Тогда u x , u y → 0, и приближённые предельные уравнения(22)ux = 0 ,uy = 0описывают движение схвата (с погрешностью порядка 1 / k ).Подставляя (21) в (22), получим следующие соотношения для рассогласований:(23)T * −d−− ∆ x + ∆ x = 0 ,T * −d−− ∆ y + ∆ y = 0 .dtdt32Таблица 1ϕ1ϕ2ϕ3x D ( 0 ) y D ( 0 ) x D (τ )10.82 0.68 0.46 2.91.10.520.81 0.47 0.91 1.32.23.6− 0.55− 2.030.43 0.91 0.84 0.33.84.240.42 0.97 0.99 3.00.20.1− 0.22− 1.350.78 0.45 0.91 1.70.15.81.3560.72 0.89 0.76 4.60.11.61.7770.46 0.97 0.74 1.34.35.680.81 0.73 0.47 1.12.93.890.76 0.80.46 0.32.51.8100.72 0.49 0.78 0.54.23.6110.83 0.57 0.49 0.51.63.0120.68 0.46 0.83 3.94.90.3130.78 0.85 0.49 2.11.00.1140.48 0.97 0.73 0.31.83.7150.42 0.97 0.90.32.90.4160.51 0.82 0.79 3.24.13.0170.41 0.83 0.98 2.04.31.4180.82 0.45 0.98 1.62.90.4190.92 0.98 0.81 1.52.7200.79 0.68 0.48 4.1210.76 0.42 1.4Варr1r2r3− 0.81.5− 1.81.88− 2.01.8− 0.91− 1.61.234y D (τ ) β x β y2.31.60.20.8 6.42.01.00.40.3 1.81.4− 1.60.56− 0.50.250.3 2.4− 0.9− 0.51.10.2 1.60.90.2 1.61.2− 1.31.31.6 0.22.21.6 0.2− 0.51.88− 1.661.32.0 16− 0.550.3− 1.60.61.33− 0.10.51.9 0.22.4− 1.5− 0.8− 2.20.11− 1.61.1− 0.91.60.2 1.61.6 0.21.61.20.31.6 0.22.2− 1.5− 1.65− 0.31.21.6 0.2− 0.78− 1.7− 1.122.01.7− 1.85− 2.0− 0.52.35.81.12.05.20.42.3220.75 0.78 0.47 1.12.82.0− 2.0− 2.1230.71 0.49 0.82 4.90.11.9240.75 0.65 0.78 0.31.90.11.5250.68 0.79 0.82 2.30.70.5260.81 0.72 0.49 3.75.44.2− 1.40.9270.78 0.65 0.48 1.60.11.52.6280.45 0.97 0.78 0.90.53.92.0290.49 0.98 0.77 2.10.43.7300.72 0.75 0.49 3.95.40.3− 1.3− 0.41.5 0.10.5 2.00.2 1.61.350.450.2 1.80.21.60.2 1.6− 0.1− 2.10.2 1.60.3− 0.7− 0.40.80.9− 1.02.251.6 0.2− 1.350.90.2 1.6− 0.41.4− 0.3320.160.52.2− 1.52.1212.0− 1.8− 1.42.4261.21.6 0.20.2 1.60.2 1.6− 0.1− 0.30.2 1.60.50.2 1.61.0 0.1− 0.41.5− 1.21.51.30.2 1.60.00.2 1.6− 1.72.2− 0.60.4 4.833Система (23) – это система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, решением которой служитследующая пара функций:−t T*−t T*∆ y = ∆ y (0) e / ,(24)∆ x = ∆ x (0) e / ,где ∆ x ( 0 ) , ∆ y ( 0 ) – значения рассогласований в начальный момент времени.Из соотношений (24) следует, что с ростом времени t значения рассогласований и их производных монотонно стремятся к нулю, что и являетсяцелью управления.Подставляя теперь в (24) выражения (20) для ∆ x и ∆ y , получаем формулы (18) – (19).
Эти формулы можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений движения точки M, а фигурирующие в них величиныxD , yD , VD x , VD y выступают в роли заданных функций времени.Система этих дифференциальных уравнений при заданных начальныхзначениях x M ( 0 ) , yM ( 0 ) однозначно описывает движение схвата.Последнее утверждение может вызвать определённые сомнения. В самомделе, из динамики известно, что если дифференциальные уравнения движения механической системы записать в виде уравнений 1-го порядка, то их число должновдвое превышать число степеней свободы, и для получения единственного решения нужно независимо задавать начальные условия как по координатам, так и поскоростям.
Однако число уравнений в системе (18) – (19) равно числу степенейсвободы, и они однозначно связывают координаты и скорости.Выход из противоречия состоит в том, что предельные уравнения (22) (изкоторых мы и вывели уравнения движения точки M ) справедливы лишь за пределами малого начального промежутка времени – так называемого пограничногослоя [9]. За время прохождения пограничного слоя значения сигналов u x и u y (первоначально – конечные) сводятся системой управления до значений, близких нулю. Это и означает, что за пределами пограничного слоя движение схвата с погрешностью порядка 1/ k описывается уравнениями (18) – (19).Нам осталось обсудить выбор характерного времени управления T *.По условию задачи в момент времени t = τ должны выполняться соотношения(25)∆ x (τ) / ∆ x (0) = ∆ y (τ) / ∆ y (0) = δ ;подставляя в них значения функций (24) при t = τ и логарифмируя полученные выражения, находим(26)T * = − τ / ln δ .Уравнения движения детали и схвата.
Как уже отмечалось, в задании данного типового расчёта зависимость координат детали D от временизадаётся дробно-линейными функциями специального вида (16) – (17). Рассмотрим более простую ситуацию, когда закон движения материальной точки D на отрезке времени [ 0, 1 ] имеет вид:βx tβy t(27)x D = −−−−−−−−−− ,yD = −−−−−−−−−− ,1 + βx t − t1 + βy t − tгде β x , β y – некоторые положительные коэффициенты.34Формулы (16) – (17) отличаются от соотношений (27) наличием в правыхчастях масштабных множителей и постоянных слагаемых; кроме того, роль аргумента в этих формулах переходит от t к безразмерному времени s .Дифференцируя соотношения (27) по времени, получаем выражениядля компонент вектора скорости точки D :βxβy..VD x = x D = −−−−−−−−−−−−− ,VD y = y D = −−−−−−−−−−−−− .
(28)(1 + β x t − t ) 2(1 + β y t − t ) 2Отсюда видно, что координаты x D и yD изменяются с ростом t монотонно (их производные по времени всюду положительны); при t = 0 значения x D и yD – нулевые, а при t = 1 они равны 1. Далее, VD x ( 0 ) = β x ,VD y ( 0 ) = β y , VD x ( 1 ) = 1 / β x , VD y ( 1 ) = 1 / β y .Получим уравнения траектории точки D .Как известно [3], для этого следует исключить время t из закона движения.Например, можно с помощью первого из соотношений (27) выразить t через x D иподставить полученное выражение во второе соотношение. Но чуть быстрее насприведёт к цели другой приём.Выразим β x и β y через текущие значения координат и времени:x (1 − t )y (1 − t )β x = −−−−−−−−− ,β y = −−−−−−−−−t (1 − x )t (1 − y )(индексы при x и y мы для простоты записи опустили).Поделим теперь почленно второе из равенств (29) на первое:βyy (1 − x )β ≡ −−− = −−−−−−−−− .βxx (1 − y )(29)(30)Сопоставляя равенство (30) с соотношениями (29) и (27), получаемуравнение траектории в виде:βx(31)y = −−−−−−−−−− .1 + βx − xИтак, зависимость y от x описывается дробно-линейной функцией.
Заметим,что вид зависимости y от x вполне аналогичен виду зависимостей координат точкиD от времени; это – специфическая особенность рассматриваемого закона движения точки D .Графиком дробно-линейной функции в общем случае будет гипербола. Поскольку в нашем примере координаты x и y изменяются от 0 до 1, делаем окончательный вывод: траекторией точки D является дуга гиперболы (при β = 1 онапревращается в отрезок прямой y = x ). Эта дуга при β > 1 обращена выпуклостью вверх, а при β < 1 – выпуклостью вниз.В общем же случае, когда закон движения детали D задан соотношениями (16) – (17), ситуация вполне аналогична.
Однако при получении формул для компонент вектора скорости детали следует, дифференцируя соотношения (16) – (17) по t , воспользоваться теоремой о дифференцированиисложной функции: взять производныеот правых частей этих соотношений.по s и умножить результат на s ≡ 1 / τ . Окончательно получаем:35VD xxD (τ) − xD (0)βx.,x−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−= D =τ(1 + β x s − s ) 2(32)VD yyD ( τ ) − yD ( 0 )βy.= y D = −−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−2 .τ(1 + β y s − s )(33)Что касается движения схвата M, то получение дифференциальныхуравнений его движения (18) – (19) было рассмотрено ранее. Теперь же мынашли (в соответствии с формулами (16) – (17) и (32) – (33) ) явный вид зависимости от времени входящих в (18) – (19) величин xD , yD , VD x , VD y .Уравнения движения манипулятора. Выше отмечалось, что рассматриваемый манипулятор является механической системой с двумя степенямисвободы, так что движение схвата однозначно определяет движение всех егозвеньев. Пользуясь аналитическим способом решения задач кинематики, составим (с помощью надлежащим образом выбранных графов) кинематические уравнения, откуда можно будет выразить скорость точки C и все угловые скорости ω jz ( j = 1, 2, 3) через VM x и VM y .
Полученные четыре формулы мы будем далее именовать расчётными кинематическими формулами.В разделе 2 излагалась последовательность действий, которой можно придерживаться в ходе решения задач кинематики аналитическим способом. Соответствующие рекомендации сохраняют силу и здесь. Заметим, что во всех вариантахтипового расчёта для получения расчётных кинематических формул достаточнорассмотреть два графа (если Вам потребовалось большее их число, то Ваше решение – заведомо неоптимальное).Упомянутые кинематические формулы определяют, в частности, конкретный вид правых частей дифференциальных уравнений для углов ϕ j :.ϕ j = ω jz ( VM x , VM y , ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ) .(34)Уравнения (34) вместе с уравнениями (18) – (19) образуют замкнутуюсистему дифференциальных уравнений, описывающих движение манипулятора.
Теперь данную систему можно при заданных начальных условиях численно проинтегрировать на компьютере, воспользовавшись услугами обучающей программы robby2 ; в результате движение манипулятора будетвполне определено.Заметим, что движение манипулятора моделируется с использованием избыточного набора переменных [10]. Можно было бы ограничиться интегрированиемлишь дифференциальных уравнений (18) – (19), но тогда для вычисления значенийуглов поворота звеньев в каждый момент времени требовалось бы решать системунелинейных уравнений.Следует также подчеркнуть, что манипулятор рассматриваемой здесь конструкции способен реализовать не всякое заранее заданное движение схвата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
