Учебник - ФОЭ (1267772), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для вывода этого соотношения определим сначала полное число электронов, энергия которых не превышает некоторогозначения Е.В классической механике электрон считается частицей, не имеющейпространственного объёма, состояние которой во времени и пространстветочно определено координатами x, y, z и составляющими импульса рх, ру,рz. Значит, состояние электрона будет задаваться (безразмерной) материальной точкой в шестимерном пространстве с взаимно перпендикулярными осями x, y, z, рх, ру, рz. Это пространство называется фазовым. Полныйобъём фазового пространства Vфаз равен произведению объёмов пространства координат Vxyz и пространства импульсов V px p y pzVфаз = Vxyz × V px p y pz .Объём изотропного пространства импульсов, соответствующий кинетической энергии28E = p 2 2m ⇒ p = 2mE ,(1.10)где m – масса электрона, есть объём сферы радиуса р, равныйV px p y pz = (4 3)π p 3 .
ТогдаVфаз = Vxyz × (4 3)π p 3 .(1.11)Согласно законам классической физики каждая точка этого пространства вполне характеризует состояние (координаты, скорость, направление движения) электрона, энергия которого не превышает величину Е и может изменяться непрерывно.Однако электрон не являются классической частицей. При переходеиз одного состояния в другое его энергия изменяется дискретным образомдаже, если этот дискрет очень мал, как, например, в твёрдом теле. Еслисостояние изменяется с дискретом ΔE , то, очевидно, что максимальноечисло возможных состояний электрона с энергией Е не превышает отношения E ΔE . Поскольку энергия выражается через импульс и координату, то число состояний в пространстве импульсов и координат не превышает отношений px Δpx и x Δx соответственно, где Δpx , Δx – дискреты изменения импульса и координаты, обязанные дискрету измененияэнергии.Из дискретности энергии логично следует принципиальная невозможность измерения физических величин с точностью, превышающейзначения, обусловленные наличием соответствующих дискретов.
Аналогично, применение линейки, проградуированной в миллиметрах, не позволяет измерять расстояния с точностью, превышающей значение дискрета, равного 1 мм.Таким образом, при измерении дискретных физических величин (определении состояния объектов микромира) всегда имеет место принципиальная неопределённость, не связанная с погрешностями применяемыхметодов и используемых приборов.Впервые к такому заключению пришёл немецкий физик Вернер Гейзенберг, который предложил принять эту принципиально неустранимуюнеопределённость в качестве специфического физического закона.
Согласно этому закону, известному сейчас как соотношение неопределённости Гейзенберга, при одновременном определении координаты и импульса имеет место неопределенность измерения Δx и Δpx , такая чтоΔxΔp x ≥ h,(1.12)где h – постоянная Планка, посредством которой определяется минимальный дискрет (квант) энергии, равный hν , ν – частота излучения. Неопределённость выражается через произведение, что соответствует пред-29ставлению фазового пространства произведением пространства импульсов и координат15.Отсюда следует, что для трёхмерного движения неопределённостьсоставит величину, порядка ΔxΔy Δz Δpx Δp y Δp z ≥ h3 . Это означает, чтообъём, который занимает электрон в фазовом пространстве, всегда конечный, не меньше размера элементарной ячейки h3 .
Учитывая, что в элементарной ячейке фазового пространства могут находиться 2 электрона спротивоположными спинами16, приходим к выводу, что объём фазовогопространства может содержать максимум 2 × (Vфаз h3 ) электронов. Тогда,используя (1.11) определим, что полное число электронов в единичномобъёме координатного пространства N ( E )[см −3 ] , энергия которых непревышает Е, будет равно()N ( E ) = 2 Vфаз (Vxyz h3 ) = 2 ( 4 3) π p 3 h3 .(1.13)Максимальная плотность разрешённых состояний, т.
е. число электроновв единице объёма с энергией Е, приходящихся на единичный интервалэнергии, по определению естьN ( E + dE ) − N ( E ) dN ( E ) dN dp===nmax ( E ) =dEdEdp dE()32E ≡ const × E ⎡⎣ см −3 Дж −1 ⎤⎦ .(1.14)При вычислении сложной производной использованы соотношения (1.10),(1.13). В силу (1.10) здесь Е – кинетическая энергия.Отметим, что «отступления» от классической физики касались, в основном, обоснования размера элементарной ячейки фазового пространства через соотношение неопределённости Гейзенберга, которое по существу является формулировкой принципа исключения Паули на языке классической физики.
Полученное соотношение (1.14) предполагает использование кинетической энергии классической частицы.= 4π 2m h 2Концентрация свободных носителей зарядаРавновесный полупроводникКонцентрация СНЗ не содержащего примесей равновесного полупроводника определяется соотношениями (1.8). Вычисление интеграловможно упростить, если, учитывая особенности проходящих физическихпроцессов, распространить интегрирование на бесконечные пределы. Такой шаг оправдан, поскольку почти все свободные электроны компактнорасполагаются на дне зоны проводимости, а дырки – у вершины валент-30ной зоны. Положив верхний предел интегрирования равным бесконечности, мы, не совершая существенной ошибки и сохраняя физический смыслрезультата, сможем получить более изящные аналитические выражения.Вычисление интегралов (1.8) значительно упрощается также благодаря тому, что функцию Ферми–Дирака можно заменить функцией распределения Максвелла–Больцмана.
Замена возможна, потому что дляпрактически важных случаев невырожденного полупроводника уровеньФерми находится в запрещённой зоне ниже дна зоны проводимости, покрайней мере, на несколько κ T , а основная масса электронов – в зонепроводимости на расстояниях E − EF > (2 ÷ 3)κ T . В этом случае в знаменателе уравнения (1.5) можно пренебречь единицей. Распределениемэлектронов становится выражение (1.9), где полная энергия есть суммапотенциальной энергии EC и кинетической энергии ЕкE = EC + Ек ,(1.15)а максимальная плотность разрешённых состояний (1.14) выражается через кинетическую энергию Е ≡ Ек .
Тогда, введя обозначение x = Ек κ T ,используя (1.9), (1.14) и m = mn , представим соотношение (1.8) в следующем виде:n=E0∫∞nmax ( E ) f Ф-Д ( E ) dEEC∫ nmax ( E ) fФ-Д ( E ) dE =EC∞32 −= ∫ nmax ( Eк ) f М-Б ( EС + Eк ) dEк = 4π ( 2mn h 2 )eEC − EF ∞κTx1 2 e− x dx,∫00где E0 – уровень свободного электрона в вакууме (рис.
1.10, рис. 1.11), mn– эффективная масса электрона, посредством которой учитываются особенности движения в твёрдом теле. Воспользовавшись табличным инте∞гралом∫x12exp ( − x ) dx = π 2, окончательно получаем:0n = NC e()2 32−EC − EFκT(1.16),32= 2,5 ⋅1019 ( mn m )× (T 300 )32⎡ см −3 ⎤⎣⎦имеет смысл эффективной плотности состояний в зоне проводимости.Определение концентрации дырок в приближении распределенияМаксвелла–Больцмана сводится к вычислению интеграла (1.8) для (1.7)f p ( E ) ≈ exp ⎡⎣( E − EF ) κ T ⎤⎦ , где полная энергия дырки равна E = EV − ЕкгдеNC = 2 2π mnκ T hи (как отмечалось ранее) отсчитывается от вершины валентной зоны EV31«вниз» в сторону отрицательных значений (рис.
1.11), pmax ( Eк ) определяется уравнением (1.14) при эффективной массе дырки m = m p , посредством которой учитываются особенности движения в твёрдом теле. Тогдаp=EV∫−∞∞0EF − EV ∞32 −h2e κTx1 2 e− x dx,()= 4π 2m p∫(где x = Ек κ T . Окончательно0p = NV eгде∫ pmax ( Eк ) fМ-Б ( EV − Eк ) dEк =pmax ( E ) f p ( E ) dENV = 2 2π m pκ T h)2 32−EF − EVκT(1.17),(= 2,5 ⋅1019 m p m)3232× (T 300 )⎡см −3 ⎤⎣⎦–эффективная плотность состояний в валентной зоне.Отметим, что полученные соотношения задают количество носителей заряда в единице объёма, но не закон их распределения по энергиям.Таким образом, концентрация СНЗ полупроводника при данной температуре однозначно определяется положением уровня Ферми.
Всякоеизменение положения уровня Ферми приводит к экспоненциальному изменению концентрации носителей и обратно – изменение концентрациибудь то за счёт температуры, легирования примесями, засветки и т. д. вызывает изменение положения уровня Ферми.Количество носителей заряда определяется процессами тепловойгенерации за счёт ионизации собственных и примесных атомов, а такжеобратными процессами рекомбинации электронов из зоны проводимостии дырок из валентной зоны (рис.
1.13, и ниже рис. 1.26, рис. 1.28). Процессы генерации и рекомбинации свободных носителей происходят непрерывно и параллельно. Равновесное состояние есть результат динамического равновесия этих процессов. При этом, однако, произведение концентраций электронов и дырок остаётся постоянным (правда, зависящимот температуры), равным квадрату собственной концентрации полупроводника. Действительно, учитывая, что в собственном полупроводнике носители образуются парами и n = p ≡ ni2 , после почленного перемножения выражений (1.16) и (1.17), получимnp = ni2 = const =(1.18а)= N C NV e− Eg κ T(= 2,31 ⋅1031 mn m p m 2)32× T 3e− Eg κ T.где ni – собственная концентрация.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
