Учебник - ФОЭ (1267772), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Среда, в которой происходит движение носителей, одинаково воздействует на движущийся поток независимо от причин,вызывающих перенос. Поэтому основные параметры, характеризующиедрейф и диффузию – подвижность и коэффициент диффузии – должныбыть связаны между собой.Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью устанавливается соотношением Эйнштейна.В неявном виде это соотношение содержат уравнения (1.44), (1.45),ибо в равновесном состоянии токи проводимости должны быть равнынулю. Физически это означает, что диффузионные токи, возникшие засчёт градиента концентрации носителей заряда, должны компенсироваться дрейфовыми токами за счёт возникающего поля. И наоборот.Определим напряжённость возникающего электрического поля, если,например, grad n ≠ 0.
Используя соотношение (1.16), получаем:⎛ n ⎞ dϕdn dEF N C e −( EC − EF ) κ T dEFn=−E,=|EF = qϕ = ⎜⎟dEF dxdxκTUT⎝ κ T q ⎠ dxгде U T = κ T q – температурный потенциал, равный 26 мВ для T =grad n == 300K (27 C). ОтсюдаE = − (U T n ) grad n.Явление насыщения дрейфовой скорости используются при конструировании полупроводниковых приборов. В частности, в полевых транзисторах принципиальным является возможность получить режим насыщения тока за счёт насыщения дрейфовой скорости.
Насыщение дрейфовой скорости является одной из причин независимости обратного токаидеализированного р–п-перехода от напряжения.Проведённые выкладки основаны на том, что концентрация СНЗ однозначно определяется положением уровня Ферми. Правомерно поэтомувыражать градиент концентрации носителей через сложную производную.Подставив найденное значение напряжённости поля в (1.44) и приравняв ток нулю, определим:D = (κ T q) μ = UT μ .(1.48а)( D μ ) = UT ,(1.48б)6162Соотношение Эйнштейна устанавливает прямую пропорциональностьмежду коэффициентом диффузии и подвижностью. Коэффициентом пропорциональности служит температурный потенциал.Это соотношение справедливо для невырожденных полупроводников, т. е. при относительно небольших концентрациях примесей, когдакоэффициент диффузии и подвижность не зависят от концентрации носителей заряда, а уровень Ферми находится в запрещённой зоне.1.5.
Уравнения непрерывностиИзвестное из раздела «Электричество» курса общей физики уравнение непрерывности, которое в дифференциальной форме выражается какdρdiv J = −,dtгде ρ [Кл/см3 ] − объёмная плотность заряда, является математическимвыражением постулата сохранения электричества (заряда). При анализеполупроводниковых приборов уравнение непрерывности используется виной более специфической форме, имеющей тот же физический смысл, новыраженный через сохранение числа носителей заряда.Поскольку ρ p = qp, ρ n = − qn, отсюда получаем∂p1= − div J p ,∂tq∂n 1= div J n ,∂t qВывод уравненийДля независимого вывода уравнения непрерывности, например, дырок выделим в пространстве дырок произвольный неподвижный объём,протяжённостью Δx с площадью поперечного сечения ΔS и размеромΔV = ΔxΔS (рис.
1.39). Возможные изменения концентрации дырок в выделенном объёме могут быть обусловлены следующими причинами:• внешней генерацией g p ⎡⎣ см −3с −1 ⎤⎦ ;• естественной рекомбинацией, скорость которой есть разностьR p = (rp − gT ) ⎡⎣ см −3с −1 ⎤⎦gpПр (х)между скоростью естественной рекомбинации rp и генерации gT , обусловленны-(1.45), (1.44) соответственно. В такой записи уравнения непрерывностивыражают темп изменения концентрации носителей через изменения соответствующих потоков.Однако в полупроводниках изменения концентрации носителей могут быть вызваны также генерацией, обусловленной внешним воздействием, которая неизбежно сопровождается естественной рекомбинацией.
Тогда, учитывая в (1.49) темп объёмной внешней генерации носителейg ⎡⎣ см −3с −1 ⎤⎦ , например, за счёт поглощения оптического излучения итемп их естественной рекомбинации R ⎡⎣ см −3с −1 ⎤⎦ , приходим к следующему виду уравнений непрерывности:∂p∂n= g p − R p − 1 q div J p ,= g n − Rn + 1 q div J n .(1.50)∂t∂tУравнения непрерывности являются следствием закона сохранениязаряда. Закон сохранения заряда касается самих зарядов, а уравнения непрерывности − темпов их изменений во времени и в пространстве. Факти-ми тепловыми переходами;• изменениями потокаП р ( x) − П р ( x + Δx) = −ΔП р .ΔSΔxП р ( x + Δx )(1.49)где J p , J n − плотности дырочных и электронных токов проводимости63чески уравнения непрерывности выражают условия непрерывности потоков зарядов.Rр = rp – gTхИзменения концентрации Δp в единичном объёме за единицу времени пропорциональны разностиΔp ~ ⎡⎣ g p − ( R p + ΔП p ) ⎤⎦ .Рис. 1.39.
Составляющие изменения концентрации дырок Тогда за время Δt во всём выделенномобъёме ΔV = ΔxΔS изменения концентрации составят величину(1.51)Δp Δx ΔS = g p ΔxΔS Δt − R p ΔxΔS Δt − ΔП p ΔS Δt.Разделив обе части этого уравнения на ΔxΔS Δt , и перейдя к пределу приΔx, ΔS , Δt → 0, получим соотношение для темпа изменения концентрации дырок в локальном физически бесконечно малом объёмеdП pdJ p∂p= g p − Rp −= g p − Rp −1 q≡ g p − Rp − 1 q ∇ x J p ,∂tdxdxкоторое и является дифференциальным уравнением непрерывности длядырок. Производная от плотности тока рассматривается здесь как составляющая дивергенции. Аналогично выводится уравнение непрерывностидля электронов.
Частная производная в левой части уравнений примененадля того, чтобы подчеркнуть неподвижность рассматриваемого объёма.64Для вывода уравнения непрерывности в виде (1.50), явно содержащем дивергенцию тока, учтём, что изменения потока вектора токаΔП р ΔS = (1 q ) ΔI р ΔS в пределах некоторого объёма равны потоку вектора через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объём,11ΔП р ΔS = ΔJ р ΔS = ∫ J p dS .qqS(1.52)Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S, окружающейвыделенный объём. Под знаком интеграла стоит скалярное произведениевектора плотности тока I p и векторного элемента поверхности dS . Тогда, подставив (1.52) в (1.51), разделив обе части уравнения (1.51) наΔV Δt , и перейдя к пределу при ΔV , Δt → 0, получим:⎛⎞∂p11= g p − R p − lim ΔV →0 ⎜ ∫ J p dS ΔV ⎟ = g p − R p − div J p .⎜⎟qq∂t⎝S⎠Учтено, что (по физическому смыслу) дивергенция есть предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность к объёму, ограниченному этой поверхностью, при объёме, стремящемся к нулю (поток вектораиз точки) [5].Уравнения непрерывности (1.50) показывают, в силу каких причинизменяется концентрация носителей заряда полупроводника во времени ив пространстве.
Концентрация носителей может изменяться из-за нетепловой генерации при внешних воздействиях, например, при засветке илиударной ионизации (первое слагаемое). В зависимости от знака второгослагаемого концентрация может изменяться из-за преобладания рекомбинации, либо тепловой генерации носителей. Наконец, концентрация может изменяться за счёт не нулевой дивергенции тока, т. е.
изменений потока свободных зарядов, например, из-за наличия поля, неподвижных зарядов или градиента (неравномерной) концентрации носителей в рассматриваемом физически бесконечно малом объёме (третье слагаемое). Уравнения упрощаются при отсутствии какой-либо из названных причин.Когда концентрация неосновных носителей существенно меньшеравновесной концентрации основных носителей зарядаnpp p 0 , pn nn0 ,реализуется линейная рекомбинация через ловушки и центры рекомбинации. Скорости линейной рекомбинации определяются соотношениями(1.33), (1.34).
В этом случае развёрнутые одномерные уравнения (1.50) дляННЗ имеют следующий вид65p − pn0∂pn∂p∂ 2 pn∂E= gp − n− pn μ p− μ pE n + Dp,∂t∂x∂xτp∂x 2∂n p(1.53)2n p − n p0∂n p∂ np∂E= gn −+ pn μn+ μnE+ Dn.(1.54)∂t∂x∂xτn∂x 2Вид уравнений непрерывности сохраняется также и для приращенийконцентраций Δpn = pn − pn0 , Δn p = n p − n p 0 , поскольку производные отравновесных концентраций равны нулю.1.6. Задачи на инжекцию и экстракцию неосновныхносителей зарядаПри анализе физических процессов в полупроводниковых приборахвозникают задачи, связанные с инжекцией неосновных носителей заряда.Инжекция – это поступление носителей заряда в области полупроводника, где они являются неосновными.Уровень инжекции δ определяется величиной отношения концентрации неравновесных неосновных носителей заряда к равновесной концентрации основных⎧⎪n p p p 0 или Δn p p p 0 , p -полупроводник, p p 0 > n p 0 ,δ =⎨(1.55)⎪⎩ pn nn 0 или Δpn nn0 , n-полупроводник, nn0 > pn 0При низком уровне инжекции δ 1.
При высоком – δ 1.Инжекция повышает концентрацию ННЗ в полупроводнике, нарушает условие термодинамического равновесия (1.18) и стимулирует рекомбинацию. Высокий уровень инжекции может вызвать изменение электрофизических параметров полупроводника, появление электрического поля,изменить характер рекомбинации.В настоящем разделе с помощью уравнений непрерывности проведено подробное решение и физический анализ некоторых задач, результатыкоторых используются в дальнейшем при исследовании физических процессов в полупроводниковых приборах.З а д а ч а 1.1. Определить распределение концентрации дырок в электронном полупроводниковом образце, если на одном его торце х = 0поддерживается стационарное значение избыточной неравновеснойконцентрации дырок Δpn (0) = pn (0) − pn0 .
Концентрацию ННЗ надругом конце образца считать равновесной. Рассмотреть случаи полубесконечного образца и образца конечных размеров w.Поддержание стационарной неравновесной концентрации ННЗдырок на торце означает их стационарное поступление в образец. Избыточная концентрация на одном торце создаёт в образце стационарный66диффузионный поток инжектированных дырок. Физическое содержаниезадачи заключатся в определении пространственного распределения (зависимости от пространственной координаты) концентрации инжектированных ННЗ для образца заданной длины, если на другом конце образцаподдерживается равновесная концентрация.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
