Учебник - ФОЭ (1267772), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Такая задача может возникать, например, когда один торец полупроводникового образца освещается коротковолновым оптическим излучением, постоянно создающим наторце тонкий слой фотогенерированных дырок, а другой торец заземлёнчерез омический контакт металл−полупроводник. Тогда эта задача становится частью анализа физических процессов в фотоэлектрическом приборе.
Ниже мы увидим, что в полупроводниковых приборах неравновеснаяконцентрация возникает, когда к прибору приложено внешнее напряжение. Тогда результаты решения такой задачи позволят анализироватьдиффузионные токи проводимости в приборах.Математическая сторона широкого круга физических задач, связанных с анализом процессов в полупроводниковых приборах, сводится крешению стационарных уравнений непрерывности (1.53), (1.54) для приращений концентраций Δpn ( x) , Δn p ( x) в отсутствии внешней генерациии электрического поля, т. е.
при ∂Δpn ∂t = 0, ∂Δn p ∂t = 0, g = 0, E = 0.для постоянных С1 = Δpn (0), C2 = 0,граничным условиям, будет равно−x L+Δpnpn(0)гдеL2p = D pτ p ⇒ L p = D pτ p(1.57)диффузионная длина неосновных носителей заряда − дырок в электронном полупроводнике.Для решения в виде Δpn ( X ) = С exp(λ x) , где С − константа, характе-ристическое уравнение ( L p λ ) 2 − 1 = 0дифференциального уравнения(1.56) имеет корни λ 1, 2 = ±(1 L p ) . Общее решениеΔpn ( x) = C1e− x Lp+ C2 e67x Lp1 − в полубесконечномобразце,2 − в образце конечных размеров w1 > Lp3 − в образце конечных размеров w L p ,4 − касательная к кривой 1.Диффузионный треугольник затенён.34φpn021xwLpРис. 1.40. Стационарное распределение концентрации инжектирован‐ных неосновных носителей заряда0Диффузионная длина − это расстояние, на котором избыточная концентрации ННЗ уменьшается (изменяется) в е = 2,72 раз.
Действительно,положив в (1.59) x = L p , получим [ Δpn ( x) Δpn (0) ] |x = L = 1 e = 0,37.pДиффузионная длина (1.57) является характерным масштабом процессадиффузии. На графике диффузионная длина определяется точкой пересечения касательной (штриховая линия) к кривой распределения ННЗ вплоскости инжекции x = 0 с уровнем равновесной концентрации pn0.Уменьшение концентрации дырок по мере распространения потокапроисходит за счёт рекомбинации, потому что в каждой точке кривой 1рис. 1.40 скорость потока дырок υдиф (производная от потока покоординате) равна скорости их рекомбинации (1.33). Это следует из видасамого уравнения (1.56).
Действительно, преобразуя слагаемое, содержащее вторую производную, получаем31Dp(1.58)−x Ln-Siw1wpn(x)Δpn(0)Полубесконечный образецВ отсутствии поля и внешней генерации уравнение упрощается до однородного уравнения второго прядка с постоянными коэффициентами:2d 2 Δpn Δpn2 d Δpn−=0,или− Δpn = 0,(1.56)DpLpτpdx 2dx 2заданнымppΔpn ( x) = Δpn (0)e⇒ pn ( x) = pn0 + Δpn (0)e.(1.59)Инжектированные носители распределены в полупроводнике по экспоненциальному закону с характерной постоянной Lp, равной диффузионнойдлине неосновных носителей заряда (рис. 1.40 кривая 1).Физический анализ полученного решения позволяет определитьсмысл диффузионной длины и ответить на вопрос, куда деваются инжектированные дырки, стационарно поступающие в полупроводник.Граничные условия определяются заданными физическими условиямизадачи.Конкретно для задачи 1.1 в случае полубесконечного образца граничные условия уравнения (1.53) принимают следующий вид:Δpn ( x)| x = 0 = Δpn (0), Δp ( x)| x =∞ = 0.удовлетворяющихd 2 Δpn ( x)dx2=dp ( x) ⎤ dd ⎡d⎡ D p grad pn ( x) ⎤ = − ⎡ П p ( x) ⎤ = υдиф .Dp n ⎥ =⎦⎦dx ⎢⎣dx ⎦ dx ⎣dx ⎣68d⎡ П p ( x) ⎤ − Δpn τ p = υдиф − R p = 0 ⇒ υдиф = R p .⎦dx ⎣Равенство скоростей диффузионного потока и скорости рекомбинацииявляется физическим условиемнепрерывности потока дырок.pn(x)Однако для рекомбинациидырок необходим стационарныйприток электронов.
Поэтому рассматривая физическую сторонуПр(х)Пп(х)•задачи, мы должны (в качествеварианта) домыслить также существование потока электронов. ИзRpнепрерывности потока дырок вx0условиях происходящей рекомбиРис. 1.41. Рекомбинирующие пото‐нации следует, что к каждой точкеки при стационарной инжекции неосновных носителей зарядакривой распределения ННЗ-дырокдолжен подходить поток ОНЗэлектронов, равный потоку дырок Пр(х) = Пп(х) (рис. 1.41).Распределение плотности потока дырок по координате и, вчастности, плотность первоначально инжектированного потока черезторец х = 0 можно определить из полученного решения (1.59):Тогда−x Lp⎤П p ( x) = D p ∇pn ( x) = D p ⎡⎣ Δpn (0) L p ⎤⎦ e|x = 0 = D p ⎡⎣ Δpn (0) L p ⎦ .
(1.60)Отношение Δpn (0) L p является модулем градиента концентрации, кото-рый характеризует величину инжектированного потока. Из рис. 1.40видно, что32 Δpn (0) L p = tgϕ , где ϕ угол наклона касательной(штриховая прямая 4) к кривой пространственного распределения ННЗ взатенённом треугольнике. Этот треугольник принято называть«диффузионным треугольником».Таким образом, в отсутствии электрического поля инжекция ННЗ вполупроводниковый образец создаёт в нём экспоненциальнораспределённый диффузионный поток ННЗ. Величина потока прямопропорциональна тангенсу угла наклона касательной к кривойраспределения инжектированных носителей.
В плоскости инжекциитангенс угла наклона tgϕ ∼ Δpn (0) L p определяется из «диффузионноготреугольника», катетами которого являются приращения концентраций идиффузионные длины ННЗ, а гипотенузами – отрезки касательных.Диффузионный поток имеет максимальную величину в плоскостиинжекции и при распространении экспоненциально затухает с постояннойL p за счёт неизбежно происходящей рекомбинации.69Образец конечных размеровРаспределение концентрации дырок, инжектированных в образецконечных размеров w, есть решение уравнения (1.56) для граничныхусловий(1.61)Δpn ( x)| x = 0 = Δpn (0), Δp ( x)| x = w = 0 .Из (1.58) определяем постоянные C1 , C2 , удовлетворяющие заданнымграничным условиям (1.61):C1 =Δpn (0) ew Lp=w Lp½ Δpn (0) esh( w L p ), C2 = −−w Lp½ Δpn (0) esh( w L p ).−w LpwLe p −eТогда решение уравнения (1.56) для найденных постоянных имеет видΔpn (0)w− xΔpn ( x) =(1.62)sh.Lpsh( w L p )В частности, если образец короткий с размером wL p то, разлагаягиперболические функции в ряд Тейлора и ограничиваясь линейнымприближением для shz ≈ z , из (1.62) получим линейное распределениеΔpn (0) ⎡⎣1 − ( x w ) ⎤⎦ ,(1.63)обозначенное номером 3 на рис.
1.40.Таким образом, распределение инжектированных ННЗ имеет экспоненциальный характер и выражается через гиперболические функции(1.62) (рис. 1.40, кривые 1, 2). Однако, если размер образца много меньшедиффузионной длины ННЗ, распределение является линейным (кривая 3).Знание пространственного распределения носителей позволяет определять потоки инжектированных зарядов. Необходимый для этого градиент концентрации в плоскости инжекции x = 0 находим из (1.62):Δpn ( x)w− xgrad pn ( x) = − ⎡ Δpn (0) L p sh w L p ⎤ ch|x = 0 =⎣⎦L(=−)(1.64)pΔpn (0)w ⎧− Δpn (0) w , когда w≈⎨cthLpL p ⎩− Δpn (0) L p , когда wLp .L p , w → ∞.(1.65)(1.66)если w L p или w → ∞,⎧1,cth( w L p ) ≈ ⎨⎩ L p w , если w L p .Плотность первоначально инжектированного потока равнаУчтено, что⎧Δpn (0) ⎡ D p w⎤ для w⎪⎣⎦П p ( x) = − D p ∇p ( x)| x = 0 = ⎨⎡⎪⎩Δpn (0) ⎣ D p L p ⎤⎦ для w70Lp .L p и w → ∞.
(1.67)Отметим, если w < Lp, диффузионная длина в формулах заменяетсяфактическим размером, что естественно.Для инжектированного потока справедливо общее правило, выраженное, в частности, соотношениями (1.36), согласно которым плотностьпотока равна произведению скорости потока на концентрацию. Действительно, из определения диффузионной длины (1.57) следует, чтоL p = ( D p L p )τ p = ( L p τ p )τ p ≡ υдифτ p .
ОтношенияD p L p = L p τ p = υдиф ,(1.68)имеющие размерности скорости, уместно считать разными выражениямисредней скорости диффузии или скорости диффузионного потока. Тогдавыражения (1.66), (1.67) приобретают вид, совпадающий с (1.36):П p ( x)⎜x = 0 = Δpn (0) ⎡⎣ D p L p ⎤⎦ = Δpn (0) ⎡⎣ L p τ p ⎤⎦ = Δpn (0)υдиф , или(1.69)П p ( x)⎜x = 0 = pn ⎡⎣ D p L p ⎤⎦ = pn ⎡⎣ L p τ p ⎤⎦ = pnυдиф .Из соотношения (1.68) видно, что диффузионная длина L есть среднее расстояние, которое проходит носитель за время жизни τ до рекомбинации в объёме.
Таков ещё один смысл диффузионной длины.Результаты решения для образца конечных размеров позволяют определить коэффициент переноса инжектированных носителей с одногоконца полупроводникового образца на другой. Статический коэффициентпереноса AT есть отношение потоков на торцах образцаAT =П p ( w)П p (0)=∇pn ( x)| x = w∇pn ( x)| x = 0=1≤ 1.ch( w L p )(1.70)Экстракция (вытягивание) неосновных носителейЗ а д а ч а 1.2. Определить распределение концентрации дырок в электронном полупроводниковом образце, если на одном его торце x = 0поддерживается нулевая концентрация ННЗ, а на другом – равновесная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
