Минаев Е.И. - Основы радиоэлектронники (1266569), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Шум, имеющий такую плотность распределения, называется гауссовским. Шумовое напряжение на выходе узкополосного фильтра при прохождении через него гауссовского шума имеет вид синусоидального колебания с частотой, равной резонансной частоте фильтра, причем амплитуда и фаза колебания меняются случайно. Рас- а и и Рис. 19.1. Гауссовское распределение вероятностей мгновенного внапенпя напра>кения флуктуацвонной помехи Рнс. 19.2. Релеевский вв. кон распределения вероятностей амплитуд шумовото напряжения Случайные процессы разделяются на стационарные и нестационарнвсе. Стационарными называются процессы, статистические характеристики которых не изменяются во времени.
В качестве иестационарного процесса можно назвать акустический шум удаляющегося автомобиля или электрический шум удаляющегося источника помехи. В этих случаях интенсивность шума изменяется во времени. Стационарные процессы, в свою очередь, можно разделить на зргодические и неэргодинеские.
Эргодическил>и называются такие процессы, вероятностные характеристики которых можно определить по одной реализации, производя усреднение по достаточно длинному интервалу времени; результат усреднения по времени будет совпадать с результатом усреднения по ансамблю реализаций. Большинство случайных процессов обладает свойством эргодичности. Случайные процессы описываются всевозможными многомерными распределениями вероятностей мгновенных значений.
В частности, одномерное распределение во многих случаях можно задать плотностью распределения р(и). Вероятность того, что мгновенное значение напряжения шума окажется в интервале (и, и+Ни), в этом случае равна р(и)ди, Очень часто плотность распределения вероятностей описывается нормальным законом Подставляя в это выражение р((Г ) из (19.2) и переходя к новой переменной интегрирования Хт (в' !(в', имеем (1=,,„, = 11 /' х'е ~'с(х. о Учитывая, что /'хое хно~(х="Г'л/2, о получаем (1=т.втх = '~Л'2 Ут. (19.3) Найдем теперь среднеквадратическое значение пряжения на выходе детектора. Для этого сначала персию выходного напряжения.
Известно, что дисперсия случайной величины х п2 хо (х) о где х' — среднее значение квадрата величины х; среднего значения х. шумового навычислим дис- (19.4) '(х) о — квадрат 469 пределение вероятностей для случайной амплитуды такого напря- жения Утт- 0 носит название релеевского (рис. 19.2); р((у )= — "" Е . "т, 2 (19.2) ~ ~и где (у — среднеквадратическое значение шумового напряжения на входе фильтра. Фаза флуктуационного колебания на выходе узкополосного фильтра имеет равномерное распределение от 0 до 2п.
Знание законов распределения шумового напряжения позволя- ет рассчитать многие величины, характеризующие влияние шумов на работу радиотехнических устройств. Найдем, например, шумовое напряжение электрической цепи, состоящей из узкополосного фильтра и идеального линейного де- тектора. Напряжение на выходе идеального линейного детектора с коэффициентом передачи, равным единице, равно амплитуде входного напряжения: ('д.вверх = ('т вх. Отсюда следует, что средневыпрямленное значение напряжения на выходе детектора (постоянная составляющая напряжения на вы- ходе детектора, возникающего в результате прохождения шума через детектор) (1=т.втх = .~ Иттр ((Гтт) о((тт. о Для идеального линейного детектора величина (7=,,„„, эквивалентная х согласно (19,3), равна Увы(У .
Найдем (У~, ..., эквивалентную х~: 0 ОО ()',)'(7'шр((7 И(7 =(у .( х'е "~'и =2(7 (195) а а Таким образом, дисперсия шума на выходе детектора „а 4 — и а й'„„„, =: — ' (7 ш. 2 (19.6) Средиеквадратическое значение переменной составляющей шумового напряжения на выходе детектора (ушш *= ~/ 4-~ (уш=0,665(/, У 2 (19.7) 192. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И СПЕКТР ШУМА Найдем корреляционную функцию эргодического шума 1 тта ф(т) е и(4)и(1+т) =1пп, )' и(1)и(1+т)ай. (!9.9) т -тж При Т=О корреляционная функция 4р(0) равна полной средней мощности шума на сопротивлении 1 Ом: ф (О) = и' (1) = (7'ш+ (и (1) ) ', (19.10) где иа(1) — среднее значение квадрата шумового напряжения; 2 Уа,— дисперсия напряжения шума; и(1) — среднее значение шу.
мового напряжения. 490 Напомним, что (7 в (19.3) и (!9.7) — это среднеквадратическое значение гауссовского шума на выходе узкополосного фильтра перед детектором. Если на входе фильтра помимо шума имеется сигнал в виде иемодулированного синусоидального колебания с амплитудой 41 и частотой, равной резонансной частоте фильтра, то между сигналом и шумом образуются биения. При достаточно большой амплитуде си~нала можно считать справедливым неравенство ()»(7 .
В этом случае можно рассматривать лишь биения между сигналом и шумом и считать шум на выходе детектора приближенно равным шуму на его входе: (19.8) Следовательно, при одновременном детектировании достаточно большого сигнала и слабого шума флуктуации напряжения на выходе идеального детектора больше среднеквадратического напряжения шума в отсутствие сигнала в 110,665=1,5 раза.
Понятие спектральной плотности мощности, введенное в предыдущей главе для детерминированных сигналов (см. (18А7)), можно распространить и па случайные процессы. Спектральная плотность шума определяется равенством Р(1) 11шЛ (Н,())(, '(19.11) т Т из которого видно, что она равна средней мощности шума, приходящейся на полосу частот шириной 1 Гц. В соответствии с соотношениями Винера — Хинчина, приведенными в предыдущей главе [см. (18.56) и (18.57)), корреляционная функция и спектральная плотность мощности шума связаны меж.
ду собой преобразованиями Фурье: РЯ= 3 ф( )е-м 2т; (19.12) ф(т) = )' РОВ' 1(, (19.13) Белый шум. Белым шумом называют шум, имеющий равномерную спектральную плотность мощности шума для всех частот от — со до оо. Пусть спектральная плотность Р(1) =Ло12=сопя(, (19. 14) где У,— мощность шума, приходящаяся на единицу полосы частот при одностороннем отсчете частот от 0 до оо. В этом случае согласно (19.13) корреляционная функция шума ф ( ) = —,' У ~~"' Ч= —,' б ( ).
(19.15) Следовательно, в белом шуме некоррелированными являются значения шума в любые два несовпадающие момента времени. Из (!9.14) следует, что мощность белого шума бесконечно велика: Р= /' Р(Г)~(7=со, Ясно, что ни один источник шума не может иметь бесконечную мощность. Следовательно, в любом реальном источнике шума спектральная плотность по мере увеличения частоты должна стремиться к нулю, чтобы суммарная мощность шума была конечной, Фильтрованный белый шум.
Рассмотрим белый шум, прошедший через фильтры с различными характеристиками. Спектраль. ная плотность мощности шума на выходе фильтра Р.(1) = !на 3'Р (1"), (19. 16) где )Н(1) )э — квадрат модуля передаточной характеристики фильтра; Р,(1) — спектральная плотность мощности шума на входе фильтра, постоянная и равная по предположению У,/2. Идеальный фильтр. Найдем корреляционную функцию для белого шума, прошедшего через идеальный фильтр с прямоугольной амплитудно-частотной характеристикой и полосой пропускания от )~ до /ь Фильтрованный шум уже не является «белым> (нногда такой шум называют «цветным» или «окрашенным»).
Согласно (19.13) корреляционная функция такого шума ф(т) = / — 'е) а7+ /' — 'е~ '4=,/'К«соя от«//= — д 2 л 2 Уо — (з!и езт — з)п ы,т). 2а« Введя обозначения: Ь/=/з-/б Ли=аз — мб ыо= (кч+ыг)/9, по лучим ф(,) =(/'„и" д'с ы,т, (19.17 яа/« (/з мап,рт Р р« (19.18) На рнс. 19.3,а и б изображены спектральные плотности белого шума, прошедшего идеальные фильтры полосовой и нижних частот, а на рис. 19,3,в изображены корреляционные функции шума, прошедшего полосовой идеальный фильтр (сплошная линия), и шума, прошедшего идеальный фильтр нижних частот (штриховая линия).
Фильтр с колоколообразной характеристикой. При прохождении белого шума через фильтр с колоколообразной амплитудиочастотной характеристикой, для которого получаем спектральную плотность шума на выходе фильтра — гт-и р(/) уо ( т~е) 2 Подставляя зто выражение в (19.13), найдем корреляционную функцию шума на выходе такого фильтра ф(т) =(/«е 'е совьют, (19.19) 4 где (/« =Ж«Л/ — дисперсия шума. Для идеального фильтра нижних частот имеем: /~= — Р,р, уз=ггг~ 031= «««Р ыз=ы«Р; Ам=аз и!= 2йгр, где ггр=()«р/йл граничная частота. Корреляционная функция шума, прошедшего идеальный фильтр нижних частот, согласно (19.17) равна г г « р тр Рис. ПКЗ. Спектральные плотности и корреляционные функции белого шума, прошедшего через идевльиые фильтры; а — опептральяая плотность на выходе полосового фильтра; б — то же на выходе филь. тра ннжнях чаетот; е корреляционные Фуяхпнн тштряховая линия — Фнльтр ннжннх частот, оплошная — полооовоп Фильтр) Резонансный контур.
При прохождении белого шума через резонансный усилитель с амплитудно-частотной характеристикой МУ) Р= 1+И вЂ” 1 )~б( )в корреляционная функция шума на выходе резонансного усилителя имеет вид тр (т) = У„, е ™вф ч соз ототт (19.20) где ххулп = — О7о,г. 2 Сравнивая выражения (19.17), (19.!9) и (19.30), замечаем, что корреляционная функция шума на выходе полосовых фильтров с различными симметричными по средней частоте амплитудно-частотными характеристиками всегда имеет вид косинусоиды соя изот с частотой от, равной центральной частоте полосы пропускания фильтра ым амплитуда которой убывает с ростом )т(.
Характер убывания определяется видом амплитудно-частотной характеристики фильтра. Для идеального фильтра огибающая косинусоиды имеет вид з)их!х, для фильтра с колоколообразной характеристикой — вид колокола, для одиночного резонансного контура огибающая стремится к нулю по экспоненте. Во всех случаях убывание корреляционной функции происходит тем быстрее, чем шире полоса пропускания фильтра.
Следовательно, интервал корреляции обратно пропорционален полосе фильтра. Узкополосный шум. Идеальный полосовой фильтр можно считать узкополосным, если выполняется условие Ж=Й вЂ” 7~~)4= (74+7~)/2. Задаваясь полосой пропускания на некотором уровне, можно надлежащим образом сформулировать условия узкополосности и для других фильтров. Если выполняются неравенства 1гэгт)«1 или (т) «1/й7, то огибающая в выражениях (19.17), (19.19) и (!9.20) приблизительно равна единице и корреляционная функция шума на выходе фильтра ф(т) = (у„соз ыэт (19.2! ) совпадает по форме с корреляционной функцией детерминированного сииусоидального колебания с произвольной фазой. Отсюда следует, что шум на выходе любого узкополосного фильтра в пределах промежутка времени, малого по сравнению с 1!Л1, должен в большой степени быть похожим на синусоидальное колебание с некоторой начальной фазой и постоянной амплитудой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
