Минаев Е.И. - Основы радиоэлектронники (1266569), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Вира-,'-". жение (!8.61) для амплитуды высокочастотного напряжения на выходе идеального полосового фильтра можно переписать в сле- дующем виде: Ка сна= Ко(7гаФ (и, х), (18.64) где Ф(г, х) =8!а-5!(г-х); г "— '~'1'= — ~ !', х= — ". 452 Для определения максимального значения амплитуды выходного напряжения (/таага необходимо найти значение з, при котором дФ/г1з=О. Дифференцируя Ф (г, х) по з и решая относительно г урав- нение а ох 3 а!п (з — х) =О, а а — х находим г=х/2. Подставляя это значение в (18.64), получаем г х 2 . Лгаа (/т аых тах= — Ко~ т81 — = — гго(/т51 гг, 2 п 4 (18.65) При малом х/2 можно считать, что 81 х/2 =х/2.
(18.66) Следовательно, при очень узкой полосе пропускания идеального фильтра амплитуда высокочастотного напряжения иа его выходе пропорциональна его полосе пропускания. 18.7. ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА Функция времени с резко ограниченным спектром полностью определяется своими значениями (отсчетами), взятыми через интервал времени 61=1/2/,р: и(/) = 2, и(иА/) (18.67) ~гр и (1) = / (/ (/) е1"гг(/, — У гр (18.68) Спектр У(/) продолжим периодически на всю ось частот с пеиодом 2/,р.
Тогда для частоты /, лежашей в пределах от — /,р до ,, функцию У(/) можно представить в виде ряда Фурье: Ц (/) ~~~ С Е1оааи21 ~"~ С Егоаааг1 причем // (/) е — » агта1ар г// = Л/ / (/ (/) е-1а хаги 2/ р -г'гр 'гр где го.р=2п/,р — граничная частота спектра передаваемой функции. Доказательство теоремы. Пусть непрерывная функция времени и(/) имеет спектр, ограниченный частотой /,„. Используя ойратное преобразование Фурье, представим эту функцию в виде Используя (18.68), убеждаемся, что С„= Ми ( — гевар ), поэтому У (Д) ~ Лги ( — йггг) ер""'" = 2", Лали (йМ) е-р'е'", и — ьг А -г Подставляя это соотношение в (18.б8), получаем Угр м и(1) бг )' 2. и(йд1)е-)алга е1 ггЦ Изменяя порядок выполнения операций мирования, имеем го /р и(1) = ~~ и(ДЛГ),/ е)ачг — ааг)г(1 2)р а гр интегрирования и сум- откуда и следует (18.87).
Формула Котельникова дает точную сумму для любой функции и(г), если в ее спектре нет составляющих с частотами выше ),р. Физическая интерпретация теоремы Котельникова. Покажем, что в соответствии с теоремой Котельникова непрерывную функцию времени и(г), спектр которой ограничен частотой ),р, можно представить в виде суммы единичных импульсов (дельта-функций), соответствующих моментам времени АМ и умноженных на значения функции и(1) в эти моменты и пропущенных через идеальный фильтр нижних частот с граничной частотой ),р. Согласно (18.32) отклик идеального фильтра нижних частот ,:..! (1) 2г в)п игр(1 га) гага(1 — 1о) С точностью до постоянного множителя 2),р функция а)пег,рХ Х(г-Го)/ывр (г-га) является реакцией фильтра нижних частот на единичный импульс 6(г — го).
Представим себе, что сигнал иг(1) передается в виде последовательности прямоугольных импульсов длительностью т с интервалом между импульсами ог'=172),р, причем площадь каждого импульса равна и1(Мг)т (рис. 1813). Рис. 1В.13. Представление непрерыв ного сигнала прямоугольными нм пульсами При прохождении этой последовательности через идеальный фильтр нижних частот напряжение на выходе от /т-го импульса мтл (/) = щ (игл /)т2/гр в)п ы.р(1 — йМ) р(1 (гл1) Напряжение на выходе от всех импульсов мв(1) = 2; т2/гвм! ЯМ) Х Сравнивая данное выражение с формулой Котельникова, видим, что напряжение на выходе фильтра нижних частот ив(() отличается от первоначального напряжения м~(1) лишь постоянным множителем т2/,в. Следовательно, и,(г) = -= — ив(() = — ия(1).
1 Ж т2(,Р то. ти гь чв иаг и г и» чостот Ь.Р, Р чтилитсло к.ьсгг Вч Р ч Р ос ии о Рис. 18,14. Схема получения импульсных отсчетов сигнала н восстановления непрерывного сигнала по его отсчетам Отсюда делаем заключение, что первоначальный сигнал и(/), передаваемый в виде указанной последовательности прямоугольных импульсов, можно восстановить на приемном конце линии связи, пропуская эту последовательность через фвльтр нижних частот с граничной частотой /,р и усиливая в К=М/т=1/2/,вт раз.
Такая схема передачи показана рис. 18,14. Реальные сигналы не имеют строго ограниченного частотного спектра и, следовательно, могут быть переданы по такой линии связи лишь с известной погрешностью. Практические ограничении и их преодоление. Теорема Котельникова предполагает ограниченность спектра частотой /,и. При восстановленни сигнала по отсчетам предполагалось применение идеального фильтра, имеющего строго ограниченную полосу пропускания.
На практике не существует сигналов с ограниченным спектром, так как все сигналы, ограниченные во времени, имеют бесконечную ширину спектра. Не существует также идеальных фильтров, имеющих строго ограниченную полосу пропускания. Рассмотрим влияние этих практических ограничений и способы уменьшения нх влияния. Для этого рассмотрим, как изменяется функция и(1), когда берутся ее отсчеты.
В результате взятия отсчетов получаем из функции и(/) новую функцию. и,(1) =и(1)з(1), где з(Г) — периодическая последовательность прямоугольных импульсов единичной амплитуды, имеющих длительность т и период повторения ЛГ=!/г„где 1,— частота отсчетов. Периодическую функцию з(г) можно представить рядом Фурье з(г) = Со+ ~ 2С„соз лгнД (18.70) н=! где С„с вчнно)зт (18.71) аг ллб г Подставляя (18.70) в (18.б9), имеем и,(Г) =Сои(Г)+2С1и(Г) сов в.Г+2Сги(Г) соз 2оч(+ ...
Если спектром и(Г) является 1)(1), то спектр и,(Г) и,())-Сви())+С,(и()-),)+и()+)Т))+ + Св [ (7 () — 2), ) + (7 () + 2)ч ) ) + ... (18.72) На рис. 18.55 показаны спектры (/(1) и (/,(1). Согласно (18.?1) коэффициенты С„убывают с увеличением п. Следовательно, С,(Со, поэтому левый и правый спектры на рис. 18.15 должны быть меньше центрального. Однако при малой длительности отсчета т и 7.т((1 С1 очень мало отличается от Со.
Поэтому па рис. 18.15 амплитуды спектров показаны одинаковыми. Нетрудно заметить, что при ~,(2),р спектры перекрываются. Очевидно, что сигнал и(Г) можно восстановить по спектру (7,(1) Ь. с помощью фильтра нижних частот, если спектры не перекрыва- ютсЯ, т. е. только пРи гв)2)вр. Минимальная частота отсчетов 1.=2)",р называется скоростью Найквиста.
Так как реальные сигналы не имеют строго ограниченной частоты 1,„, за пределами которой спектральная плотность равна нулю, то всегда имеет место перекрытие спектров. Уменьшить влияние перекрытия спектров можно, увеличив частоту от счетов 1, по сРавнению с 21,н (1, отсчитываетса на достаточно й) малом уровне).
чй РЭ Р Р Д Р Р в Р Р ! в ! 1 ! Р ° Р я е в чн Рвс. 18да. Снсктры снгнвлв н(0 и отсчетов снгнвлв и,(Г) Влияние неидеальности фильтра нижних частот, применяемого для восстановления сигнала по его отсчетам, проявляется в том, что фильтр пропустит не только центральную часть спектра (7,(!) (см. рис. 18.!5), но и частично сигналы соседних спектров, даже когда они не перекрываются, Очевидно, что и в этом случае повышение частоты отсчетов позволяет лучше разнести спектры и уменьшить нежелательное проникновение составляющих частот соседних спектров.
Очевидно также, что чем ближе к идеальным характеристики фильтра нижних частот в схеме рис. !8.!4, тем меньше влияние рассмотренных выше практических ограничений. Физическая реализуемость фильтров. Судить о том, осуществим или неосуществим тот или иной фильтр, можно по его частотной характеристике. Согласно критерию Пели — Винера необходимым, но не достаточным условием физической реализуемости фильтра является конечность интеграла )',+), 4< ))и И(!) ! (18.73) Например, фильтр с прямоугольной характеристикой физически нереализуем, так как ()пН(Д) за пределами полосы пропускания равен бесконечности.
Нереализуем также и фильтр с колоколообразной характеристикой, так как, хотя отношение числителя и знаменателя стремится к конечному пределу, интеграл равен бесконечности. Однако это не означает, что нельзя реализовать фильтр с частотными характеристиками, близкими к идеальным.
Например, амплитудно-частотную характеристику, близкую к прямоугольной, можно получить при достаточно большом числе звеньев фильтров Баттерворта и Чебышева. Также известно, что большое число резонансных контуров имеет частотную характеристику, близкую к гауссовской. Подробнее сигналы и их спектры описаны в 138 †!.
Глава !9 ШУМЫ )Э.!. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ШУМА В этой главе рассматриваются флуктуационные помехи, обычно называемые шумами и проявляющиеся в виде электрических колебаний, представляющих собой случаиный процесс. Вначале рассматриваются статистические характеристики шумов, затем дается оценка их влияния на работу радиотехнических устройств 139 †!. 457 р(и) = 1 е мпво', Уйпо (19.1) где аз в дисперсия; и у — среднеквадратическое значение шумового напряжения. Гауссовское распределение показано на рис. 19.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
