Минаев Е.И. - Основы радиоэлектронники (1266569), страница 87
Текст из файла (страница 87)
д., при стремлении длительности импульса т к нулю. Согласно (18.18) /' и(/)6(/ — /о)й= и(/о) (18.! 9) Единичный импульс напряжения и(1) =6(1) имеет спектр (/(/) = / 6(1)е — ЬЯ6/=1. (18.20) н(~) О прн (/( )т/2; А при — т/2 ~/(т/2. (18.21) Спектр прямоугольного импульса е/2 мп лт/ Ц(1) = )' Ае — МЙ=Ат ят/ '(18.22) Функция з(опт//лт/, определяющая спектр прямоугольного импульса, показана на рис. 18.5. Единичный импульс имеет равномерный спектр, его спектральная функция для любой частоты равна единице. Прямоугольный импульс. Рассмотрим случай, когда сигнал представляет собой одиночный прямоугольный импульс, расположенный симметрично относительно начала отсчета времени.
Если амплитуда импульса равна А, а длительность т, то такой импульс является следующей функцией времени: Колоколообразный импульс. Функция и(/) =Ае-а'т' (18.23) называется колоколообразным илн гауссовским импульсом. Спектр такого импульса а гФ ц(/) /Ае-<рч'1 ж=Ае- ч4р:Х О М Рис. 18.о. Спектр оиииоииого примоугольиого импульса 24 у( / е Фте~"газуй= — е "мр' / е "г/х. о Учитывая, что интеграл в правой части равен уп/2, получаем ц (/) =А у=" Е-ии ~а (18.24) Замечательным свойством колоколообразного импульса является то, что его спектр также имеет колоколообразную форму. Кроме того, такой импульс имеет производные любого порядка. Его недостатком является расплывчатость во времени. Теоретически импульс существует в течение всего времени.
Несмотря на это, импульс обладает высокой сосредоточенностью во времени при заданной сосредоточенности по частоте 1381. Другими словами, произведение длительности импульса на некотором относительном уровне на полосу спектра на том же уровне у колоколообразного импульса мало. Поясним этот факт несколько подробнее. Подставим в качестве р в (18.12) величину, )) = 2/т. (18.25) Величину т можно назвать длительностью импульса на уровне 1/е, так как при /=т/2 высота импульса падает в е раз. В этом случае выражение (18.24) для спектра примет вид Ц(/) = — Ат)тпе — Ь гар!', (18.26) 2 откуда следует, что ширина спектра на уровне 1/е при одностороннем отсчете равна та 1' = 2/чт. (18.27) Часто длительность и полосу отсчитывают на уровне у„,„= 1/)~2 =- 0,7, 440 При отсчете на уровне 1/е произведение длительности импуль- '4а, са на ширину спектра .фа тб/= 2/и.
(18.28) В этом случае согласно (18.23) и (18.24) получаем: е м(то, гад=2 — '/з( е-(нгрр(лдпр=2-ыз, Логарифмируя и перемножая эти равенства, получаем теаЛ)о,т= — !и 2=0,22. 1 (18.29) Это произведение для колоколообразного импульса значительно меньше, чем для прямоугольного, треугольного илн косиггусондального. Например, для прямоугольного импульса произведение длительности импульса на ширину спектра вдвое больше.
188. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ Формулы прямого и обратного преобразований Фурье устанавливают однозначное соответствие между сигналом и(г) и его спектром су(1). Основные свойства преобразований Фурье, приводимые ниже, позволяют получить более полное представление об этом соответствии и облегчают использование спектральных преобразований при решении практических задач. Сдвиг сигнала во времени. Пусть из(1) — результат сдвига по времени сигнала и1(1) иа величину уо в сторону запаздывания: 1гз(1) =11! (1 (е) Спектральная плотность этого сигнала (УзЧ) = ( гзз(1)е 1"'г(1=,( а~(1 — 1е)е 1"'с(й Вводя новую переменную т=( — ум получаем (уз(() =е 1~г 1 и,(т)е 1 Ыт=е — 1"г ()оЦ), (18.30) Таким образом, сдвиг сигнала по времеви на уо эквивалентен изменению фазового сдвига составляющих спектра на величину Ч'(1) = — ю1о.
Справедливо и обратное утверждение: дополнительный сдвиг всех составляющих спектра иа величину гр(1) = — оз1о эквивалентен запаздыванию сигнала на время 1о. ПРимер. На рис. 18.6, а показан прямоугольный импульс, симметричный относительно момента 1=0. Импульс, изображенный на рис, 18.6, б, запаздывает на Й=т12 по отиогпеиию к импульсу, указанному иа рис. 18.6, о. Спектр иторого импУльса (Гз(1) =(1,(1)е-ыттз. СоотиетстиУюпгсе изменение фазоиого спектРа иидно иа рисунка.
Изменение масштаба времени. Рассмотрим сигнал из(1) =и,(а1). Умножение времени 1 на постоянный коэффициент а эквивалентно изменению масштаба времени. - и'/г р к/г з р с -г/и' р г/ь у - г/ р г/ Рнс. 18.6. Изменение Чзазоного спектра запаздывающего прямоугольного импульса: а — пряиоугольиын иисульс и есз спектр; б — запаздывающая прамоугольиьи импульс и его спектр Следовательно, функция из(1) принимает те же значения, что и функция и, (1), но в более ранние или более поздние моменты времени.
Спектральная функция такого сигнзла 02(1) = )" из(1)е-1 Ж= )' и,(а1)е 1ьмсй. Вводя новую переменную т=аг, получаем 1 (/2(1) = — Г П, (т);1 супе(т, а откуда (/2(1) = (/1 ( ) ° (18.31) '. 442 Таким образом, уменьшение длительности импульса любой;. формы в а раз сопровождается расширением его спектра во столь-,' ко же раз, и наоборот. сг'(1) = )' иЦ)с — ~""~Ц, что эквивалентно (18.14), за исключением знака в показателе экспоненты. На этом основании приходим к следующему выводу: если сигнал и(1) имеет спектр (7(1), то спектр сигнала (г'(1) — и( — 1). Отсюда следует, в частности, что прямоугольной форме частотного спектра: (7Я = '""; — 1.р.-.) Л(.р; и(0=о; ((~--(,„ соответствует сигнал гг (1) е и Я = 2(,~ '-'— " ".~' — '1 — '—1 . райн(à — Гс) (18.32) Нетрудно показать, что это выраисение совпадает с импульсной характеристикой й(1) идеального фильтра кижиих частот, амплитудно- и фазочастотная характеристики которого показаны на рис.
18.7. Отклик идеального фильтра на единичный импульс по времени начинается раньше поступления сигнала на его вход. Отсюда следует, что идеальный фильтр физически нсреализуем, но тем не менее является полезной теоретической моделью. Сложение сигналов и спектров. Из линейности прямого и обратного преобразований Фурье следует, что сигнал и(1) =а,и,(1)+ +анна(1)+ ..., являющийся суммой сигналов, имеет спектр ~(р)= 11 (1)+па(7М)+ ". (18.33) Умножение сигналов и спектров.
Рассмотрим сначала сигнал, являющийся свсрткой двух сип|алов: и(г) =и~(1)ии,(г) = ( и,(т)иа(г — т)с(т. Рис. 13.7. Лмилнтудно- и фааоиастотиая характеристики идеального фильтра нижних частот Взаимная обратимость частоты и времени. Обращаясь к формулам прямого и обратного преобразования Фурье (18.13) и (18,14), замечаем их почти полное подобие.
Например, заменяя 1 на 1, а 1 ка 1" в (18.13), получаем Найдем спектр такого сигнала (У(1) = 1 ( 1 и~(т)из(1 — т)йт)е м'г(!. Изменив порядок интегрирования, получим У(1) = 1 и~(т) ( 1 из(! — т)е м'~й)дт= = 1 и,(,) и,(1)е-1-«)т=(7,(1)(7,(1) (18.34) Следовательно, спектр свертки двух сигналов равен произведению их спектров.
Вследствие взаимной обратимости частоты н времени спектр сигнала, равный произведению двух сигналов и(!) =и,(1)и,(!), должен представлять собой свертку их спектров ОО и(1)=и,(1) и,(1)= 1 и,(х)и,(1- ) (. (18.35) В качестве примера рассмотрим прохождение сигнала через фильтр с известной частотной характеристикой. Пусть сигнал на входе фильтра и, (!) имеет спектр (7,(1), тогда сигнал на выходе из(1) имеет спектр У,(1) =Л(1) У,(1), где Н(1) — передаточная функция фильтра.
Используя обратное преобразование Фурье, можно по выход- ному спектру найти выходной сигнал. Но передаточная функция Н(1) есть спектр сигнала, появляющегося на выходе фильтра при подаче на его вход дельта-функции б(!). Следовательно, г((1) есть спектр импульсной функции й(!). Ввиду того что (7~(1) = (7 (1) Н(1), (18.36) имеем из(!) =и,(1)ай(!), или (18.37) и,(!) = 1 и,'(т)Ь(1-т)г(т. Если входной сигнал равен нулю до момента !=О, то напряжение па выходе физически реализуемого фильтра не может возникнуть раньше этого момента времени. Поэтому нижний предел интегрирования в (18.38) можно заменить нулем: из(!) = 1 и~(т)Ь(! — т)йт, '(18.39) О (! 8.38) 1' У (1))ые~ 'с(1, откуда (уз(() =1ы(1, (Л.
(18.40) Таким образом, дифференцирование сигнала эквивалентно умножению его спектра на величину 1м. При дифференцировании подчеркиваются (увеличиваются) высокочастотные составляющие спектра. Из равенства (18.40) имеем (у~(0= —.' (у.(0 1я Следовательно, интегрирование сигнала эквивалентно делению его спектра на величину )о. Поэтому если сигнал их(т) =уи1(~) ж, то его спектр и,(() = †' и,(1). (18.41) 1в При интегрировании высокочастотные составляющие спектра ослабляются в большей степени, чем низкочастотные.
184. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И СПЕКТР МОЩНОСТИ Представление об энергетическом спектре связано с энергией Е, выделяющейся в сопротивлении ! Ом, на котором де напряжение сигнала и(1). Энергия сигнала Е= 1" и'(1)сИ. иствуст (18.42) Это выражение называется интегралом Дюамеля, записанным в импульсной форме. Физически оно означает, что входное напряжение представляется в виде суммы дельта-функций, соответствующих различным моментам времени, с амплитудами, равными мгновенным значениям сигнала в эти моменты, а выходное напряжение — в виде суммы откликов фильтра на эти дельта- функции. Выражения (18.3б) и (18.37) имеют большое значение, так как позволяют находить нс только из(т) по заданным и,(1) и Ь(1), но н 6(1) по заданным и,(1) и из(1).
Дифференцирование и интегрирование. Пусть ит(1) =Ни1(1)/п(, тогда "2(1) г(п1(1)1г(1= —,/ Ц ЯемЧЦ= ( Ц (1) ем1г(1= ~И а Этот интеграл конечен, в частности, для сигналов, ограниченных во времени. Для сигналов, не обращающихся в нуль на бесконечности, интеграл расходится. Поэтому применительно к сигналам говорят не об энергии, а о мошности, равной энергии, рассеиваемой в единицу времени.
Используя прямое и обратное преобразования Фурье [18,13) и (18,14), энергию сигнала можно представить в следующем виде: Е= у" и(1) 1 у' У(1)е~"ЯДЫ= (18.43) Соотношение (!8.43) называется равенством Парсеваля. Оно утверждает, что энергия, заключенная в сигнале и(1), равна сумме энергий всех составляющих его спектра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
