Минаев Е.И. - Основы радиоэлектронники (1266569), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Равенство Парсеваля характеризует важное свойство сигналов. Если некоторая избирательная система пропускает только часть спектра сигнала, ослабляя другие его составляющие, то это означает, что часть энергии сигнала теряется. Например, приблизительно 90% энергии прямоугольного импульса длительностью т содержится в полосе частот от 0 до Е=!/т. Подынтегральная величина в (18.43) называется энергетическим спектром сигнала конечной длительности: ЕУ)-! У(ОР, (18.44) Ее значение в точке 1 равно энергии сигнала, приходящейся на полосу в 1 Гц вблизи частоты ). Равенство (18.43) можно переписать в виде (18.45) Е= )" Е(1)п'1 Следовательно, энергия сигнала есть результат интегрирования энергетического спектра сигнала по всему диапазону частот от — с до со, Иначе говоря, энергия равна площади, заключенной между кривой, изображающей энергетический спектр сигнала, и осью абсцисс.
Соотношение, аналогичное (18.45), справедливо и для мощности сигнала Р: Р= ( Р())а)=2 У РДа), — й о где Р()) — спектр мощности. Мощность сигнала, не удовлетворяющего условию абсолютной интегрируемоств, можно определить как ти Р= !пп — ) и'(1)й. т сц Т т~2 Интеграл под знаком предела представляет собой энергию Ет отрезка сигнала длительностью Т, поэтому Р= !пп — ' т Используя (18.43), получаем Р = 1'пп, ( ) Тат Ц) ) Щ т где (7т(1) — спектр отрезка сигнала длительностью Т. Переходя к пределу под знаком интеграла, получаем Сравнивая это выражение с (18.46), имеем Р(!') = )пп — ((7~(1) !'. 1 (18.47) и(1) = (7 соя 2п)а(1) =0 5(!~сов 2п( — (о)1+ +0,5(7~ соз 2п)ь! мощность равна 0,5(ут .
Следовательно, спектр мощности Р ()) =0,25()пб Д+ )о) + 0,25(7тб Д вЂ” )о) (18.48) 447 18.8. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ Одним из важных понятий, расширяющих представления о сигналах и их свойствах, является понятие корреляционной и взаимно корреляционной функций. В таком виде представление о спектре мощности можно ис.
пользовать не только для детерминированных сигналов, но и для случайных сигналов и флуктуационных шумов. Спектр мощности Р(1) сигнала и(1) равен мощности составляющих его колебаний в полосе шириной 1 Гц вблизи частоты !'. Для сигналов с линейчатым спектром спектр мощности отличен от нуля лишь на некоторых частотах, на которых он равен бесконечности. Такой спектр представляется с помощью набора дельта-функций.
Например, для косннусоидального напряжения Корреляг(ионная функция сигнала и(г) по определению равна :М ф(т) = (" и(()и(( — т)с((, (18.49) где т — временнон сдвиг. При нулевом сдвиге (т=О) имеем 2Р (0) = !' ил (() гй = Е, '(18.50) где Š— энергия сигнала. Следовательно, при нулевом временнбм сдвиге (т=О) корреляционная функция равна энергии сигнала. Отметим основные свойства корреляционной функции.
1. При т=О корреляционная функция положительна и имеет наибольшее значение, При некоторых других значениях т функция может иметь наибольшее значение, но не может его превышать: ф(0) ) / ф(т) ) . (18.5!) 2. Корреляционная функция является четной функцией сдвига т: )=ф( ). '(18.52) Поэтому знак минус перед т в выражении (18.49) можно изменить на плюс, записав (18.53) ф(т) = )' и(() и((+т)сИ. На рис. 18.8 показаны прямоугольный импульс и его корреляционная функция. Корреляционная функция не дает представления о времени прихода сигнала.
Энергия периодического сигнала равна бесконечности, поэтому его энергетические свойства характеризуются мощностью, т. с. отношением энергии за некоторый промежуток времени к длительности этого промежутка. Аналогично определяется корреляционная функция периодического сигнала; ! Тгя ТГ2 ф„гр(т) = (" и((уи(г' — т)сй= )" и(г)и((+т)сй, (!854) -Т/2 -Т/2 где Т вЂ” период функции и Я.
Ф яу (а) н его корреляционная функцня (б! Ряс. (8.8, Прямоугольнмй цмнульс 448 Рис, 18.9. Гармоническое колебание (а) и его корреляционная функция (б) Пример. Найдем ' корреляционную функцию гармонического колебания и(() =0 соз(в(+~ра) ()2 Т/2 фааа(т) = — ~ ( соз(вГ+Чгр)соз(в(+суа+вт)й=обУ, соева. ((888) -т рд Как и следовало ожидать, корреляционная функция гармонического колебания, имеющая размерность мощности, не заннсит от начальной фазы ва. Корре.
ляционные функции синусоиды и косинусоиды одннакоаы, понтону на рис. !89 корреляционная функция не заниснт от начальной фазы гармонического колебания. Важную роль играет связь между энергетическим спектром Е()') и корреляционной функцией т)(т). Подставляя в (18.53) сигнал и((+т) в виде обратного преобразования Фурье, получаем тр(т) ~" и(() [ /' У(()егацг+Мягй= = )' у())е) к( ( и(()егагцг()гЧ= ) ()(д)еда у( — ()гч.
Согласно (18.44) (У(0()( — () = ((У(() Р=Е(0, поэтому ф(т) = )' Е(1)с) тг(), (18.58) Следовательно, корреляционная функция'ф(т) является обрат ным преобразованием Фурье от энергетического спектра ЕЩ Прямое преобразование Фурье от корреляционной функции (! 8.57) Выражения (18.56) и (18.57), устанавливающие связь между корреляционной функцией сигнала и его энергетическим спектром, называются соотношениями Винера — Хинчина. за заказ № !гзч Кроме корреляционной функции можно определить также взаимно корреляционную функцию фм (т) - )' и, (() ия (( — т) с(1 = )' и| ((+ т) их (г) сУ, (18.88) которая характеризует взаимную связь между значениями двух сигналов.
М Когда и|(() и их(1) — один и тот же сигнал и((), то взаимно корреляционная н корреляционная функции совпадают. Максимум взаимно корреляционной функции двух одинаковых сигналов имеет место при т=О. Для различных сигналов и|(() и "ьч ив(1) максимум функции может достигаться не при т=О. Например, максимум взаимно корреляционной функции синусоиды н .л косинусоиды имеет место при к=Т)4. Взаимно корреляционная функция может не обладать свойством четности или нечетности $ относительно т. '1 зе Ь." и,(у) (у 1соз(му-ф1) н из(Г) =К»зсоз(му — фз). Учитывая периодичность функций, получаем г,п фз(т) ~ соз((езр — фз)+сс1т (ф1 фз))соз(му фз)пг Т чя соз(кнт-(ф~-фз)1.
2 ( | 8.59) Прв фз ф, н Н з 0 и1 приходим к рввенству (|8.55). Прв различных чвстатвх м1 н ез, в том числе прн частотах, нвходящнхся в кратном отношеннн, взаимно корреляцнонквя функция двух гзрмоннческнх сигналов равна нулю. Следовательно, гярмоннческне свгнвлы с неодинаковыми частотами не коррелвроввнны.
|8,8. СИГНАЛЪ| НА ВЫХОДЕ ИДЕАЛЬНОГО ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА Пусть имеется идеальный фильтр, амплитудно- н фазочастотная характеристики которого показаны на рис, 18.7. Передаточная функция идеального фильтра ~ е-)хл~", ~) ~ ()„; Рассмотрим случай, когда на входе фильтра имеется напряжение в виде прямоугольного импульса с амплитудой А, действую. шее в пределах интервала времени от г=О до )=т. Согласно выражению '(18.19) спектр импульса ()|'(() =Ах злат) е-| lх, ят( 450 Спектр сигнала на выходе фильтра 5!П итЕ 1 1г лп и,(Е) = и,(Е)н(Е) = ~ И~У (.
В соответствии с (18.15) имеем Г в а1питЕ Гго ап лгЕ ит(1) =Ас Е е1и1г пачт1и11ГЕЕ=2Ат Г соз(оч(1— -1 о итЕ гр Введем обозначения: х=2пЕ(Š— Ео); у=2пЕ(1 — Ео — т). Тогда А 1 ~,рп-~о Гпх ~р и — о — ва1пу ни(Е) = — ~ 1 Ых- à — с(у и о " 5 Ч Таким образом, (М(1) = — (81(го. (1 — Ео)) — Мсо. (1 — Ео — И. А (18.60) Связь между полосой пропускания идеального полосового фильтра и временем установления сигнала.
Рассмотрим случай, коГда на ВхОд идеальноГО полосОВОГО фильтра с амплг1тудно.ча" стотной характеристикой, показанной на рис. 18.10, подается высокочастотное колебание, огибающая которого имеет вид прямоугольного импульса. Пусть также несущая частота Ео высокочастотного колебания совпадает со средней частотой фильтра. ,Легко показать, что огибающая высокочастотного колебания на выходе фильтра совпадает с напряжением на выходе фильтра нижних частот, имеющего граничную частоту го,р — — (оч,— со,)Е2, Поэтому амплитуда высокочастотного напряжения на выходе фильтра Кивьгх= ' !81~"' "'(1 — Ео)1 — 511" — ':"-' (1 — Ео — т)~~.
(18.61) 2 иИ"-огиГг- Рис. 18.10. Амплитудно- а фааочастотнаи характеристики идеального полосо. ного Фильтра 29* 451 Рнс. 18.11, Огибающие входных прямоугольных им- пульсов Рис. 18.12. Огибающая напряже- ния иа выходе идеального поло- сового фильтра Огибающую прямоугольного импульса можно рассматривать как сумму двух огибающих (рис. 18.11). Положив в (!8.61) я=со, получим ( 1 1 Гыя — ш~ (7шаьгх=Ко()гн) — + — 81~ — (! 1о) !! ° 12 и ~ 2 Обозначая !'=1-(„ имеем (18.62) 1 2 и ! 2 Д Изменение огибающей высокочастотного напряжения на выхо- де идеального полосового фильтра при включении высокочастот- ного напряжения на его входе показано на рнс.
18.12. Представляет интерес знать время нарастания амплитуды от уровня 0,1 до 0,9 стационарного значения КсУ . Как показано на рис. 18.12, ' 1„=2,7, 2 откуда следует, что время нарастания 5,4 5,4 0,86 (18.63) сзс — ге, 2п(!я — й) Л! Связь между полосой пропускания идеального полосового фильтра и максимальной амплитудой выходного импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
