В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Впервом случае сигнал s(t ) , передаваемый по каналу, может совпадать с сообщением (первичным сигналом) b(t ) или быть связан сним простой пропорциональной зависимостью, во втором – передаваемый сигнал s t , b(t )  является функцией сообщения, в общемслучае нелинейной (рис. 10.1).z(t)S[t, b(t)]b (t )МКСb (t )ДМ(t)Рис. 10.1. Структура системы передачи непрерывныхсообщенийКолебание на входе демодулятораz (t )  s[t , b(t )]  (t )представляет собой в простейшем случае сумму передаваемогосигнала и шума (t ) . Задача демодулятора состоит в нахождении295такого выходного первичного сигнала b (t ) , который был бы близокк передаваемому сообщению b(t ) .

Для строгой постановки задачинеобходимо указать количественную меру (критерий) близостидвух указанных сигналов, тогда демодулятор должен найти оценкупервичного сигнала (сообщения), наилучшую в смысле выбранного критерия близости. В качестве критерия часто используют средний квадрат ошибки10.2. Оптимальное оценивание параметров сигнала22 b (t )  b(t ) ,(10.1)где черта означает статистическое усреднение по ансамблю. В системах телеметрии используется критерий максимальной ошибки b (t )  b ( t ),maxв радиовещании – увеличение выходного отношения сигнал/шумпо сравнению с входным, критерий разборчивости речевых сообщений117 и т.п.10.2.

ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕПАРАМЕТРОВ СИГНАЛАОценивание сигнала, как функции времени, – достаточносложная задача. Во многих случаях ее можно свести к болеепростой задаче оценивания одного или нескольких параметровсигнала.Простейшей задачей, связанной с оцениванием параметровсигнала, является оценка параметра, постоянного или настолькомедленно меняющегося во времени, что на интервале наблюденияего можно считать постоянным. Такие задачи встречаются в системах телеуправления и телеметрии, когда сообщение представляет собой значение управляющего сигнала или результат измерениянекоторой физической величины. Рассмотрим задачу оцениванияединственного скалярного параметра , который до опыта рассматривается как случайная величина, имеющая априорное распределение с плотностью w( ) .

В конкретном опыте реализация117Разборчивость речи крайне трудно оценить количественно; обычноприменяют качественную оценку, определяемую группой слушателейэкспертов (метод экспертных оценок).296 10. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙэтой случайной величины представляет собой значение, постоянное на интервале (0, T ) наблюдения колебанияz (t )  s(t , )  (t ) .118Правило оценивания – это алгоритм обработки наблюдаемогоколебания, результатом выполнения которого является значение оценки параметра .

Для оценивания одного и того же параметраможет существовать множество алгоритмов, вырабатывающих различные оценки. Для сравнения алгоритмов оценивания между собойи выбора наилучшего используют следующие показатели.1. НесмещенностьОценка называется несмещенной, если выполняется условие   0 , означающее, что при любом значении параметра условное математическое ожидание оценки равно этому значению  . Другими словами, несмещенность означает отсутствие систематической ошибки оценивания. В противном случае оценканазывается смещенной.

Следует отметить, что смещенные оценкитакже находят применение, если смещение достаточно мало илистремится к нулю при увеличении времени наблюдения или мощности сигнала.2. СостоятельностьОценка называется состоятельной, если при неограниченномвозрастании времени наблюдения оценка сходится по вероятности к значению параметра:lim P     0 при любом  0 ,T (здесь P  A обозначает вероятность события A ).Смещенная оценка может быть состоятельной, если ее смещение стремится к нулю при T   . Для состоятельной оценки, очевидно, дисперсия ошибки стремится к нулю lim  T 20.3.

ЭффективностьНесмещенная оценка называется эффективной, если среди всехоценок, полученных при заданном времени наблюдения всевозможными алгоритмами оценивания, она обеспечивает наименьшую дисперсию ошибки1182 min.Часто в литературе правило оценивания также называют оценкой.10.2. Оптимальное оценивание параметров сигнала297Эффективность представляет собой очень сильное свойство, иво многих случаях эффективную оценку не удается найти или доказано, что она не существует119.Классический подход к оцениванию параметров сигналов основывается на формуле Байеса для апостериорной плотности распределения вероятностей оцениваемого параметра [18]w( | z ) w( )w( z | ),w( z )(10.2)где w( ) – априорная ПРВ параметра ; w( z | ) – условная ПРВнаблюдаемого процесса при заданном значении , рассматриваемая как функция отпри данном z (функция правдоподобия);w( z ) – при фиксированной реализации z постоянная величина.Выражение (10.2) показывает, что, зная априорную плотностьw( ) и наблюдая реализацию процесса z , можно получить уточненное представление о значении параметра .

На рис. 10.2 показаны примеры априорной и апостериорной ПРВ параметра(истинное значение параметра обозначено 0 ).Влияние функции правдоподобия на апостериорное распределение выражается в его обострении по сравнению с априорнымраспределением, что естественно, так как, наблюдая реализациюz , мы получаем дополнительную информацию о параметре, чтоуменьшает исходную неопределенность, заключенную в априорной ПРВ.Апостериорное распределение содержит всю информацию опараметре, которую можно получить из наблюдаемой реализацииw( | z)w( )w( )0Рис. 10.2.

Априорная и апостериорная ПРВоцениваемого параметра119Это означает, что не существует правила оценивания, которое являлосьбы наилучшим среди всех возможных правил.298 10. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙи априорных данных. Поэтому правило оценивания должно использовать апостериорную ПРВ, а способ ее использования зависит от выбранного критерия качества оценки.Ошибки оценивания параметра в общем случае приводят к различным последствиям, поэтому естественным способом их учетаявляется введение функции потерь (штрафной функции) L   ,зависящей от разности оценки и истинного значения параметра.Усредняя функцию потерь по апостериорному распределению параметра, получаем количественную характеристику, называемуюапостериорным (условным) рискомr (  , z )  L   w( | z )d ,(10.3)( )описывающим потери, связанные с получением оценки  при наблюдении реализации z .

Усреднение апостериорного риска (10.3)по всевозможным реализациям приводит к среднему рискуR (  )   w( z )   L  ( z) ( )| z )d  dz . w(Правило оценивания, которому соответствует наименьшийсредний риск, называется байесовским, а соответствующая оценка – байесовской, или оценкой по критерию минимума среднегориска. Правило, оптимальное в смысле минимума среднего риска,находится из условия минимизации условного риска (10.3).Часто используют квадратичную функцию потерь    2L ,тогдаr (  , z)    ( )2w( | z )d   2,(10.4)т. е. апостериорный риск равен среднему квадрату ошибки (а еслиоценка несмещенная, то дисперсии ошибки). Байесовская оценка вэтом случае становится оценкой минимума среднеквадратическойошибки.

Для нахождения правила раскроем скобки в выражении(10.4):  2  2  2   w( | z )d  ( )( )2w( | z )d .29910.2. Оптимальное оценивание параметров сигналаДифференцируя полученное выражение порезультат нулю, получаем правилои приравнивая w( | z )d .( )Таким образом, оценка, оптимальная в смысле минимума среднеквадратической ошибки, равна апостериорному среднему значению параметра.Кроме квадратичной, на практике часто используется простаяфункция потерьL   const      .(10.5)Подставляя (10.5) в (10.4), получаем const ( )    w(| z )d  const  w( | z ).Очевидно, это выражение достигает минимума, если в качествеоценки  использовать значение параметра, доставляющее максимум апостериорной ПРВ w( | z ) .

Такая оценка называется МАВоценкой (оценкой максимума апостериорной вероятности).Во многих задачах априорная ПРВ параметра неизвестна, тогдапринимают ее равной константе и максимизируют функцию правдоподобия w( z | ) . Получаемые таким образом оценки называются оценками максимального правдоподобия, или МП-оценками.Пример 10.1. Пусть наблюдается колебаниеz (t )  s(t )  (t ) ,– амплитудный множитель,где s(t ) – точно известный сигнал;подлежащий оцениванию; (t ) – гауссовский шум с нулевымсредним и спектральной плотностью мощности N0 / 2 , постояннойв полосе частот  F  f  F («квазибелый» шум). Найдем правилооценивания параметра , оптимальное по критерию максимального правдоподобия.Как в разд. 9.3, возьмем n отсчетов наблюдаемого колебания1 Tна интервале наблюдения Т с шагом t  , при этом отсче2F n300 10.

ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙты шума являются некоррелированными. Совместная плотностьраспределения вероятности взятых отсчетов поэтому равнаw( z1 ,..., zn | ) 12 ne12n2 ( zk  sk )2k 1,где 2  N0 F  N0 /(2 t ) . Устремляя t к нулю ( n   ), запишемфункцию правдоподобия 1 T2 w( z | )  C exp z (t )  s(t )  dt  , N0 0где C – константа, несущественная для задачи оценивания.Для нахождения правила оценивания следует продифференцировать функцию правдоподобия или, что проще, ее логарифм иприравнять результат нулю. Получаемое при этом уравнение правдоподобияd [ln w( z | )]0dдля данного случая имеет видT  z (t )  s(t ) s(t )dt  0 ,0откудаTT002 s (t )dt   z (t ) s(t )dt .Решением этого уравнения относительно является оценка  , определяемая выражением1T   z (t ) s(t )dt ,(10.6)E0Tгде E   s 2 (t )dt – энергия сигнала, известная по условию задачи.0Качество полученной МП-оценки можно оценить, подставив в(10.6) выражение для z (t ) :T [ s(t )  (t )]s(t )dt0ETEE (t ) s(t )dt0E 1T (t )s(t )dt .

(10.7)E030110.2. Оптимальное оценивание параметров сигналаВторое слагаемое представляет собой ошибку оценивания,причем дисперсия интеграла равна N0 E / 2 [см. разд. 9.5, выражение (9.10)], поэтому дисперсия ошибки равна N0 /(2E) . Таким образом, оценка тем точнее, чем больше энергия сигнала (для гармонического сигнала s(t ) увеличение энергии эквивалентноувеличению длительности интервала наблюдения) и чем меньшеспектральная плотность мощности.

Характеристики

Список файлов книги