В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

Из выражения (10.7) видно, чтооценка несмещенная, так как (t ) имеет нулевое математическоеожидание. Учитывая несмещенность и стремление дисперсии кнулю при увеличении интервала наблюдения, можно заключить,что оценка является состоятельной. Кроме того, можно показать,что оценка также эффективна. ◄Полученный алгоритм оценивания может быть реализован ввиде структурной схемы, показанной на рис. 10.3.z(t)T01Es(t)Рис.

10.3. Структура устройства оценивания амплитудысигналаПолученное правило оценивания амплитуды сигнала можноиспользовать и при медленном изменении этого параметра; вместоинтегратора можно применить фильтр нижних частот (ФНЧ), и пригармоническом сигнале схема рис. 10.3 превращается в схему синхронного детектора амплитудно-модулированных колебаний(рис. 10.4). Масштабирующее звено (усилитель) для задачи детектирования не обязательно, поэтому оно показано пунктиром. (t )z(t)ФНЧcos0tРис. 10.4. Синхронный детектор АМ-колебаний302 10. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ10.3.

ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯСЛУЧАЙНОГО СИГНАЛАБолее сложной и общей, чем задача оценивания постоянногопараметра, является задача оценивания изменяющегося сообщения(первичного сигнала) на основе наблюдаемой реализации. Такоеоценивание принято называть фильтрацией. Сообщение рассматривается как реализация случайного процесса, множество всевозможных сообщений – как ансамбль реализаций с некоторым вероятностным распределением. Сообщение (первичный сигнал)модулирует несущее колебание, поэтому сигнал на выходе каналасвязи также случаен.

Таким образом, ставится задача по наблюдаемому случайному колебанию оценить другое случайное колебание (первичный сигнал, или закон модуляции), связанное с наблюдаемым в общем случае нелинейным образом (задачанелинейной фильтрации, или демодуляции). Эта задача может бытьвесьма сложной.В этом подразделе рассматривается наиболее простой случайоптимальной линейной фильтрации. При этом с самого началапредполагается, что фильтр представляет собой ЛИС-цепь, и задача состоит в подборе такого ЛИС-фильтра, который при подаче навход наблюдаемой реализации обеспечивает выходной сигнал,наилучшим образом соответствующий выбранному критерию.На практике линейная фильтрация может применяться, например, для повышения отношения сигнал/шум на входе демодулятора Д (рис.

10.5).Предположим, что модулированный сигнал с выхода модулятора М, представляющий собой стационарный случайный процессs(t ) со спектральной плотностью мощности Gs ( ) , суммируется вканале связи КС со стационарным шумом (t ) , имеющим спектральную плотность мощности G   , причем оба процесса имеютнулевые средние. Задача состоит в том, чтобы найти характеристики линейной стационарной цепи (оптимального фильтра ОФ), такой,чтобы процесс s (t ) на ее выходе был наиболее близок к процессуb(t)Мs̃(t)s(t)+ (t)s(t)КСОФДРис.

10.5. К задаче оптимальной линейной фильтрации30310.3. Оптимальная фильтрация случайного сигналаs(t ) при условии, что на вход воздействует смесь z (t )  s(t )  (t ) .Примем за критерий близости дисперсию разности(t )  s(t )  s (t ) ,(10.8)которая представляет собой ошибку фильтрации.Поскольку фильтр линейный стационарный, его отклик насмесь z (t ) представляется сверткойs (t )   z ( )h(t  )d   s ( ) h(t  ) d   ( ) h(t  ) d .( )( )( )Здесь ( ) обозначает множество всех допустимых значений переменной . Обозначим импульсную характеристику оптимальногофильтра, которую предстоит найти, h0 (t ) .Поскольку и сигнал, и шум имеют нулевые средние, а фильтрлинеен, ошибка (10.8) также имеет нулевое математическое ожидание, а ее средний квадрат совпадает с дисперсией.Средний квадрат ошибки для оптимального фильтраe2(t )  [s(t )  s(t )]2представляет собой минимальное значение, достижимое прифильтрации любым линейным устройством.

Для произвольноголинейного фильтра импульсную характеристику можно представить в виде h0 (t )  h (t ) , гдеи h (t ) – некоторые, пока неопределенные, константа и функция. Тогда средний квадрат ошибкидля произвольного фильтраe  [ s (t )   h0 ( )  h ( )z (t  )d ]2 .(10.9)( )Поскольку при  0 произвольный фильтр превращается в оптимальный, достигается минимум среднего квадрата ошибки (10.9),тогда можно записать уравнениеe0,0решением которого и будет искомая импульсная характеристикаоптимального фильтра. Дифференцируя (10.9) пои приравниваярезультат нулю (при  0 ), получаем уравнение s(t )   h0 ( )z (t  )d    h ( )z (t  )d   0 .  ( )( )(10.10)304 10.

ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙВыражение в первых квадратныхскобках представляет собой ошибкуs (t )(t )оптимального фильтра (10.8), во вторых квадратных скобках заключенотклик на наблюдаемый процесслинейного фильтра с произвольнойs (t )импульсной характеристикой h (t ) .L z (t )В силу того, что h (t ) – произвольнаяфункция, выражение во вторых квадРис. 10.6. Принцип ортого- ратных скобках формулы (10.10) естьнальностиотклик произвольной ЛИС-цепи нанаблюдаемый процесс.

Все такие отклики при всех мыслимых h (t ) являются линейными комбинациями всех мгновенных отсчетов процесса z (t ) . Другими словами,все такие отклики в совокупности составляют линейное пространство L  z (t ) , натянутое на все мгновенные отсчеты процесса z (t ) ,как на базис (отсчеты представляют собой случайные величины,которые можно рассматривать как векторы; при нулевых среднихортогональность в этом пространстве равнозначна некоррелированности случайных величин).

Оцениваемый сигнал s(t ) в общемслучае этому пространству не принадлежит, рис. 10.6.Выражение (10.10) составляет математическую запись принципа ортогональности [20], смысл которого состоит в том, что дляоптимального фильтра ошибка фильтрации должна быть некоррелированна с наблюдаемым процессом во все моменты времени.Раскрывая скобки в (10.10), получаем h ( )s(t ) z (t  )d   h ( )  ho ( ) z (t  ) z (t  )d d  0 ,( )( )( ) h ( ) s(t ) z(t  )   h0 ( ) z (t  ) z (t  )d d  0 ,( )( )откуда снова в силу произвольности h (t ) следует, что выражениев фигурных скобках должно быть равно нулю при всех . Учитывая, что результатами усреднения являются взаимно корреляционная Rsz () и автокорреляционная Rz () функции, запишем уравнение Винера – ХопфаRsz (t )   h0 ( ) Rz (t  )d(10.11)( )10.3.

Оптимальная фильтрация случайного сигнала305относительно импульсной характеристики оптимального фильтраh0 (t ) .Решение уравнения Винера – Хопфа легко находится для случая, когда все процессы рассматриваются на бесконечной временной оси и являются стационарными (в широком смысле). Тогда клевой и правой частям уравнения (10.11) можно применить преобразование Фурье, в результате чего получается уравнениеGsz ( )  Gz ( )H ( ) ,где Gz ( ) – спектральная плотность мощности наблюдаемогопроцесса; Gsz ( ) – взаимная СПМ полезного сигнала и наблюдаемого процесса; H ( ) – комплексная частотная характеристика оптимального фильтра, которая находится какH ( )  Gsz ( ) / Gz ( ) .Если сигнал и шум некоррелированны, то их взаимная СПМGs ( ) равна нулю, тогда Gsz ( )  Gs ( )  Gs ( )  Gs ( ) ,Gz ( )  Gs ( )  G ( ) иH( ) Gs ( ).Gs ( )  G ( )Полученный фильтр известен как винеровский фильтр (фильтрКолмогорова – Винера)120.

Видно, что коэффициент передачифильтра меньше на тех частотах, где больше СПМ шума, и в этомсостоит сходство фильтра Колмогорова – Винера с согласованнымфильтром. В заключение отметим, что в случае, когда полезныйсигнал и шум являются совместно гауссовскими процессами, винеровский фильтр является оптимальным среди всех фильтров(а не только среди линейных).

Следует также иметь в виду, что полученный фильтр некаузален (физически нереализуем). Условиекаузальности усложняет нахождение характеристик винеровскогофильтра и увеличивает дисперсию ошибки фильтрации [20].120Задача построения линейного фильтра, оптимального по критериюминимума дисперсии ошибки, была решена А.Н. Колмогоровым в1939 г.

для стационарных случайных процессов с дискретным временем; в 1942 г. американский математик Н. Винер решил эту же задачув непрерывном времени.306 10. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ10.4. ЦИФРОВАЯ ПЕРЕДАЧАНЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙНепрерывные сообщения, представленные сигналами с непрерывным временем (континуальными, или аналоговыми), можнопередавать по цифровым каналам связи. Теоретическим основанием для этого служит теорема отсчетов (Котельникова), которая утверждает, что континуальный сигнал с финитным (ограниченнымпо ширине) спектром можно без потери информации представитьпоследовательностью его отсчетов, взятых с достаточно малымшагом, определяемым верхней частотой спектра сигнала.

Отсчетысигнала, т.е. числа, можно закодировать и передать при помощипоследовательности кодовых символов по цифровому каналусвязи.Цифровые сигналы имеют перед аналоговыми ряд общеизвестных преимуществ. Одно из них заключается в большей помехоустойчивости цифровых сигналов. В самом деле, континуальныйсигнал, искаженный сколь угодно малым шумом, уже невозможновосстановить точно. Причина этого заключается в том, что комбинация (например, сумма) аналогового сигнала и аналогового шуманичем принципиально не отличается от исходного аналоговогосигнала.

Поскольку ни форма сигнала, ни форма помехи заранее неизвестны, разделить их в общем случае практически невозможно121. Таким образом, поражение аналогового сигнала шумом необратимо. Цифровой сигнал, который по определению может принимать значения только из дискретного множества, может бытьискажен шумом только в том случае, если шум имеет достаточнобольшую интенсивность, чтобы перевести сигнал с одного допустимого уровня на другой.Второе преимущество цифровых сигналов заключается в возможности помехоустойчивого кодирования отсчетов, что позволяет повысить помехоустойчивость передачи цифровых сигналов.Третье преимущество состоит в возможности использования дляобработки цифровых сигналов универсальных цифровых вычислителей (процессоров), позволяющих реализовать практически любые алгоритмы.

Характеристики

Список файлов книги