В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Если бы помеха отсутствовала, то эта реализациясовпадала бы с элементарным сигналом (посылкой), который можно считать точкой в гильбертовом пространстве сигналов, определенных на заданном временном интервале. Все возможные в данной системе связи посылки изображаются различными точками, идемодулятор должен вырабатывать свои решения в зависимости оттого, какой именно точке соответствует принятая реализация z (t ) .Реализация помехи, взаимодействуя с посылкой, смещает точку,изображающую принятую реализацию, причем смещение случайновследствие случайного характера помехи.
Если смещения будутзначительными, демодулятор может ошибаться. Ошибка являетсяслучайным событием, поэтому качество решения можно характеризовать вероятностью ошибки.Задача синтеза оптимального демодулятора (приемника) ставится следующим образом: нужно найти оптимальный алгоритмобработки и оптимальное правило решения, обеспечивающие максимальную вероятность безошибочного (правильного) решения.Максимум этой вероятности В.А. Котельников назвал потенциальной помехоустойчивостью, а приемник, реализующий этот максимум, – идеальным приемником.Алгоритм работы приемника состоит в разбиении гильбертовапространства реализаций входного колебания на области, так чторешение принимается в соответствии с тем, какой области принадлежит принятая реализация.
Количество областей равно количеству различных кодовых символов данной системы связи. Ошибкавозникает в том случае, если в результате воздействия помехи реализация попадает в «чужую» область. Оптимальный приемник разбивает пространство реализаций наилучшим образом, так чтосредняя вероятность ошибки минимальна среди всех возможныхразбиений.Каждая область соответствует предположению (гипотезе)о том, что передан был один из возможных сигналов. Поэтому каждая простая гипотеза есть предположение о том, что наблюдаемое колебание представляет собой реализацию случайного процесса, описываемого определенной многомерной плотностьюраспределения вероятностей113 или функционалом плотности распределения.113Часто гипотезе соответствует не одно распределение, а класс распределений, тогда гипотеза называется сложной.2679.1.
Основные понятия и терминыПример 9.1. Предположим, что результатом обработки в двоичной системе связи с амплитудной телеграфией является значениеy , соответствующее окончанию интервала наблюдения. Если вколебании z (t ) присутствует только шум, имеющий гауссово распределение с нулевым математическим ожиданием, то плотностьраспределения величины y имеет видy212w0 ( y ) e 2 ;(9.2)2если кроме шума на вход приемника поступает сигнал, то результатобработки имеет ненулевое (для определенности – положительное)среднее a , и плотность распределения величины y имеет вид( y a )212w1 ( y ) e 2.(9.3)2Гипотезы, соответствующие выражениям (9.2) и (9.3), являютсяпростыми. Если среднеквадратическое отклонениенеизвестно,гипотезы являются сложными.
◄Рассмотрим систему связи, в которой используются K различных символов. Тогда демодулятор должен различать K различныхгипотез. При этом возможны ошибки: может быть принято решение D j в пользу j -й гипотезы, в то время как справедливой является i -я гипотеза. Такая ситуация характеризуется условной вероятностью ошибки pij P{D j | H i } .
Различные ошибки могутнаносить разный вред, поэтому вводится численная характеристика ij , называемая риском, или потерей. Иногда потери объеди-няют в квадратную K K -матрицу { ij } , называемую матрицейпотерь, при этом ее главная диагональ обычно содержит нули, чтосоответствует нулевым потерям при правильных решениях.Символы, которым соответствуют разные гипотезы, могутиметь разные вероятности появления в сообщении. Поэтому каждая ( i -я) гипотеза характеризуется некоторой вероятностью piосуществления, которая называется априорной вероятностью.Итак, суммируя, можно ввести усредненную характеристику (критерий) качества принятия решения, называемую средним рискомK KR pi piji 1 j 1ij.268 9.
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙСредний риск представляет собой математическое ожиданиепотерь, связанных с принятием решения.Если априорные вероятности гипотез точно известны, а потериназначены обоснованно, то приемник, обеспечивающий наименьший средний риск, будет наиболее выгодным.
Критерий минимумасреднего риска называют также критерием Байеса114.Иногда потери, связанные с различными ошибками, принимают равными друг другу ij , ii 0 , i 1,..., K , тогда оптимальный байесовский приемник обеспечивает минимальную среднюю вероятность ошибки (критерий идеального наблюдателя)K Kpош pi piji 1 j 1i jи называется идеальным приемником Котельникова.Если также принять равными априорные вероятности гипотезpi 1/ K , i 1,..., K , то критерий Байеса сводится к критерию минимума суммарной условной вероятности ошибкиK Kpош усл pij .i 1 j 1i j(9.4)Проблема синтеза оптимального демодулятора состоит в нахождении границ областей, разбивающих пространство наблюденийнаилучшим образом в соответствии с выбранным критерием качества.
Ниже эта задача рассматривается для простейшего случаядвух простых гипотез, что соответствует АТ-системе связи с пассивной паузой.9.2. БИНАРНАЯ ЗАДАЧА ПРОВЕРКИПРОСТЫХ ГИПОТЕЗНаиболее просто задача построения оптимального демодулятора (приемника) решается для случая амплитудной телеграфии спассивной паузой, что соответствует принятию решения о том, чтопередавался символ 0 (сигнала нет) или символ 1 (сигнал есть). Таким образом, решается задача обнаружения сигнала в наблюдае114Томас Байес (1702 – 1761) – английский математик, один из основоположников теории вероятностей и математической статистики.2699.2.
Бинарная задача проверки простых гипотезмом колебании. Далее предполагается, что помеха в канале представляет собой гауссовский шум с нулевым средним и известнойдисперсией, который взаимодействует с сигналом аддитивно (суммируется). Результатом обработки наблюдаемого колебания является случайная величина y , которая может иметь различное распределение в зависимости от того, есть ли сигнал в наблюдаемомколебании, а именно: распределение при гипотезе H 0 – «сигналанет» – является гауссовским с нулевым средним, а распределениепри гипотезе H1 – «сигнал есть» – отличается сдвигом на величину a , зависящую от способа обработки (например, если обработкасводится к взятию отсчета в момент, когда несущее колебание достигает максимума, величина a представляет собой его амплитуду).Значение a предполагается известным.
Таким образом, проверяемые гипотезы описываются двумя условными плотностями распределения вероятностей w( y | H0 ) и w( y | H1 ) , изображенными нарис. 9.3.w(y)w(y|H1)w(y|H0)yyпРис. 9.3. Условные плотности распределениявероятностей величины y при простых гипотезахВ данной постановке демодулятор (приемник) может принимать решение, основываясь только на наблюдаемом значении y :очевидно, чем больше наблюдаемое значение, тем с большей уверенностью можно утверждать, что сигнал в принятом колебанииесть. Приемник в таком случае должен сравнить y с некоторымфиксированным значением (порогом) yп и если y больше порога,принять решение о наличии сигнала, в противном случае – о егоотсутствии, что можно кратко записать в следующей символической форме:y yп "1" ,y yп "0" .270 9. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙКаким бы ни был порог yп , очевидно, есть некоторая ненулевая вероятность p01 принять решение о наличии сигнала при егофактическом отсутствии.
Эта вероятность называется условнойвероятностью ошибки первого рода («ложной тревоги») и определяется выражениемp01 w( y | H 0 )dy .yпАналогично, существует ненулевая вероятность принять решение об отсутствии сигнала, в то время как на самом деле он есть (условная вероятность ошибки второго рода, или пропуска сигнала)yпp10 w( y | H1 )dy .Анализ рис.
9.3 показывает, что сумма указанных условных вероятностей минимальна, если порог yп находится как абсциссаточки пересечения условных плотностей w( y | H0 ) и w( y | H1 ) .Очевидно, при таком выборе порога приемник является оптимальным по критерию минимума суммарной условной вероятностиошибки (9.4) и принятие решения основывается на сравнении значений функций w( y | H0 ) и w( y | H1 ) при наблюдаемом значении y :w y | H 0 w y | H1 "1" ;w y | H 0 w y | H1 "0" .Это правило принятия решения можно переписать также в формеw y | H1 w y | H1 1 "1" ; 1 "0" .(9.5)w y | H0 w y | H0 Решение, таким образом, принимается в пользу той гипотезы,которая представляется более правдоподобной при данном значеw y | H1 нии y , поэтому отношениеназывается отношениемw y | H0 правдоподобия и обозначается ( y ) . Правило (9.5) называют правилом максимального правдоподобия.
Заметим, что критерий (9.4)часто называют критерием максимума правдоподобия.Критерий идеального наблюдателя предполагает учет априорных вероятностей гипотез, и оптимальный в смысле этого критерия2719.2. Бинарная задача проверки простых гипотезприемник обеспечивает минимум средней вероятности ошибки,т. е. наименьшую сумму безусловных вероятностей ошибок первого и второго рода. Иначе говоря, сравнению подлежат функцииw y | H 0 и w y | H1 , умноженные на соответствующие априорные вероятности. Правило принятия решения в таком приемникеможно записать в формеp1w y | H1 p0 w y | H 0 1 "1" ;p1w y | H1 p0 w y | H 0 1 "0" .Используя понятие отношения правдоподобия, можно записатьправило в видеpp( y ) 0 "1" ,( y ) 0 "0" ,p1p1при этом отношение правдоподобия сравнивается с пороговымзначением, зависящим от априорных вероятностей.Наконец, в случае байесовского критерия решение принимается по правилу y | H1 1 "1" ;01 p0 w y | H 0 10 p1w y | H1 1 "0" ,01 p0 w y | H 0 10 p1wили( y) p0p10110 "1" ,( y) p0p10110 "0" .Итак, во всех случаях оптимальный приемник (демодулятор,или решающее устройство) «устроен одинаково»: для наблюдаемого значения y , зависящего от принятой реализации z (t ) , вычисляется значение отношения правдоподобия, которое сравнивается сpпорогом; порог равен 0 01 для приемника, оптимального вp1 10смысле критерия минимума среднего риска, p0 / p1 для идеальногоприемника Котельникова и 1 для приемника максимального правдоподобия.В заключение отметим, что иногда удобнее вычислять не отношение правдоподобия, а его логарифм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
