Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Очевидно, чем ближе — г, к г, при условии, что ~гее~(г, тем больше вносимая в контур мощ.ность и тем большим окажется усиление мощности сигнала. Более обстоятельное рассмотрение работы параметрических усилителей приводится в $6.6 — 6.6. 231 6.3 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ. УРАВНЕНИЕ МАТЬЕ Предположим, что в колебательном контуре емкость плоского конденсатора С=е5/1 с площадью пластин 5 меняется из-за изменения расстояния между пластинами 1 с частотой а =2а по за- кону 1=-1о(1+т соя 2а(), (6.23) в результате чего С= Со! (1+ т соз 2гьГ), (6.24) где Сь=е37(ь.
Выражение (6.24) пригодно и для рассмотрения контура, емкость которого изменяется с помощью варикапа, поскольку изменение ширины запорного слоя в последнем в результате действия накачки эквивалентно изменению расстояния между пластинами. Дифференциальное уравнение для тока в контуре рис.
6.1 имеет вид 7.— +г(+ — 1(И=О. (6.25)' ьт С,) качестве переменной заряд д= ~И1. Определив ток Введем в как 4= Йф(1, (6.26) подставляем (6.26) и (6.24) в (6.25). Получаем линейное дифференциальное уравнение с периодически изменяющимся коэффици- ентом Очевидно Йу 4~ "Ыт Йу — = — — =О>в ,а ат ~и (ат — 4+ — '~" +гз'~(1+тсоз 2со()у=О, (6.27)' ца г и где ьРь= 1/ЛС,.
В радиотехнике нередко встречается уравнение Матье — + (а+2бсоз 2т)х=О, (6.28) дт~ в котором а и б — некоторые постоянные, также являющееся ли- нейным дифференциальным уравнением второго порядка с перио- дическим коэффициентом, мбо при изменении т на величину и, 2п,... величина коэффициента при втором слагаемом принимает прежнее значение. Поскольку решения уравнения Матье известны, целесообразно преобразовать (6.27) в (6.28), чтобы воспользовать- ся для установления свойств рассматриваемой параметрической системы известными сведениями из теории уравнения Матье. Для этого вводим в (6.27) безразмерную переменную т=~Ф.
(6.291 Обозначаем далее у=у, пу/А=у, снуД/та=у и подставляем (6.30) и (6.29) в (6.27): у+ у+ а (1 1 асов 2т)у (6.31) мб еР Введем обозначения: затухание контура Нь и/со/.=24, Ь =- оРа/еоа, 28 = апвао/соа. (6.32) Величина Ь характеризует отношение частот, а 26 при заданном~ Ь вЂ” глубину модуляции параметра. Теперь (6.31) приобретает вид у+ Ы1у+ (Ь +28 соз 2т) у= О. (6.33) Уравнение (6.33) отличается от (6.28) наличием слагаемого 24у и совпадает с ним для контура без потерь (с(=24=0).
Подстановка у=е — "" х (6.34)' позйоляет исключить это слагаемое. Действительно, находя у= =е-"'х — Ае — анх, у=е — н'х — 24е "х+Р,е-"чх и вводя эти выра- женин в (6.33), получаем уравнение Матье (6.28), в котором а =Ь вЂ” Де 1= о1~~/го~ — с(~ ь (6.35)' Из теории уравнения Матье известно, что его решение может быть представлено суммой двух линейно независимых решений х=А еичФ(т)+Ве ичФ( — т), (6.36) где А и  — произвольные постоянные, которые могут быть най, дены из начальных условии; Ф(т) и Ф( — т) — периодические функции с периодом я илн 2п или соответственно с частотами ми (нли а„/2=о', (л — коэффициент, зависящий от величин а н б, который может быть мнимым или действительным.
Если н — действительная величина любого знака, амплитуда одного из слагаемых (Аеи' или Ве ил) неограниченно возрастает.. Следовательно, условие самовозбуждения параметрического контура без потерь можно записать как йе )ачьО. (6.37) с На рис. 6.5 на плоскости а, 6 построены области неустойчивости, внутри которых коэффициент и имеет действительные значения, причем с удалением от границ внутрь области величина Вен возрастает. Границам областей соответствует в=О. Области неустойчивости стягиваются к точкам оси абсцисс, в которых а=па, гдс п=1, 2, 3,...
По величине и принято нумеровать области неустойчивости. Если параметры а и б уравнения (6.28) соответст~у л б б л у й ч ли ~-, ~, ~ —.~ ь.~~. ° ~=Л =Ю . ° 2п колебаний равна в . Если соТ=2п, то Т вЂ” и частота колебаний равна ви/2 , еа~м /2 возбуждение колебаний. В точках, расположенных .вне этих облас- тей, Коэффициент и оказывается мнимым, прн этом колебания не нарастают. Характер областей одинаков при 5)0 и 5(0; поэто- му области неустойчивости в нижней полуплоскости опущены, а а Си =УО7 Рис. 6.6 Параметрическое возбуждение в контуре без потерь (А=О) возможно прн сколь угодно малых значениях 5 (а значит, и гл) на частотах, на которых а=ли. Поскольку а„=2а, согласно (6.35) это имеет место при 1Р! > (ь :,(6.40) Области неустойчивости для (6.33) ограничиваются пороговыми кривыми ~р~=с(ь Эти кривые находятся внутри областей Р,=О, причем в областях, соответствующих большим значениям и, их низшие точки соответствуют большим 5, которые будем обознай~' чать далее би.
Сказанное иллюстрируется пунктирными линиями рис. 6.5, ограй ничивающимн области возбуждения для йч~ ~у~=0, 1, и рис. 6.6, на котором приве! 04 дены границы областей возбуждения Юг первой зоны для нескольких значений р. Координаты нижних точек, вычисленные для нескольких областей неустойчивости в предположении небольших (Р~, д йР ~,б Рис. 6.6 а =2аа/л. (6.38) Следовательно, согласно рис.
6.5 параметрическое возбуждение можно осуществлять, изменяя параметр с частотой а =2ав вв 2аи/3,... Для контура с потерями согласно (6.34) и (6.36) у=А е<~' 'д~Ф(т)+Ве в+иачР( т) (6.39) и один из показателей экспоненты будет положительным только в том случае, если ц —,величина действительная и притом такая, что и 16+ (2„)На 16 6 3 8 9+(6в) ма 1 .ра 48 ма 4(72в) 1м 4(бйм Для обычно применяемых контуров с затуханием л( й.1 можно приближенно считать а = гала/та а = л', (6.412 а величины б согласно (6.32) б„=О,бтпа. (6.42) Теперь условие параметрического возбуждения в низших точках областей неустойчивости оказы|вается О,бтп'%б„ (6.43) т)~тир= 2ба/л'. (6.44) В этих выражениях б„подсчитываются по формулам табл.
6.1, полагая )а=д/2. Например, для первой зоны (в=1) тар — — 2о. (6.45) Ранее эта формула была получена из энергетических расчетов. Характеристики б(а) рис. 6.6 называются по)тогоаими, поскольку они определяют зависимость т„от расстройки. В табл. 6.2 указаны: частоты накачки га, соответствующие низшим точкам областей неустойчивости, выражения для т„р, нолученные из (6А4), и результаты расчета по ним величины тар 1 Таблица 62 1 гаа О>а 1,4$Я 1,28у'И льр 14 и аьр.
% (б=0,01) приведены в табл. 6.1. При опенке условий самовозбуждения полагаем )а=а(,= =с(/2. Таблица 61 для контура с затуханием с(=0,01. Из формул и расчетов след, ет, что возбуждение колебаний в высших зонах требует существенного увеличения глубины модуля цнм параметра. Зависимость т р от затухания пропорцио- «,г— вильна У д. По этой причине на практике используется возбуждение в первой зоне. В последующем рассматривается только этот случай.
Из рис. 6.6 видно, что осуществление параметрического возбуждения прн отклонениях частоты накачки ш от оптимального значения, близкого к 2шс, требует увеличения глубины модуляции параметра. Причина этого, как показывают расчеты, состоит в том, что только при ш„=2гоо фаза гр параметрически возбуждаемых колебаний (см. выражение (6.17Ц оказывается оптимальной з(п2~р „,=1, (6.46) благодаря чему вносимое в контур отрицательное сопротивление максимально (6.18).
При отклонении те от 2шс фазовые соотнопгения изменяются, э(п2гр уменьшается и для достижения прежнего значения (гэ„~ требуется увеличивать глубину модуляции парамет а. 6 араметрический генератор, в котором возникают колебания с частотой аз=го„/2, является делителем частоты и 2 раза. В соответствии с общим правилом, сформулированным в $ 5.6, ему свойственна двузначность фазы возникающих колебаний. При ш =2гоо согласно (6.46) ~р'ы„=45', гр", =225'.
6.4. СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ГЕНЕРАТОРА При рассмотрении в предыдущих параграфах условий параметрическсго возбуждения колебаний предполагалось, что в схеме возникли колебания небольшой амплитуды. Поэтому схема считалась линейной параметрической. Если условия параметрического возбуждения выполнены, амплитуда колебаний рас« тет до тех пор, пока из-за имеющихся в схеме нелинейностей далыгейшее возрастание амплитуды станет невозможным. Таким образом, во всех авто- генераторах (и нелинейных, и параметрических) причиной установления стационарного режима автоколебаний является наличие нелинейности.
Характер нелинейности влияет иа вид зависимостей амплитуд стационарных колебаний генератора от различных факторов. На рис. 6.7 представлены: а) принципиальная схема однотакгвого парапет. рического генератора на варикапе (для упрощения анализа пепи накачки я сме- г) ° Рис. 6.7 щения опущены) и б) его эквивалентная схема, в которой аарвкап изобража.
ется параллельно включенными дифференциальными емкостью С/и) и сопротивлением 47/и). На рис. 6.6 показаны зависимости С/и), 1/и/ н Я/и) варикапа. Последняя определяется по вольтамперной характеристике Ци) диода согласно (2.17). Следовательно, в схеме рис. 6.7 имеются две нелинейности: реактивная С(и) и активная /г(и). Рис. 6.9 .+- Рис. 6.8 Для последующего анализа удобно параллелыгую эквивалентную схему варикапа заменить последовательной. Проводимость диода при малых ампли. тулах колебаний (6.47» Т= 1Я+1 гзС.
Сопротивление Е ге+1 Хс определяется из (6.47) как 1 /г . юСЯз "т' 1+(ю(Я)а 1+(юСЯ)а Полагая для напрюкений п~й т(»1/юС, получаем выражения Хс= — 1/ыС, гс-Х'с/Я, (6.49], (6.661 вз которых следует, что в рассматриваемых условиих варикап может быть представлен последовательно соединенными емкостью С/и) прежней величины и сопротивлением гс(и), обратно пропорциональным /7(и): гс(и) ~1Я(и). (6.61) Действие накачки сводится к небольшому (при небольшой величиве ш р) изменению емкости, в результате которого в контур вносится мощность ИЛИ СОПРОтнВЛЕПИЕ Г,а(0, ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ ВЫРажЕНИЕМ (6:16). В РЕЗУЛЬтатЕ ЗКВИ- валеитная схема параметрического генератора содержит положительное г,=г+ +ге(и) н отрицательное гшя активные сопротивления.
В последовательном колебательном контуре при возбуждении колебаний с частотой ю=ю /2, близкой к Резонансной шс, ток оказываетсЯ почти гаРмоничесаим 1 /поз юй Лля рассмотрения процессов в контуре с вмсокой добротностью можно воспользоваться методом гармонической линеаризации и опираться на эквиаалент«ую схему рвс. 6.9, на которой гс/и) и С/и) заменены сначала иа гсЯ н СЯ 237 благодаря однозначной зависимости между и и 1, а затем их эквивалентными значениями гс(1) и С,Щ по первой гармонике, зависящими от амплитуды 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
