Андреев В.С. - Теория нелинейных электрических цепей (1982) (1266495), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(5.1) При зтом на основании физических сображеиий задаются частотой аь Например, при изучении явления синхронизации полагают в~=гз, а при делении частоты в п раз ы1 —— ы/а и т. д. Но действительное напряжение на контуре в стационарном режиме может быть и иным, так что наши предположения относительно ожидаемого вида колебаний (5.1) и частоты га1 могут оказаться верными лишь в ограниченной области значений парамегров, а иногда и вовсе неверными. Поэтому после определения параметров (У и ~р) стационарного колебания (5.1) нужно проверять устойчивость полученного решения.
Стационарные колебания могут соответствовать (5.1) только в том случае, если полученное решение устойчиво. Таким образом, применение квазилинейного метода или метода медленно меняющихся амплитуд к исследованию неавтономной системы позволяет определить амплитуду н фазу (а не частоту) колебаний. Ниже это будет показано на конкретных примерах.
Для анализа рассматриваемых схем будут использованы: в $ 5.2 и 5.6 — квазилинейный метод, в ф 5.4 — метод медленно меняющихся амплитуд. 5.2. РЕЗОНАНС В НЕЛИНЕЙНОМ КОНТУРЕ Нелинейным контуром называют колебательный контур, у которого хотя бы один из реактивных параметров является нелинейным. Рассмотрим параллельный контур рис. 5.1, содержащий нелинейную емкость р-и-перехода.
С такими контурами приходится встречаться в параметрических усилителях и умножителях частоты, в транзисторных усилителях, генераторах и пр. Полагая добротность контура достаточно большой, можно ожидать, что при протекании через контур тока с частотой гс напряжение на контуре будет синусоидальным той же частоты и=Узшгс( (5.2) даже, если ток ( содержит еше н гармоники частоты в. Согласно а 2.5 ток в емкостной ветви определяется выражением (с = гй((г(г = С (и) 4и(Я, (5.3) где С(и) =Жутки — дифференциальная емкость р-а-перехода.
Подстановка (5.2) в (5.3) дает (с= С(и)е>асов вй (5.4) ил ир гсз Й~ аз Рис. З:2 Рис. З.! Аппроксимнруя относительно смещения в рабочей точке зависимость С(и), показанную на рис. 2.16, полнномом второй степени С(и) = Се+а,и+ази' (5.5) с положительными коэффициентами См а, н аз н подставляя (5.5) и (5,2) в [5.4), получаем (с=(С + — '0'+а0з1п а( — — ' У'сов 2И )а((созгсй 2 2 сз Первая гармоника этого тока ~с1=(Сс+ — Уз)мУсозен. 4 Тот же ток (с~ может быть получен, если вместо нелинейной емкости включить зквивалентную (или среднюю по первой гармонике) емкость С =Сс+ ~ ((".
(5.6) 4 Средняя емкость р-п-перехода оказывается тем большей, чем больше амплитуда колебаний. Связано это с тем, что для рассматриваемой характернстпки С(и) увеличение емкости в положительный полупериод напряжения и оказывается ббльшим ее 203 уменьшения в отрицательный полупериод, что и приводит к увеличению С,р. При ббльших амплитудах (/ этот эффект проявляется сильнее. Возрастание С,р должно приводить к уменьшению резонансной частоты контура. Ее величина с учетом (5.6) определяется как ,=1/)1/.С„=, /~/1+ ~~'. (5.7) где ва='1/) '1'.С; р=аз/Св Полагая р(/з/4«1, разлагаем (5.7) в ряд Тейлора, ограничиваясь первыми двумя слагаемыми ,=,~1 — и ). () а (5.6) 8 Таким образом, увеличение амплитуды (/ вызывает уменьшение резонансной частоты по параболическому закону.
На рис. 5.2 штрихпунктирной линией нанесена зависимость в„((/). Если контур был бы линейным с емкостью Св то частотные характеристики соответствовали бы изображенным пунктирными линиями. Для определения характеристик нелинейного контура рис. 5.1 используем каазнлинейный метод: нелинейную емкость заменим ее средним по первой гармонике значением (5.6). Очевидно, откуда ()=И,/(1+)Де ).
(5.9) Полагая добротность Я=К/вЕ постоянной и определня расстройку относительно частоты вр((/) как в~ (в — в, ((г)] [в+ вр (0)] 2 лв (0) зи вг (О) в~ (0) вр где Лв((/) =в — вр((/), получаем из (5.9) уравнения частотной и фазовой характеристик нелинейного контура: (/=Ива' 1+Я~в~„, 1пга=- — Дав. (5.16), (5.11) При в=вр((/), з„=О, а потому ф=О и (1 =ив Уравнения (5.10) и (5.11) отличаются от таких же для линейного контура только тем, что расстройка Лга((/) отсчитывается от вр((/), а пе от фиксированной частоты вв Поэтому абсциссы частотных характеристик (/(в) нелинейного контура (сплошные линии) получаются путем сдвига абсцисс характеристик линейного контура на величину изменения резонансной частоты Лвр((/) = =вг((/) — вс для каждого значения (/.
В результате частотные характеристики оказываются несимметричными (симметричными относительно зависимости вр((/)), наклоненными влево тем сильнее, чем больше амплитуда тока 1. При достаточно больших амплитудах 1 в некоторой области частот амплитуда (/ оказывается 204 неоднозначной, что приводит к возникновению скачков амплитуды при плавном изменении частоты. Так, если снимать частотную характеристику рассматриваемого контура при 1=1, путем увеличения частоты от ш=шд, то сначала напряжение (/ изменяется в соответствии с кривой АСВ.
При частоте ш=шн амплитуда (/ скачком возрастает на величину ВС, при дальнейшем увеличении гэ она плавно уменьшается по кривой С/). Если теперь уменьшать частоту, то (/ будет меняться по ветви /)СЕВ; при со=юг амплитуда // скачком уменьшается на величину РО, после чего она изменяется по ветви СА. Следовательно, на частотной характеристнке нелинейного контура, снятой при достаточно большой амплитуде тока /, встречаются участки скачкообразного изменения амплитуды; они ограничивают гистерезисную область, амплитуда колебания внутри которой зависит от способа установления частоты: путем увеличения илн уменьшения ш. Участок ветви РВ экспериментально не может быть получен, так как соответствующие ему режимы неустойчивы.
Останонимсн аа некоторых соотношениях. Границы области неустойчнэости определяются частотами ыв и ыг, н которых касательные к характеристике И(ы) вертикальны: Н//г/ы=оо. Подставляя (5.7) а (5.!О), получаем из этого усэонин ординаты граничных точек 8 / 1 (/э = — ~ — а -!. — 'р'зэ — Зг(з ), (5.12) зй ~ — 2 где е=(юэ/огэо) — 1=2ды/ыо г(=1%. Гистерезисная область появляется, если амплитуда 1)1гг. Прн 1=.1,г дна решения (5.12) слипаются а одно, что имеет место при зтгэ=-згр, а,э — — — )газ и (/,э=81/)гзр.
Подставляя этн значения н (5.10), получаем 2,5 . ° /',! гр — /! и () (5.!3) Следовательно, 1„р уменьшается при унеличеяни добротности контура и увеличении нелинейности. Исследование фаэоных характеристик может опирап ся иа (5.11) или ураннение (/=!й,/соэ «р, (5.14) получающееся при подстанонке (5.11) н (5.10). Продифференциронан обе части (5.14) по частоте би . бр — = — Ь' /яп<р —. ды Убеждаемся а том, что фазоная характеристика имеет вертикальные касательные (йр/г(со=со) на тех же частотах, что н частотная.
Следовательно, скачки амплитуды сопровождаются скачками фазы. Иа рис. 5.3 построены семейства нормированных частотных и фазовых хаРактеристик нелинейного контура, рассчитанных по приведенным выше формулам. По осям ординат отложены у=ЯР,1,р и гр, а но оси абсцисс обобщенная расстройка х=!3е. Области неустойчивых режимов заштрихованы. Занисимость кр(у) соответствует занисимости ыр((/) на рнс.
5.2. Параметром характеристик является величина а=1//,р. " Решение егр 1/зг! опУскаем, так как оно не дает дейстнительного значения (/, 205 Ь.З. РЕ1'ЕНЕРАЦИЯ Ранее было показано, что генераторы с внешней обратной связью (см. рис. 4.1) эквивалентны контуру с включенным в него отрицательным сопротивлением г, (О (см. рис. 4.5б). Когда положительная обратная связь превышает некоторую критическую, рис. 5.3 общее активное сопротивление контура оказывается отрицатель-.
ным г+»,„ О, система — автоколебательной, и в ней нарастают колебания, источником энергии которых является отрицательное сопротивление. Если величина отрицательного сопротивления [г,„~ (т, вносимая в контур энергия недостаточна для возникновения автоколебаний, вследствие чего такие системы называют потенциально-автоколебательнам и.
Подобные системы могут быть использованы в качестве усилителей (рис. 5.4). Действительно, за счет источника входного сигнала е„в контуре в отсутствие гм, возникают колебания, обладающие определенной энергией. При введении т~„(О энергия колебаний в контуре возрастает, что можно объяснить отдачей дополнительной энергии отрицательным сопротивлением или уменьшением общего активного сопротивления контура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
