2019 лекции 20-22 (1247452), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

22.3 (1 – газ, 2 –жидкость, 3 – твердое тело). Соприкосновение происходит вдоль прямой линии,перпендикулярной плоскости рисунка. Угол между поверхностью твердого тела иплоскостью, касательной к поверхности жидкости, называется краевым углом (нарис. 22.3 угол θ).Рис. 22.323Рассмотрим силы, действующие на линию раздела трех сред. В направлении нормалик поверхности твердого тела равнодействующая сил поверхностного натяженияуравновешивается силой нормального сопротивления со стороны твердого тела, этоусловие ничего интересного не дает. Из условия равновесия сил вдоль поверхности иперпендикулярно линии с учетом (22.3) получаемσ31 = σ23 + σ12cos θ.(Так называемое равенство Юнга).

Отсюда получаем для косинуса краевого угла:cos θ = (σ31 – σ23) / σ12.1.2.3.4.(22.4)Здесь возможны 4 различные ситуации.Пусть σ31 – σ23 > 0 и σ31 – σ23 < σ12. Тогда 0 < cosθ < 1. В этом случае θ < π/2, то есть уголθ острый – см. рис.

22.4 (вверху). Говорят, что жидкость смачивает твердуюповерхность.Пусть σ31 – σ23 > 0 и σ31 – σ23 > σ12. Тогда условие (22.4) не может быть удовлетворено,та как косинус не может быть больше единицы. В этом случае жидкость растекается поповерхности (керосин или бензин на поверхности жести, стекла) – то есть жидкостьполностью смачивает поверхность твердого тела.Пусть σ31 – σ23 < 0 и σ23 – σ31 < σ12 . Тогда -1 < cosθ < 0.

При этом θ > π/2, то есть угол θтупой – см. рис. 22.4 (внизу). В этом случае говорят, что жидкость не смачиваетповерхность.Пусть σ31 – σ23 < 0 и σ23 – σ31 > σ12. Тогда опять не существует угла θ,удовлетворяющего условию (22.4). В этом случае капля жидкости на поверхноститвердого тела стягивается в шарик (ртуть на стекле, вода на парафине), то естьжидкость совершенно не смачивает твердое тело.Рис. 22.422.3. Капиллярные силыПри наличии поверхностного натяжения давления в соприкасающихся средахоказываются различными. Например, для находящейся в воздухе жидкой капли из-застремления ее поверхности уменьшиться возникают силы сжатия, которые приводят кувеличению ее внутреннего давления. Разность между давлениями внутри капли идавлением окружающего воздуха называется поверхностным давлением, pпов .Рассмотрим жидкую сферическую каплю радиуса r.

Работа, δA которую совершаютсилы поверхностного натяжения при изменении площади поверхности капли на d , есть,24согласно (22.1),   d . С другой стороны, эту же работу можно представить как pпов Σdr(минус опять-таки из-за того, что действуют силы сжатия, при увеличении r работаотрицательна). Так как Σ = 4πr2, то указанного равенства получаем, что2.rpпов (22.5)Эта формула относится и к произвольному случаю двух соприкасающихся сред,когда можно говорить о радиусе r кривизны поверхности. Избыточное давление имеется втой из сред, для которой поверхность раздела является выпуклой (см. рис. 22.5). Приr   pпов обращается в нуль.

Т.е. при плоской границе раздела давления всоприкасающихся средах должны быть одинаковыми. Если же поверхность разделаявляется вогнутой (рис. 22.5), радиус r становится отрицательным, соответственноделается отрицательным и pпов .Рис. 22.5Для поверхностного давления в цилиндрической массе жидкости Σ = 2πrl (r –радиус, l – длина цилиндра). Аналогично здесь получаем, чтоpпов .r(22.6)Рассмотрим некоторые конкретные случаи.Пусть есть две плоские параллельные пластинки с тонким слоем жидкости междуними – см. рис. 22.6а. Пусть краевой угол острый, тогда мениск жидкости вогнут идавление внутри жидкости меньше давления окружающего воздуха.

Тогда действующеена пластинки атмосферное давление будет стремиться сблизить пластинки. При маломрасстоянии между пластинками мениск жидкости имеет цилиндрическую поверхность. Еерадиус r связан с расстоянием d между пластинками как d  2r cos (см. рис. 22.6а).Поэтому для pпов имеемpпов  |r|2 cos .dТогда для силы взаимного притяжения пластинок:F2 S cos dГде S  площадь соприкосновения пластинок c жидкостью. Эта сила при малыхрасстояниях может достигать больших значений.25rrθθd2aаbРис. 22.6.Теперь рассмотрим случай погруженной в жидкость тонкой трубочки (капилляра) –см. рис.

22.6b. Пусть мениск вогнут (острый краевой угол). Тогда давление жидкости втрубочке ниже давления соприкасающегося с ней воздуха на величину pпов и поддействием атмосферного давления уровень жидкости в трубочке поднимется настолько,чтобы имело место равновесие, т.е. чтобы было – pпов   gh (  - плотность жидкости).В приближении сферической формы мениска, с радиусом сферы r , который связан с22 cos радиусом трубочки a соотношением a  r cos , имеем pпов  . Отсюда|r|aвысота подъема жидкости в капилляре есть.h22 cos g | r |gaВходящая в эту формулу величинаиз нее a0 =(22.7)2имеет размерность квадрата длины, кореньg2называется капиллярной постоянной.

Она характеризует толщинуgкапилляра, такую, что при а < a0 высота подъема жидкости h становится больше a. Дляводы капиллярная постоянная равна 0,39 см.При выпуклом мениске в (22.7) следует изменить знак из-за изменения знакакривизны r. Тогда давление в жидкости будет выше, чем в воздухе, и в капилляре уровеньжидкости опустится.22.4. Формула ЛапласаТеперь рассмотрим изменение внутреннего давления в жидкости за счетповерхностного натяжения для поверхности произвольной формы (то есть не толькосферической или цилиндрической).

На поверхности раздела выделим произвольную точкуO (рис. 22.7). Пусть ON – нормаль к поверхности. Любая проходящая через эту нормальплоскость пересекает данную поверхность по некоторой дуге, которую можнохарактеризовать радиусом кривизны (то есть приблизить в малой окрестности точки О эту26дугу окружностью). Из дифференциальной геометрии известно, что существуютсодержащую эту нормаль две взаимно перпендикулярные плоскости, которыепересекаются с поверхностью раздела по кривым с максимальными и минимальнымирадиусами – так называемыми главными радиусами кривизны r1 и r2 . Эти плоскостипоказаны на рис.

22.7, малые дуги A1B1 и A2B2 – отрезки этих кривых (дуги A1B1 иA2B2 делятся точкой O пополам). Если через концы дуг провести на поверхности кривые,параллельные плоскостям, получится малый четырехугольник CDEF. С точностью домалыхвторогопорядкаCF = DE = ∆l1иCD = FE = ∆l2.Площадьчетырехугольника тогда равна ∆Σ = ∆l1 ∆l2. Через φ1 обозначим угол между отрезкамиОО1 и А1О1, 1  l2 / 2r1 . Сила поверхностного натяжения, приложенная к краю CF, всоответствии с формулой (22.3) равна ∆f1 = σ∆l1. Ее проекция на направление OO1 будетf1 sin 1  f11  f1l2 f1 l1l22r1 l1 2r12r1l2l1Рис. 22.7Такое же значение имеет проекция силы натяжения, действующей по краю DE.

Поэтомурезультат удвоится (двойка в знаменателе здесь исчезнет). Аналогичным образомнаходится проекция сил поверхностного натяжения, приложенных по CD и FE.1 1В результате полная сила равна  (  ) , эту величину для получения поверхностногоr1 r2давления рпов надо разделить на ΔΣ. В итоге получаем:1 1рпов =  (  ) .r1 r2(22.8)Эта формула называется формулой Лапласа. В случае сферической поверхностиr1 = r2 = r и эта формула сводится к (22.4), для цилиндрической поверхности r1 = r, r2 = ∞,и эта формула принимает вид (22.5).

Если поверхность раздела плоская, тогда r1 = r2 = ∞, иразницы давлений не возникает.27Внутреннее давление в жидкости за счет поверхностного натяжения приводит ктому, что капли стремятся приобрести сферическую форму (в пренебрежении силамитяготения). Действительно, пусть капля имеет форму эллипсоида вращения – рис. 22.8.Тогда в области малого радиуса закругления давление будет больше, чем в случаебольшого, соответственно больше и нормальная сила, действующая на данный участокповерхности, и совокупное действие сил будет стремиться выправить форму до сферы.Такой же результат можно получить при решении математической задачи минимизацииплощади поверхности при заданном объеме.Рис.

22.8.àb22.5. Давление пара над искривленной поверхностью, капиллярная конденсацияПусть для жидкости в капилляре имеется равновесие с ее насыщенным паром. Тогдапроисходит капиллярное поднятие – см. рис. 22.6b (или опускание) ее уровня из-завнутреннего давления. Но при повышении уровня на высоту h давление насыщенногопара уменьшается на величину pпар  пар gh , где пар– плотность пара (отношениемассы к объему). Так как согласно (22.7) h  2 / ж rg , где ж - плотность жидкости, аr - радиус вогнутого мениска (для простоты считаем краевой угол θ малым), то получаемpпар  2  пар pпов пар .| r | жж(22.9)Аналогичная формула будет иметь место и для выпуклого мениска, только знак изменитсяиз-за изменения знака радиуса кривизны.

Тогда будет иметь место не понижение, аповышение давления.Отметим, что ускорение свободного падения g в формулу (22.9) не входит. Этоозначает, что, хотя сила тяжести и привлекалась для ее вывода, изменение давления пара сэтой силой не связано. Это изменение определяется только межмолекулярнымивзаимодействиями в жидкости. Действительно, из-за понижения внутреннего давления вжидкости вследствие действия сил поверхностного натяжения происходит некотороеослабление этих взаимодействий, и молекулам легче перейти из жидкости в пар.

Тогдадля достижения равновесия требуется меньшая концентрация пара вблизи поверхности, тоесть насыщение пара происходит при меньшем его давлении.Можно результат (22.9) получить и другим путем, без привлечения силы тяжести.Согласно формуле (16.4). при испарении молекул их плотность в газовой фазе естьnпар  nж exp( kT),где λ – разница энергий молекулы в жидкости и в паре. Из-за вогнутого мениска жидкостив капилляре давление в ней изменяется на рпов < 0.

Тогда при переходе из жидкости в пар28молекулы совершается дополнительная работа A против давления  pпов . Так как припереходе молекулы из жидкости в пар объем жидкости уменьшается на величину~~VжVжVж , A есть A   pповVж   pпов. Тогда энергия перехода изменится наNANAвеличину   A . Соответственно изменение плотности пара в изотермическихусловиях есть~  1Vжnпар  nж d  exp(  )   nж exp(  ) nпарpпов.kT kT kTkTNAУчитывая теперь, что nпарkT  pпар , получаем тождественный (22.9) результат:~~Vж mnпарVж2  пар.pпар  nпар pповpпов  NAmN A| r | ж(здесь m – масса молекулы).В случае, если жидкость смачивает пористое тело, в его порах образуютсявогнутые мениски жидкости (эти поры являются как бы тонкими капиллярами).

Так какдавление насыщенного пара здесь понижается, то пар, который в обычных условиях неявляется насыщенным, может теперь оказаться пересыщенным. Начнется осаждение парана стенки пор, это явление называется капиллярной конденсацией.В природе это явление обеспечивает, например, удержание влаги в почве.Капиллярная конденсация является причиной прилипания частиц пыли к твердымповерхностям.

Оно играет большую роль в различных технологических процессах сучастием мелкодисперсных частиц.Часто приходится наблюдать поверхность, на которой рядом находится большеечисло жидких капелек различных размеров – например, на внешней стороне оконногостекла в дождливую погоду, на внутренней стороне крышки кастрюли с кипящей водой ит. д. Так как над малыми капельками давление насыщенного пара повышается, здесь парможет оказаться ненасыщенным и эти капли будут испаряться.

Над большими же каплямитогда пар окажется пересыщенным, и эти капли начнут вбирать в себя пар иувеличиваться в размерах. В итоге малые капли будут исчезать, а большие за их счетукрупняться.29.

Характеристики

Список файлов лекций