Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (3-е изд., 2015) (1246992), страница 57
Текст из файла (страница 57)
. . , 5).Найдем оптимальную программу вектора тяги P(t), т. е. такое управлениеu = (α1 , α2 , β̃), которое в конце участка торможения (t = T) обеспечиваетпопадание в начало координатx1 (T) = x3 (T) = 0с нулевой конечной скоростьюx2 (T) = x4 (T) = 0(6.6.1)при условии максимизации конечной массы x5 (T), т. е. минимизации расходатоплива. Следовательно, ищется max-оптимальное управление [6.25] в области288Глава 6. Вход в атмосферу и посадкадопустимых управленийβ̃min ≤ β̃ ≤ β̃max(β̃min ≥ 0),α21 + α22 = 1.Время полета T считается свободным и определяется из условия получениямаксимальной конечной массы.Составим гамильтониан u) = ψ1 x2 + ψ2 W β̃ α1 + ψ2 gx + ψ3 x4 + ψ4 W β̃ α2 + ψ4 gy − ψ5 β̃H(x, ψ,x5x5илигде u) = K(u) + H2 (x, ψ),H(x, ψ,WK(u) = β̃(ψ2 α1 + ψ4 α2 ) − ψ5 ,x5 = ψ1 x2 + ψ2 gx + ψ3 x4 + ψ4 gy .H2 (x, ψ)Для сопряженной системы∂gy∂gx− ψ4,∂x1∂x1ψ̇2 = −ψ1 ,∂gy∂gxψ̇3 = −ψ2− ψ4,∂x3∂x3ψ̇4 = −ψ3 ,ψ̇1 = −ψ2(6.6.2)W β̃(ψ2 α1 + ψ4 α2 )x25задано одно условие в конце участка торможения:ψ̇5 =ψ5 (T) = −1.Max-оптимальное управление реализуется приψ2ψ4α1 = − , α2 = − ,ψψβ̃max , если H1 > 0,β̃ =β̃min , если H1 < 0,гдеψ=ψ22 + ψ42 ,H1 =(6.6.3)Wψ + ψ5 .x5Следовательно, при оптимальном управлении величина секундного расходамассы (а следовательно, и тяги) должна быть максимальной или минимальной(в пределе — нулевой), если H1 (t) = 0.
Условие (6.6.3) можно представить в видеtg ϑ =ψ4.ψ2(6.6.4)6.6. Посадка на Луну289Будем считать, что протяженность участка работы двигателя мала по сравнениюс радиусом Луны: x1 RM , x3 RM . Тогда составляющие лунного притяженияможно вычислять по линеаризованным формулам:gx = −ν 2 x1 , gy = −g + 2ν 2 x3 ,где g соответствует точке посадки, ν 2 = μM /R3M , μM — произведение гравитационной постоянной на массу Луны.
В этом случае∂gx= −ν 2 ,∂x1∂gy= 0,∂x1∂gx= 0,∂x3∂gy= 2ν 2 ,∂x3и первые четыре уравнения системы (6.6.2) можно проинтегрировать:ψ1 (t) = ψ1 (T) cos ν(T − t) − νψ2 (T) sin ν(T − t),ψ1 (T)sin ν(T − t) + ψ2 (T) cos ν(T − t),ν√√√ψ3 (t) = ψ3 (T) ch 2ν(T − t) + 2νψ4 (T) sh 2ν(T − t),√ψ3 (T) √ψ4 (t) = √sh 2ν(T − t) + ψ4 (T) ch 2ν(T − t).2νψ2 (t) =С учетом условия (6.6.4) получим√√ψ3 (T)√sh2ν(T−t)+ψ(T)ch2ν(T − t)4tg ϑ = 2ν.ψ1 (T)sin ν(T − t) + ψ2 (T) cos ν(T − t)νЭтот угол тангажа отсчитывается от горизонтальной плоскости в точке посадки СА.Для Луны ν = 0.97 · 10−3 с−1 , и если время работы двигателя невелико, томожно принять параметр ν(T − t) малым. Тогдаtg ϑ ≈ψ3 (T)(T − t) + ψ4 (T)ψ1 (T)(T − t) + ψ2 (T)илиtg ϑ ≈C1 − C2 t,C3 − C4 tгдеC1 = ψ3 (T)T + ψ4 (T),C2 = ψ3 (T),C3 = ψ1 (T)T + ψ2 (T),C4 = ψ1 (T).Оценим возможное число нулей функции переключения H1 .
С этой цельюисследуем производнуюWḢ1 =ψ̇,x5знак которой совпадает со знаком ψ̇, так как W /x5 > 0. Ноψ2 ψ̇2 + ψ4 ψ̇4,ψ̇ = ψ22 + ψ42290Глава 6. Вход в атмосферу и посадкаsign ψ̇ = sign 2C2 + C42 t − C1 C2 − C3 C4 .(6.6.5)Правая часть соотношения (6.6.5) представляет собой линейную возрастающуюфункцию времени, имеющую не более одного нуля. Поэтому функция переключения может иметь не более двух нулей, которым соответствует следующаяпрограмма величины тяги:Pmax , Pmin (в пределе P = 0), Pmax .Отсюда видно, что в рассматриваемой модельной задаче для оптимального порасходу топлива торможения СА требуется не более двух включения максимальнойтяги. С другой стороны, на любой траектории спуска должно иметь место покрайней мере одно включение максимальной тяги, в противном случае невозможнобыло бы удовлетворить условию (6.6.1) по нулевой конечной скорости.Выявленная структура оптимального управления для модельной задачи позволяет выбирать рациональные рабочие программы при посадке на поверхностьЛуны.
В реальных условиях на спускаемый аппарат действуют различные возмущения, которые не позволят осуществить мягкую посадку с выбранной поначальным условиям программой маневра. Поэтому первоначально выбраннаяпрограмма полета должна корректироваться в процессе движения. Более того,от оптимальной программы полета иногда приходится частично отступать почисто техническим причинам. Например, чтобы уменьшить ошибки, связанныес выключением двигателя большой тяги, целесообразно в конце траектории дросселировать величину тяги, хотя это и нерационально с точки зрения расхода топлива.Могут существовать и другие ограничения на траекторию спуска. Так, при подлетек месту посадки аппарат должен быть ориентирован определенным образом, чтобыкосмонавты могли визуально наблюдать площадку, где планируется прилунение,чтобы антенны радиовысотомера не затенялись корпусом аппарата и т.
п.В качестве примера обсудим программу управления вектором тяги при спускелунного экспедиционного отсека (ЛЭО) по программе «Аполлон».6.6.2. Посадка на Луну по программе «Аполлон». Базовая круговая селеноцентрическая орбита имеет высоту около 111 км [6.26]. После разделения ЛЭОм основного блока включается двигательная установка посадочной ступени дляторможения скорости на ∼ 23 м/с и перевода ЛЭО на эллиптическую траекториюс высотой периселения 15 км и высотой апоселения 111 км.
Скорость в периселении составляет 1 694 м/с, а дальность по поверхности Луны от точки под периселением до точки посадки достигает ∼ 480 км. Когда ЛЭО находится в периселении(момент времени T), вторично включается двигательная установка посадочнойступени. Сначала двигатель развивает только 10% полной тяги и производитсярегулирование направления вектора тяги так, чтобы линия действия тяги прошлачерез центр масс ЛЭО.
Благодаря этому исключается необходимость парированиямомента от тяги при работе двигателя. В момент T + 26 с двигатель начинаетработать в режиме максимальной тяги. Продольная ось ЛЭО в указанный моментвремени составляет угол −3◦ с местным горизонтом, а сам аппарат ориентированпротив направления движения. Окна аппарата обращены к Луне, что позволяеткосмонавтам следить за определенными ориентирами.6.6. Посадка на Луну291В момент T + 3 мин, когда ЛЭО находится на высоте 13.7 км и расстоянии∼ 210 км от точки посадки, аппарат разворачивается так, чтобы окна сталиобращены в космос, а продольная ось составила угол +11◦ с местным горизонтом.В момент T + 4 мин 20 с на высоте 12 км и расстоянии 130 км при угле продольнойоси с местным горизонтом +15◦ начинает работать радиолокатор, обеспечивающийпосадку на Луну.
В момент T + 6 мин 26 с тяга двигателя дросселируется до 60%от максимальной величины. Это происходит на высоте 7.4 км при скорости полета445 м/с и угле ориентации продольной оси +23◦ .При заходе на посадку ЛЭО пролетает верхнюю контрольную точку (высота2.3 км, расстояние 8.1 км) в T + 8 мин 24 с при горизонтальной скорости 152 м/си вертикальной скорости снижения ∼ 46 м/с. Угол продольной оси 35◦ . На этомучастке траектории полета тяга двигателя регулируется в пределах 2.7 ÷ 1.1 т,направление оси все более приближается к вертикальному.В момент T +10 мин 6 с ЛЭО пролетает нижнюю контрольную точку на высоте158 м и расстоянии 550 м от места посадки. Горизонтальная составляющая скорости около 20 м/с, угол продольной оси с местным горизонтом 74◦ и продолжаетувеличиваться до 90◦ к моменту прилунения. На заключительном этапе посадкивозможно управление в полностью автоматическом режиме и в полуавтоматическом режиме, когда астронавты вручную устанавливают скорость сниженияи осуществляют ориентацию аппарата.
В исключительных случаях возможенпереход полностью на ручное управление, когда астронавты осуществляют нетолько ориентацию, но и управление работой двигателя посадочной ступени.При отработке автоматической программы посадки ЛЭО вертикальный спускначинается с высоты около 45 м со скоростью снижения 0.9 м/с. Тяга двигателя уменьшается по мере выработки запаса топлива.
Расчетное время посадкиT + 11 мин 54 с. В случае использования полуавтоматической программы посадкикосмонавты могут задать большую величину скорости снижения для ускоренияпосадки и экономии топлива.В процессе посадки, когда остается запас топлива на 114 с работы двигателяпосадочной ступени в режиме 25% от полной тяги, на пульте управления зажигается аварийный сигнал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
