Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (3-е изд., 2015) (1246992), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Полученное неравенство (6.4.12) определяет условиесуществования минимума гамильтониана при значении угла крена (6.4.11), котороенаходится внутри области допустимого управления.6.4. Планирующий спуск в атмосфере275Если условие (6.4.12) не выполняется, то функция H(γV ) не имеет минимума,поэтому она достигает абсолютного минимального значения в одной из граничныхточек области допустимого управления (6.4.2). Однако только второе слагаемоегамильтониана (6.4.5а) зависит от знака угла крена.
Следовательно, абсолютныйминимум гамильтониана обеспечивается, если выбор угла крена из двух возможныхграничных значений ±γmax подчинен требованиюHγ tg γV ≤ 0,(6.4.13)откуда sign γV = − sign Hγ . Итак, условия оптимальности управления по углу кренаимеют вид [6.18]:⎧⎨ − arcsin kmax Hγ , если Hk > kmax |Hγ | ,Hksin γmaxγV =(6.4.14)⎩ −γmax sign Hγ , если Hk ≤ kmax |Hγ | .sin γmaxИз условий оптимального управления (6.4.8) и (6.4.14) следует, что для получения максимальной боковой дальности аэродинамическое качество должновыбираться граничным kmin или kmax , а угол крена может быть как граничным(± γmax ), так и находиться внутри диапазона регулирования (−γmax < γV < γmax ).Для выявления структуры оптимального управления аэродинамическим качеством исследуем нули функции переключения Hk .
С этой целью продифференцируем Hk и, учитывая первые уравнения систем (6.4.4) и (6.4.6), преобразуемпроизводную Hk к виду2g0 REHγ tg γV .Hk = −V2Отсюда с учетом соотношения (6.4.13) следует, чтоHk ≥ 0,поэтому функция Hk (s) является неубывающей. В рассматриваемой задаче особоеуправление (Hk ≡ 0) возникать не может, следовательно, функция переключенияHk может иметь не более одного нуля, который определяет, когда должно производиться переключение с kmin на kmax . Если Hk > 0, то на протяжении всей траекторииполет должен совершаться с максимальным аэродинамическим качеством. Из простых физических соображений следует, что в подавляющем большинстве случаевреализуется именно такое управление (k ≡ kmax ). Действительно, на начальнойфазе полета в атмосфере имеет место наибольшая эффективность управлениябоковой дальностью путем поворота на угол крена, причем эта эффективностьпрямо пропорциональна располагаемому аэродинамическому качеству.
Но еслив начале полета k ≡ kmax , то такое управление сохраняется и на всей траектории.Таким образом, на основе гипотезы квазистационарного планирования удаетсяустановить структуру оптимального управления в модельной задаче. Полученныесоотношения (6.4.14) для нахождения оптимального угла крена могут быть использованы в качестве начального приближения при решении вариационной задачив более точной постановке. При уточненной постановке вместо аэродинамическогокачества k = Cy /Cx удобнее рассматривать определяющие его аэродинамическиекоэффициенты подъемной силы Cy и силы лобового сопротивления Cx = Cx0 +ACy2276Глава 6. Вход в атмосферу и посадка(Cx0 = Cx |Cy =0 , A — коэффициент пропорциональности). Тогда вместо условия(6.4.3) учитываются ограничения на величину Cy :0 < CL min ≤ CL ≤ CL max .На рис.
6.15 показаны результаты точного и приближенного решений задачидостижения наибольшей боковой дальности [6.18]. Видно близкое изменение всехпараметров движения и, что главное, хорошее совпадение заданного функционала — широты конечной точки ϕf .Рис. 6.15. Параметры движения при оптимальном боковом маневре (k = 1.5): −−−− точноерешение, − − − приближенное решениеКонечные параметры траектории спуска, широта ϕf и долгота λf , в зависимости от располагаемого аэродинамического качества представлены на рис.
6.16.Достижимая боковая дальность почти линейно возрастает с увеличением k, и приk ≈ 3.5 получим ϕf ≈ π/2. Следовательно, спускаемый аппарат, имеющийаэродинамическое качество не ниже k = 3.5, может в пределах одного виткаприземлиться в любой точке земного шара [6.18].Численное моделирование на ЭВМ показывает, что для приближенных оценокдостижимой боковой дальности с располагаемым гиперзвуковым аэродинамическим качеством 0.5 ≤ k ≤ 1.5 можно воспользоваться кусочно-постоянным6.4. Планирующий спуск в атмосфере277Рис.
6.16. Конечные параметры траектории при оптимальном боковом маневреуправлением типаγV =γ0 , если 0 ≤ η ≤0, если η = π2 .π2,Величина γ0 выбирается из условия получения максимальной боковой дальности, причем ее оптимальное значение близко к π/4. Более точной представляетсялинейная аппроксимация оптимальной зависимости γV (s):21π k, где γ0 =+1для 0 < k ≤ 3.γV (s) = γ0 arctgπtg η cos ϕ4 36.4.2.
Боковой маневр с учетом ограничений по нагреву и перегрузке. Предположим, что исходная постановка вариационной задачи, рассмотренной в п. 6.4.1для квазистационарного планирования, усложнена введением ограничения на температуру нагрева определенного участка поверхности аппарата (или несколькихучастков).Сама задача расчета температуры является чрезвычайно сложной, поэтому привыборе оптимального управления спуском ее обычно заменяют упрощеннымиуравнениями, конечными или дифференциальными. Конечные формулы позволяютвычислять достаточно просто температуру на поверхности аппарата по текущимпараметрам движения.
Однако такие формулы хорошо описывают физическуюкартину нагрева только вблизи номинальной траектории, для которой они получены. Структура формул и значения входящих в них коэффициентов зависятот конфигурации аппарата, состояния его пограничного слоя (ламинарный илитурбулентный), расположения контролируемых точек на поверхности аппаратаи т. п. В общем случае ограничение на допустимую температуру поверхностиконструкции Talо имеет следующий вид:FT (V , ρ, Talо , rα , Cy ) ≤ 0,где V — скорость полета, ρ — плотность атмосферы, rα — значение радиуса кривизны контролируемой зоны, Cy — коэффициент подъемной силы.278Глава 6. Вход в атмосферу и посадкаТак как температура поверхности конструкции зависит от величины Cy , тообласть допустимых управлений удобно задавать соотношениямиπ0 < Cy min ≤ Cy ≤ Cy max , |γV | ≤ γmax < ,2причем обычно Cy max > Cy (kmax ).В случае задания ограничения на температуру оптимальная траектория полетабудет складываться из участков двух типов:1) с оптимальным управлением по Cy и γV при выполнении условия FT < 0;2) с выбором управления из условия FT = 0.Движение на участке первого типа ничем не отличается от рассмотренногов п.
6.4.1, поэтому оптимальные величины Cy и γV должны выбираться по аналогиис (6.4.8) и (6.4.14).Предположим теперь, что в некоторой точке траектории полета функция FTдостигла нуля, имея положительную производную. С этого момента величинакоэффициента подъемной силы вычисляется из условия FT = 0, причем найденноепотребное значение CyT , соответствующее предельной допустимой температуреповерхности аппарата, сравнивается с располагаемой величиной Cy max . ЕслиCyT < Cy max , то принимается Cy = CyT , а управление по крену выбирается, как и научастке полета первого типа. Если же CyT > Cy max , то принимается Cy = Cy max ,а угол крена выбирается из условия FT = 0, если это условие зависит явно от γV .В том случае, когда угол крена не входит явно в уравнение FT = 0, он долженвыбираться из условия равенства нулю производной ∂ n FT /∂s n = 0, в которуюугол крена γV впервые войдет в явном виде.
Одновременно должны выполнятьсяусловия FT = 0, ∂ i FT /∂s i = 0 (i = 1, . . . , n − 1).Значение аргумента slv при сходе с ограничения T о = Talо определяется условиемFT (slv ) < 0, когда снова появляется возможность движения по траектории первоготипа.Таким образом, в общем случае возможны следующие типы управления [6.18]:Управление первого типа при FT < 0:Cy (kmin ), если Hk < 0,Cy1 =Cy (kmax ), если Hk > 0;⎧kmax |Hγ |kmax Hγ⎪⎪,⎨ − arcsin Hk , если Hk > sin γmax1γ =⎪⎪⎩ −γmax sign Hγ , если Hk ≤ kmax |Hγ | .sin γmax 1 12а. Управление второго типа при FT γ , Cy > 0 и CyT < Cy max :⎧⎪⎪ − arcsin kmax Hγ , если Hk > kmax |Hγ | ,⎨Hksin γmax=γ⎪⎪⎩ −γmax sign Hγ , если Hk ≤ kmax |Hγ | .sin γmax 1 12б.
Управление второго типа при FT γ , Cy > 0 и CyT > Cy max :Cy = Cy max ,γ = γT ,6.4. Планирующий спуск в атмосфере279где γT выбирается из условия ∂ n FT /∂sn = fn (γ) = 0, причем производные∂ i FT /∂s i = 0 (i = 1, . . . , n − 1) не зависят явно от γ.Построенное управление для модельной задачи квазистационарного планирования при наличии ограничения по температуре может быть использовано в качественачального приближения при численном решении вариационной задачи в болееточной постановке.Типичные оптимальные программы управления с учетом ограничения надопустимую температуру поверхности аппарата показаны на рис. 6.17.
Видно,что выход на ограничение по температуре происходит в начале атмосферногоучастка (высоты 80 ÷ 100 км). Величина коэффициента подъемной силы достигаетмаксимального значения, а первоначальный угол крена уменьшается, чтобы предотвратить чрезмерно быстрое погружение аппарата в атмосферу. После прохожденияминимума угол крена возрастает до некоторого максимального значения, а затемначинается его монотонное убывание. Одновременно коэффициент подъемнойсилы уменьшается за счет уменьшения угла атаки до величины, соответствующеймаксимальному аэродинамическому качеству.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
