Романова И.К. Методы синтеза системы управления летательными аппаратами (2017) (1246991), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Формирование критериев качества системы управляемого полета является обязательным элементом любой методики синтеза. Применяя математические методы параметрической оптимизации на базе поиска экстремума скалярной функции нескольких переменных, задают вид обобщенного критерия (квадратичный, аддитивный и т, д,), Этот критерий формируется на основе частных критериев качества — времени переходного процесса и пределов, в которых должны находиться параметры движения, т, е, ТТТ к системе. Особенность функционала методики АКОР заключается в том, что используется информация не о максимальных значениях частных критериев, а их интегральная оценка на всей траектории, а также интегральная оценка затрат на управление, т. е, отклонение органа управления. Кроме того, вводится специальная оценка параметров движения в конечной точке, что очень важно для обеспечения заплаиироваииой встречи с объектом.
Так как в рассматриваемом случае имеем данные о ТТТ, предьявляемых к фазовым координатам (точнее, их отклонениям, см. (1.25)), то дополнительно принимаем ограничение на максимальиое отклонение руля высоты, т, е, управляющее воздействие и~, . Необходимо на их основании получить матрицы весовых коэффициентов, для чего используем формулы (1.34) и (1.36).
В соответствии с формулой (1.29) закон оптимального управления по методу АКОР примет вид и„(г) = — П(0)х(~), Из сравнения формулы (1.39) с законом управления (1.21) для универсального метода параметрического синтеза следует 0 = ~К1 К2 Кз К41 (1.40) — матрица (в данном случае одномерного управления г = 1 по каналу «руль высоты») свойств регулятора в обратной связи по координатам — параметрам движения. Таким образом, закон управления остается неизменным. В ходе исследований и расчетов оптимального управления по методу АКОР можно определить коэффициенты регулятора в соответствии с законом управления (1.39), которые обеспечивают выполнение заданных требований.
По сравнению с методикой общего о,об О,О4 — 0,2 о,ог 0,4 'о О 10 ',рад 15 о,ог Ьс 0 го,, с ! О,О2 1О 0,04 -О,ОО 5 ьс 0 5 ьс Рис, 1,4, Результаты моделирования управляемого движения полной модели с полным (1) и редуцированным (2) регуляторами: 1' — скорость; и — угол атаки; в, — угловая скорость тангажа; Π— угол наклона траектории подхода к синтезу, рассмотренной в разд, 1.2, добиться успеха, т, е, выполнения заданных требований, удалось гораздо быстрее: за одну итерацию, в отличие от девятнадцати, Кроме того, влияние уда пюго выбора начальных значений в данной методике намного меньше, чем при параметрической оптимизации классическими методами.
Как показывают расчеты, при использовании метода АКОР результата можно добиться за две-три итерации уточнения весовых коэффициентов, в то время как в случаях неудачного выбора начального вектора оптимизируемых параметров применение обычных методов может не позволить получить решение. Структура регулятора (см. (1.40)) может быть далее подвергнута процедуре редукции или упрощению в соответствии с корневыми или другими критериями, основанными на расчете матриц чувствительности. Результат моделирования управления с помощью упрощенного регулятора приведен на рис. 1.4, 1'; м!с а, рад 1.4. Наблюдение динамических систем при наличии возмущающих воздеиствий и ошибок измерения с применением фильтра Калмана Усложним принимаемую модель (см.
(1,19)), дополнив ее возмущающими воздействиями на систему, а также учтем существование неполного наблтодения (т. е. невозможности измерения всех состояний системы). Отметим, что по-прежнему остаемся в рамках линейной (линеаризованной) системы (1.19). 1.4.1. Постановки задачи и основные математические модели Назначением фильтра Калмана является оценка переменных состояния объекта управления на основе данных о случайных внешних возмущениях и ошибках измерений. Для непрерывного случая предполагается заданной следующая модель объекта управления: х= Ах+Ви+би; У1 = Сх + Ви + Ни~+ у. (1.41) Первое из этих уравнений — уравнение состояний, второе— уравнение наблюдений с известными входами и и возмущениями по входам и н измерениям м„которые являются белым шумом со следующими характеристиками; Е(м1 =ЕЯ =О; ЕРМО) ~'(т)', = У„б(~ — т) (1.42) Используем информацию о следующих координатах; угловой скорости а,, угле атаки а, Метод АКОР имеет существешюе ограничение: использование линейной модели вместо реальной нелинейной.
В связи с этим рекомендуется провести предварительный выбор параметров регулятора в линеаризованной постановке, а затем применить полученный результат как начальный вектор параметров для нелинейной задачи. Синтез наблюдателя для оценивания вектора переменных состояния объекта проводят исходя из минимизации установившейся ошибки оценивания: Р = 1пп Е((х — х)(х — х)'). (1.43) Оптимальным решением является фильтр Калмана, описываемый уравнениями х = Ах+ Ви + Е(у,: — Сх — йи); Ц=~ ~х+[ ~и, (1,44) где матрица коэффициентов обратных связей Е определяется на основе решения алгебраического матричного решения Риккати. 1.4.2. Формирование ошпималъного филъпзра Калмана — Бъюси Получение основных формул для фильтра Калмана — Бьюси опирается на постановку задачи рассматриваемого вида фильтрации, а именно: осуществляется синтез линейного алгоритма оценивания (фильтрации), который формирует несмещенную оценку вектора состояния системы с минимальной дисперсией (т.
е. эффективную оценку), Пусть движение системы описывается векторным дифференциальным уравнением (первое уравнение системы (1,41)): х(~) = А(~)х(~) + В(г)и(г)+ 6(г)иф), (1,45) у,(г) = С(с)х(~)+ 1)(г)и(~)+ НИ Ф)+ Ф), (1.46) где у,(~) — 1-мерный вектор; С(~) — матрица размера 1хп; Х1(Г)— матрица размера 1хг; Н(г) — матрица размера ЬЙ; ю(~) — 1-мерный вектор случайных помех, сопровождающих измерения. где х(~) — и-мерный вектор состояния системы; и(~) — г-мерный вектор управления; и(~) — Ф-мерный вектор случайных воздействий; А(К), В(~), Ст(~) — матрицы размера пхп, пхни, пил соответственно.
Вектор измеряемых выходных координат системы (1.45), который доступен наблюдению и обработке, определяется вторым уравнением системы (1.41): Предполагается, что система (1,45), (1.4б) при и(г) и О и ф) и О на блюда ела. Первым условием получения основных формул метода фильтрации по Калману является указание характеристик рассматриваемых случайных процессов (воздействие и~(г) и помеха ~(г)), которые считаются гауссовскими случайными проиессами типа белого илга с нулевыми математическими ожиданиями (см, формулы (1.42)): Е[иф)1 = О; Е[з (г)~ = О. Ковариационные матрицы процессов, совпадающие с корреляционными матрицами, определяются соотношениями (т) = Е (т) = Е[иФ) и" (~+ т)1 = 0(г)йт) (1,47) С (т) = Я (т) = Е[1 (г), ~'(г+ т)1 = Л(г)б(т), где о(т) — дельта-функция Дирака; Д(~) симметричная неотрицательно определенная матрица интенсивности белого шума вф) размерности Ьй (анализ формул (1.47) показывает, что на диагонали матриц Д и И находятся величины, равные спектральным плотностям н1ума); Я(г) — симметричная неотрицательно определенная матрица интенсивности белого шума ~(1) размерности 1х1, причем для стационарного процесса элементы матриц Д[г'](Г) = Д[1Д = о ~,.1,' ЯЯ(~) = ЯЯ = о,.1,1 не зависят от времени.
Начальное состояние х(ГО) системы — п-мерный гауссовский случайный вектор с известным математическим ожиданием и корреляционной матрицей Е[х(го)~ =И (го) =хо, С„,(го,М=ЕГ(х(М-» )(х(Ь)-хо)'~ (1.48) С „,=О; С,,=О; С„=О, обозначим Ро. Предполагается также, что начальное состояние системы, случайные воздействия и погрешности измерений при всех ~ > ~о взаимно некоррелированы; Ошибка оценивания ()= ()- ()= (г)- () (1.50) называется ошибкой фильтра.
Чтобы процесс на выходе был несмещенной оценкой, должно выполняться равенство Е[ ] = Е[х(х)1 = ГГх(г)3 = х(к), (1.51) т. е. математическое ожидание оценки х(~) равно математическому ожиданию самой величины х(~) и равно среднему значению вектора состояния системы. Можно показать, что первое условие несмещенности оценки вектора состояния с помощью рассматриваемого фильтра (см. (1.49)) порождает его структуру: Г(~) = А(~) — Ь(~)С(~); 6(1)+1,Я1Х,Т) = ВЯ.
Для начальных условий справедливо х(го) = Е[х(го)] = Е(х(го)1 = хо Окончательно уравнение фильтра (см. (1.49)) принимает вид х(г) = А(г)~(г) + В(г)и(г) + Е(г) [у,,(г) — С(г)х(г) — 1Э(~)и(~)]; (1.52) х(го) = хо Неизвестной остается матрица коэффициентов усиления фильтра ЦГ). Для ее определения используем третье условие получения основных формул метода: обеспечение оптимальной оценки, так что составляющие ошибки оценивапия е(~) должны иметь минимальную дисперсию. 30 Вторым условием для получения основных формул метода фильтрации по Калману является несмещенность оценки: ищется линейная несмещенная оценка вектора х(Е), построенная на основе результатов наблюдений у,(т), (го < т < г), Обозначим эту оценку г(г) =х(~) и допустим, что она может быть получена на выходе фильтра, описываемого векторным дифференциальным уравнением () = Г(1)=(Г)+ 6(Г)и()+ ~(г)у,(~).
Сформируем соответствующий функционал качества, при этом задача приобретает ту же структуру, что и задача синтеза оптимального линейного регулятора, Матрица коэффициентов усиления оптимального фильтра определяется выражением Цг) = Р(~)С (~)Я ~ (г), где РЯ вЂ” ковариационная матрица ошибок оценивания, С учетом формулы (1,50) для ошибки и соотношения (1.51) получаем Е1е(~)~ = 0; РЯ = Е1е(~)е'(г)1, так что матрица ковариаций равна корреляционной матрице, Зададим начальные условия: Р(г0) = й, (1.53) Ковариационная матрица ошибок Р играет ту же роль, что и матрица К в теории АКОР, и является решением матричного дифференциального уравнения Риккати РЯ= АЯРЯ+ РЯА'Я вЂ” РЯС'Яй ' ЯСЯРЯ+ + 6(г)Иг)б" И (1.54) ф) = Аг(Г) + Ви(~) + Цу, Я вЂ” Сг(~) †.0и1. (1.55) Матрица коэффициентов усиления фильтра оказывается постоянной и определяется выражением РСтВ-1 где Р— положительно определенная матрица, она является решением матричного алгебраического уравнения Риккати О ~Р+ РАт РСтВ-1СР+ 6Д~т 31 при начальных условиях (1,53), где Ря — ковариационная матрица ошибок оценивания х(~0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
