Романова И.К. Методы синтеза системы управления летательными аппаратами (2017) (1246991), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(1,гб) В такой постановке задача оптимизации относится к векторной (многокритериальной) оптимизации, К сожалению, методы многокритериальной оптимизации не так широко представлены в пакетах прикладных программ, как методы поиска экстремума скалярной функции, Для применения последних необходимо использовать один нз методов свертки векторного критерия. Переходные процессы в оптимальной системе после применения процедуры параметрической оптимизации представлены на рис. 1.3.
Сравнение полученных результатов с результатами моделирования (см, рис. 1.1) при отсутствии управляющих воздействий (свободное возмущенное движение) показывает, что достигнуто существенное уменьшение времени переходного процесса (в десятки раз), а также уменьшение значений управляемых переменных. К достоинствам общематематических методов оптимизации относят отсутствие ограничений на модель. Существенный недо- Л1; и'с Ли, рад 0,04 — 0,2 0„02 -0,02 Ьс 0 - 0,4 'о ЛО 10, рад з 15 Лю~, рад!с 0,02 — 0„02 -0,04 -о,оь дс О Рис.
1.3. Переходные процессы в оптимальной системе после применения процедуры параметрической оптимизации: à — скорость; а — угол атаки; го, — угловая скорость тангажа; 9 — угол наклона траектории статок — сильная зависимость результатов оптимизации от выбора начального приближения. Кроме того, полученный результат часто является лишь локальным экстремумом, Преодолеть эти недостатки часто помогает использование специальных методов теории управления, таких как аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР), эти методы предполагают наличие специальных видов моделей, например линейных.
Однако полученный весьма точный результат можно далее использовать как первое приближение для оптимизации системы общего вида, 1.3. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов 1.3.1. Постановки задачи В общем случае задачи об оптимальном линейном регуляторе формулируются следующим образом. Для объекта управления, который описывается системой линейных дифференциальных уравнений х(Р) = А(~)хИ+ В(~)и(Р), х(~о) = хо, (1.27) необходимо найти закон управления, при котором реализуется минимум квадратичного функционала н .1(и) = — х'(~„)Ф„х(г„)+ — Дх'(~)Фх(й) + и'(~)Ч'иО)) й. (1.28) В формулах (1.27), (1.28) х — н-мерный вектор фазовых координат; и — г-мерный вектор управляющих воздействий; А(~)— матрица динамических параметров объекта размера лхл; В(г)— матрица коэффициентов усиления управляющих воздействий размера пхг; Ф Ф(~) — неотрицательно определенные матрицы весовых коэффициентов; Ч' — положительно определенная матрица весовых коэффициентов (весовые матрицы).
Можно показать, что оптимальный закон управления и,(~) обеспечивает минимум критерию (1,28); и Я = Ч' 'В'(г)КЯхЯ = -1з(~)х(~); 1з(~) = Ч' 'В'(~)К(г), (129) где Й(~) — матрица коэффициентов регулятора; К(~) — решение матричного дифференциального уравнения типа Риккати К(~) = -К(г) А(~) — А'(~)К(г)+ К(~)В®Ч -'В'(~)К(~) - Ф (1ЗО) с граничным условием К(г,) =Ф„. В этом случае дифференциальное уравнение замкнутой оптимальной системы будет иметь вид х(~) = ~А(г) — ВИ1Э(г)ЗФ) =.4,(~)хй); А(~) = Ай) — В(г) 0(г).
(1.31) 20 Для стационарных систем с бесконечным временем наблюдения матричное дифференциальное уравнение Риккати (1.30) вырождается в алгебраическое: КА+А'К вЂ” КВЧ' 'В'К+Ф =О, (1.32) решением которого является симметричная положительно определенная матрица К( ), Решение уравнения (1.30) для стационарных систем при Ф„и г, — э имеет предел (1.33) поэтому матрицу К можно вычислить как предельное значение решения дифференциального уравнения Риккати при достаточно болыпом времени окончания движения ~„.
Процедура синтеза в общем случае состоит из следующих этапов. 1. Построение линейной математической модели объекта управления (1,27). 2. Выбор элементов весовых матриц Ф„Ф, Ч' в (1.28), при которых переходные процессы в системе управления удовлетворяют заданным требованиям. 3, Решение матричного дифференциального уравнения Риккати (1.30) для определения оптимальных параметров закона управления (1,29). 4.
Вычисление переходных процессов в замкнутой оптимальной системе (см. (1.31)) и оценка ее динамических параметров. 1.3.2. Выбор весовых коэффициеитов критерия оптималаноети Из теории автоматического регулирования известны такие прямые и косвенные критерии качества системы, как время переходного процесса, перерегулирование, средняя квадратическая ошибка и др. 121. Часто для описания требований к системе задаются пределы, в которых должны находиться указанные критерии на протяжении всего динамического процесса движения системы (1.25), (1.26). Одним из способов формирования критерия оптимальности системы является квадратичный функционал (1.28). Как следует из этой формулы, он состоит из трех членов — двух интегралов, учитывающих все изменения показателей системы во времени, и одного скаляра.
Отметим, что фактически система (1,27) описывает в рассматриваемых задачах не сами фазовые координаты или управляющие воздействия, а их отклонения от опорной траектории, рассчитанной, например, из задач наведения на цель. Система уравнений типа (1,27) получена в результате линеаризации исходной системы нелинейных уравнений и последующего структурирования в матричном представлении (см. (1.20)).
С учетом этих замечаний проанализируем слагаемые формулы (1.28). Слагаемое х'(~)Фх(~) описывает отклонения фазовых координат от желаемых. Эта составляющая наиболее важна для обеспечения заданной траектории программного движения (облет препятствий, маскировка полета) и т, п, Слагаемое и'(~)Ч'и(г) оценивает стоимость управления (его часто называют мощностью управления), Оно является определяющими при существенных ограничениях на располагаемые энергетические ресурсы ЛА (беспилотники). т Слагаемое — х" (~,)Ф,х(~,) гарантирует малость ошибки в ко- 2 нечный момент времени, его необходимо учитывать в том случае, когда влияние величины отклонений координат в конечный момент времени особенно важно.
Для задач управления полетом ЛА это требование следует, например, из решения задачи попадания в требуемую точку пространства с заданной точностью, скоростью подлета, углом подлета и т. п. Степень влияния того или иного компонента квадратичного функционала, а также отклонения конкретной фазовой координаты или энергетических затрат на конкретный канал управления можно учесть через установку значения элементов матриц Ф„Ф, Ч'. Они играют роль штрафных функций.
Увеличивая штраф (тот или иной элемент весовой матрицы), можно усилить значимость данного частного критерия через увеличение его вклада в минимизируемый квадратичный критерий качества (1.28), Интегрированное влияние весовых матриц на динамику системы проявляется в значениях таких показателей качества, как запа- 22 сы устойчивости, перерегулирование, колебательность, время переходного процесса и т. д. Именно эти показатели задаются в техническом задании на проектирование (1.25), (1.26), Найти явные аналитические зависимости между элементами матрицы й, а следовательно, динамическими свойствами системы и весовых матриц, вообще говоря, невозможно, так как матрица К(~) есть решение системы нелинейных дифференциальных уравнений типа Риккати. Поэтому при выборе элементов весовых матриц обычно используют метод последовательных приближений.
Выбор коэффициентов весовых матриц осуществляют с учетом следующих рекомендаций: обычно весовые матрицы назначают постоянными и диагональными; ° считают, что максимально допустимые отклонения фазовых координат в любой момент времени вносят в функционал качества одинаковый вклад. Если аналогичные рассуждения распространить и на отклонения сигналов управления, то эти условия можно записать так: 2 Х1 шах И1 шах 9И =~ ~ 711' 3122 = 3~11 Х1 шах И /шах (1.34) 2 а~~,9яЛ1шах = 2.
11122 И,т'шах ° (1.35) Значение 11111 назначают произвольно, например, равным единице. Подставляя соотношения (1.34) и единичное значение коэффици- ента 11111 в (1.35), после преобразований получаем выражение для коэффициента 11111. И1 2 ~1 пих (1.36) где х, — максимально допустимое отклонение координаты (см.
(1.25)); и — то же для сигнала управления; ° суммарный вклад максимально допустимых отклонений фазовых координат должен приблизительно равняться суммарному вкладу максимально допустимых отклонений сигналов управления. Тогда Соотношение (1,36) и единичное значение коэффициента у11 позволяют рассчитать для первой итерации значения остальных весовых коэффициентов по формуле (1,35), 1.3.3. Особенности синтеза системы Используем модель возмущенного продольного движения ЛА, структурированную в матричном виде (1.20). Для использования метода АКОР в соответствии с представлением системы (1.27) требуется привести заданную систему к представлению в пространстве состояний: а11 а12 а13 а14 а21т а22т а23т а24т а31т а32т а33т а34 а41т а42т а43т а44т (1.37) В= А= Ь1т 641т х=~Л1' Ла ЛО Ло3,~; и=~АЗ,~; ЫЛГ ЫЛа ЫЛО ИЛоз, х= ~Й сй Й Й (1.38) где А — матрица свойств объекта;  — матрица свойств управления; х — вектор фазовых координат; и — вектор управляющих воздействий.
Связь между коэффициентами указанных матриц и исходными динамическими коэффициентами определяется по формулам (1.20). Как следует из анализа системы (1.37), ее размерности таковы: и = 4 (размерность вектора фазовых координат); г = 1 (размерность вектора управляющих воздействий). Таким образом, этап 1 синтеза (см. разд, 1.3.1) выполнен— получена линейная модель системы, описывающей движение объекта. Еще раз обратим внимание на то, что эта модель описывает изменение не самих параметров движения, а их отклонений от опорной невозмущенной траектории, Поскольку используем систему уравнений в отклонениях, то очевидно, что чем меньше значения фазовых переменных, тем точнее реализуем заданную траекторию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
