Романова И.К. Методы синтеза системы управления летательными аппаратами (2017) (1246991), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для стационарного случая матрицы А, В, С, й, 6, Н вЂ” постоянные; матрицы Д, Л вЂ” постоянные, их компоненты — дисперсии: начальный момент времени наблюдения г0 — >— При этих допущениях получаем для уравнения фильтра Калмана — Бьюси Во многих задачах закон управления является линейным, зависящим от координат состояния объекта. Как следует из формул (121), для формирования закона управления до сих пор использовалась информация о координатах состояния объекта.
В рассматриваемой методике истинное состояние объекта неизвестно, Поэтому положим, что управление вместо состояния объекта определяется по его оценке: (1,56) Тогда получим х(г) = АЯх(г') — ВЯК(г) (г)+ б(г)в(г); (1.57) (г) = А~=(г) — ВЯК(г') (г) + ~(г)1у:(г) — С(г) (г) — 1~(г) (г)] Следовательно, замкнутый контур регулирования, состоящий из объекта, фильтра и регулятора, можно описать обобщенной системой дифференциальных уравнений А — ВК 1С А — ВК вЂ” ЬС :] к (1.58) 32 Система (1,58) в целом аналогична системе (1.44).
Ее отличие заклгочается, во-первых, в том, что в (1.58) использовано конкретное выражение для закона управления в виде (1.5б) и переменная обозначена ~(г) = х(1). Рассмотрим основные переменные и задачи, решаемые в ходе синтеза фильтра, Входы модели (1.44) следующие: х — вектор состояния системы в присутствии шума процесса; у, — наблюдаемая (т.
е. измеряемая) характеристика системы, в нее входит шум измерений ч; у — характеристика идеальных наблюдений, т. е. без шума измерений г, но с учетом шума процесса и. В реальном проекте входы х и у нам ггеизвесгггггы, но нужно гголучить ггх оггеггку по известным измерениям у, и характеристикам случайных процессов гг (г)„г(г). Выходы модели (1,44); оценка ~(г) = х(г) вектора переменных состояния х; оценка у, = у(г) вектора выхода у идеальных наблюдений без шума измерений (обратите внимание, что оцениваем не у,).
и(к) = -к(г)Ф). хнх~, о хз,х, 0,06 -01 0,04 о,г -о,з О,4 'о о,о Ьс 0 з хз, хз, -10 1О х4: х4я О,1О 0,05 о,О5 -0,10 5 е,с 0 5 Ос 0 Рнс. 1.5. Результаты управления с использованием оценки значений фазовых переменных: хь хь хз, х4 — реальные значения; х|„х „х~ х4, — оценки ЗЗ Выполним анализ качества фильтрации по двум оценкам, Сравним: 1) вектор х и его оценку х(~), находя ошибку оценивания состояния е по формуле (1.50); 2) две разности: у — у, = у — у(~) — ошибка после фильтрации (ошибка оценки выхода); у — у, — ошибка перед фильтрацией (ошибка измерения). Сформулируем центральную задачу синтеза фильтра; найти матрицу коэффициентов обратных связей Е в модели (1.44).
Лри этом закон управления является линейным, формируемым на основании значений координат состояния объекта. В отличие от детерминированных задач, рассмотренных в разд. 1.1 и 1.2, для формирования вектора управляющих воздействий вместо вектора состояния х(г) используем его оценку з(г) = х(1): О,О5 0,05 -0,10 0 1 2 3 4 5 б 7 8 9 ьс в - в, 10 — 1О 0 1 2 3 4 5 б 7 Х 9 Ьс Рис. 1.6. Результаты фильтрации с помощью фильтра Калмаиа: у — выход; у, — оценка выхода; у — у, — ошибка оценки выхода 1.5. Эталонные модели Эталонные модели включают такие наборы параметров, которые гарантируют приемлемое качество переходного процесса в замкнутой системе.
В самом простом случае модель замкнутой системы имеет вид колебательного звена (см. (1,5)). Изображение по Лапласу выходного для такого звена сигнала выглядит так: 2 2 Щ 1 я'+ 2~03„х+ а~ (я/а„)"-+ 2~Ища +1 А(ю), Т = 1 Т2Р +2~Тх+1 Оз„ (1.59) На рис. 1.5 представлены результаты управления с использованием оценки значений фазовых переменных, а на рис, 1,6 — результаты фильтрации с помощью фильтра Калмана. При единичном ступенчатом входном воздействии, изображение которого по Лапласу Я(х) = 1й, имеем у(~)— озп 1 Т =, (1.бО) 1 ю(я~ + 2фсо„ю+ со~) х(Т ю~ + 2473+ 1) оэп Используя таблицу преобразований Лапласа, найдем оригинал (1.бО): 1 ~ю„ у(г) =1- — е ~""' зш (со„рг+ у), (1.61) где р = ~/1 — с"-'; у = агссоз с, О < г, < 1.
(1 б2) уй) = 1 Т~к~ + 2~Тю+1 (1.бЗ) что совпадает с передаточной функцией замкнутой системы Т(ю) = = У(я)~Я(я). Используем оценки качества регулирования по переходной характеристике, приведенные в табл, 1.1: время переходного процесса, время нарастания, перерегулирование. Оценки качества по виду переходного процесса разделяк~т на две группы: 1) быстродействие, которое определяется временем нарастания и временем максимума; 2) близость к желаемому виду, которая зависит от перерегулирования и времени установления.
Реакция системы управления на ступенчатое воздействие показана на рис, 1,7, Указанные выше оценки качества для рассмотренной передаточной функции могут быть представлены в виде аналитических формул. Известно, что с уменьшением коэффициента демпфирования ~ корни характеристического уравнения замкнутой системы приближаются к мнимой оси и реакция становится сильно колебательной, система при этом приближается к колебательной границе устойчивости. Для единичной импульсной функции с изображением по Лапласу Я(я) = 1 можно записать Рнс. 1.7. Реакция системы управления на ступенчатое воздействие: у(1) — — выход;Мр, — максимум у(1); Т„„ Т, — время нарастания; Х' время максимума; Т,, время установления; ерр статическая о~пибка; б величина трубки при расчете времени установления; и перерегулированне Сформулируем задачу выбора параметров системы ~1.63).
Необходимо найти два параметра: собственную частоту У' = 1/в„и коэффициент демпфирования с, при которых удовлетворяются оценки качества по виду переходного процесса; по быстродействию н близости к желаемой характеристике. Часто в теории автоматического управления используют два критерия; время переходного процесса и перерегулирование. Время переходного процесса (время установления) рассчитывают по формуле (1.64) т, е. время установления зависит от собственной частоты системы и коэффициента демпфирования, Этот критерий характеризует качество регулирования с точки зрения успокоения возмущений, например, колебаний, вызванных скачкообразной командой, Вторым критерием является относительное перерегулированне о=100е ~'~ (1.65) Для удобства расчетов используем зависимость относительного перерегулирования и нормированного времени максимума от коэффициента затухания, приведенную на рис.
1,8. Эту зависимость вычисляют по формулам (1.65) и (1.66). Однако оба критерия (см. (1.64) и (1.65)) относятся ко второй группе оценок: близость к желаемой характеристике. Для определения оптимальных параметров также рекомендуется применять критерий из первой группы — быстродействие (маневренность). Для оценки маневренности используем время нарастания Т„, т. е.
время изменения реакции системы на ступеньчатое воздействие от 0 до 100 % для недодемпфированных систем, т. е, с пере- регулированием, и от 10 до 90 % для передемпфированных систем с апериодическим переходным процессом, у которых в принципе нет перерегулирования. Для системы второго порядка указанному определению соответствует зависимость нормированного времени нарастания Т„1 от коэффициента демпфирования, представленная на рис. 1.9, Нормированное время нарастания оз„Т,1 изображено на со„Т,.
Рис. 1.8. Зависимость макси- 4,60 мального относительного пере- регулирования а и нормированного времени максимума о),7; от коэффициента затухания с, для системы второго порядка: 1 — относительное перерегулирование:, 2 - - нормированное время установления; сЬ, — собственная частота; Т, время установления 4,20 40 3,40 20 3„00 0 0,2 0,.4 0,6 0,8 37 Этот критерий, в отличие от первого (см. (1.64)), зависит только от одного оптимизируемого параметра, поэтому расчет имеет смысл начать с определения коэффициента демпфирования ~, а затем найти собственную частоту замкнутой системы, обеспечивающую заданное время переходного процесса по формуле озя = —, 4 (1.66) ТХ Рис. 1.9.
Зависимость нормированного времени нарастания Т„, от коэффициента демпфирования с для системы второго порядка: 1 — действительное время нарастания; 2— линейная аппроксимация (выполняется по формуле ((.67)) 1,5 1,0 0 0,2 0,4 О,б О,а этом рисунке в зависимости от коэффициента демпфирования системы с, где а„— собственная частота системы. Кривая 1 справедлива для коэффициента демпфирования системы с в диапазоне 0,05.„0,95, Для более узкого диапазона 0,3.„0,8 возможна линейная аппроксимация (см, кривую 2) по формуле а„Т,1 = 2,16~+ 0,60. (1.67) Таким образом, в любом случае сначала находят коэффициент демпфирования по заданному перерегулированию, затем собственную частоту системы, исходя из заданного времени переходного процесса или скорости нарастания, Противоречия между двумя критериями (см.
(1.64) и (1.67)) проявляются в том, что при данном коэффициенте демпфирования с реакция тем быстрее, чем больше собственная частота а„, Перерегулирование не зависит от собственной частоты. При данной собственной частоте а„реакция тем быстрее, чем меньше с, однако скорость реакции системы ограничивается допустимым перерегулированием. В более общем случае передаточную функцию замкнутой системы можно получить, используя интегральные оценки, описанные в работе ~21: ИКΠ— интеграл от квадрата ошибки; ИВКО— интеграл от взвешенного квадрата ошибки; ИВМΠ— интеграл от взвешенного модуля ошибки. Сначала определим, какая из этих оценок является предпочтительной: т ИКО =~ е~(г)й; о (1.68) ИВМО = ~ Е)е(г)' Й; о (1.69) ИКО = ~ гег(1)й, о Эти оценки вычислены для различных коэффициентов затухания при ступенчатом входном воздействии и представлены на рис.
1.10. Кривые 1 — 3 показывают хорошую избирательность оценки ИВМО. Для передаточной функции замкнутой системы общего вида у( ) ~(~) ЛИ О 0,4 0,8 1,2 1,6 Р, Рис. 1ЛО. Три оценки качества для системы второго порядка: ~ ---- ивмО; 2 ивкО-1о; З-- (1.71) 5" +1Ъ 1~" '+...+Ь+6о 5+ Ози 5~ + 1,4а„х+ а„; 53+1,75а юг+2 15аг5+аз 4+2 1а 3+3 4аг г+ 2 7а3 +а4„ ~5 + 2,8а„~4 + 5,0аг53 + 5,5а3„5г + 3,4а4ю+ а'„; 6+325 5+бб0 г 4+8 б0 3 3+7 ~5 4 г+ 5 + 6 (1.72) 39 ИКО, ~ коэффициент демпфи определены значения коэффициентов, которые минимизируют оценку ИВМО в случае ступенчатого входного сигнала.
Система (1,71) обладает пулевой установившейся ошибкой, а ее передаточная функция имеет и полюсов и не содержит нулей. Оптимальные значения коэффициентов по критерию ИВМО приведены ниже: Переходные характеристики, соответствуюп1ие оптимальным коэффициентам нормированной передаточной функции по критерию ИВМО, приведены на рис, 1,11, 1,г 1,0 х 0а ~~ О,б Й 0,1 о <д ~ о,г о ж г0 5 10 15 Нормирова~пюе времв Рис, 1.11. Переходные характеристики, соответствующие оптимальным коэффициентам нормированной передаточной функции по критерию ИВМО Рассмотрим пример использования эталонной функции г ~'+24аок +оэох+КЛ' ао В соответствии с формулами (1.72) для системы третьего порядка необходимо выполнение следующих условий; 2сао — — 1,75а„; На рис. 1.11 видно, что для и = 3 время установления (нормированное) равно 14 с, Следовательно, а„Т, =8, Пусть требуется получить время установления менее 1 с. Для этого примем а„=10 рад/с, Тогда, согласно критерию ИВМО, параметры передаточной функции замкнутой системы должны быть следующими: ао =14,б7; ~ =0,597 40 Далее определим коэффициент усиления усилителя и двигателя з К,К„, = —" =4,65.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
