Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (2-е изд., 2013) (1246775), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Оптимальное управление по углам атаки и крена. Сначала проанализируем задачу оптимального управления на траектории планирующего спускаЛА (с аэродинамическим качеством k > 1) из условия получения максимальнойбоковой дальности при отсутствии ограничений на параметры движения. Будемпредполагать, что управление осуществляется путем одновременного регулирования углов атаки α и скоростного крена γV :0 < αmin ≤ α ≤ αmax ,(6.4.1).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»272Глава 6.
Вход в атмосферу и посадка|γV | ≤ γmax ≤ π/2.(6.4.2)Вместо условия (6.4.1) при исследовании упрощенной (модельной) задачиудобнее рассматривать соответствующее ему ограничение на величину аэродинамического качества0 < kmin ≤ k ≤ kmax .Обычноkmin = k(αmin ),(6.4.3)kmax = k(αmax ),причем последнее неравенство обусловлено тем, что зависимость k(α) достигаетмаксимума при некотором угле атаки α = α∗ , а затем начинает убывать придальнейшем увеличении угла атаки от α∗ до αmax .Как показано в работах [6.7, 6.18], при анализе задачи оптимального маневрав атмосфере можно воспользоваться гипотезой квазистационарного планирования,согласно которой ЛА совершает почти горизонтальный полет, когда угол наклонатраектории и его производная по времени удовлетворяют условиямθ ≈ 0,θ̇ ≈ 0.Если аэродинамическое качество k ≈ 1, то такой подход не порождает большихошибок и одновременно позволяет существенно упростить уравнения движения.Вместе с гипотезой квазистационарности обычно принимаются некоторые другиедопущения.
Например, пренебрегают высотой полета по сравнению с радиусомЗемли, не учитывают проекцию силы тяжести на направление вектора скоростииз-за ее малости относительно величины силы аэродинамического сопротивленияи т. п. После всех упрощений квазистационарное планирование будет описыватьсяследующей системой уравнений движения [6.18]:g 0 REVV = −−1,k cos γVV2g 0 REη =−1tg γV − tg ϕ cos η,V2ϕ = sin η,cos η,λ =cos ϕRE.t =V(6.4.4)Здесь g0 — гравитационное ускорение на поверхности Земли, RE — радиус Земли,η — угол курса (между проекцией скорости V на местную горизонтальную плоскость и местной параллелью), ϕ — геоцентрическая широта, λ — долгота, t — время.Штрихом обозначены производные по независимой переменной s, которая связанас временем соотношениемds =V cos θVdt ≈dt,rRE.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»6.4.
Планирующий спуск в атмосфере273где r — величина текущего радиуса-вектора аппарата. Величина ds определяетугловое перемещение радиуса-вектора r в мгновенной плоскости движения.Без ограничения общности, можно принять для упрощения задачи, что исходнаяорбита находится в плоскости экватора, причем отсчет долготы ведется от точкивхода в атмосферу. Тогда боковая дальность будет определяться широтой ϕf конечной точки траектории. Если ϕf = π/2, то аппарат может приземлиться в любойточке земного шара, поскольку любая долгота конечной точки λf обеспечиваетсяза счет выбора соответствующей точки схода с орбиты.При исследовании максимального бокового маневра можно ограничиться рассмотрением трех первых уравнений системы (6.4.4), в которые не входят переменные λ и t.
Для указанных уравнений заданы начальные условия (s = 0):V (0) = V0 , η (0) = η0 , ϕ (0) = 0,а конец траектории s = sf определяется при достижении заданной скоростиV (sf ) = Vf ,т. е. величина sf заранее не фиксирована. Для получения максимальной величиныϕf = ϕ(sf ), что обеспечивает наибольшую боковую дальность, определим maxоптимальное управление u = (k, γV ).
С этой целью составим гамильтонианVg 0 REg 0 RE−1+ψ−1tg γV −H = −ψVηk cos γVV2V2− ψη tg ϕ cos η + ψϕ sin η,(6.4.5)где ψV , ψη , ψϕ — сопряженные переменные, удовлетворяющие уравнениям1g 0 REg 0 RE+ 1 + 2ψη 3 tg γV ,ψV = −ψV2k cos γVVVψη = −ψη tg ϕ sin η − ψϕ cos η,cos ηψϕ = ψηcos2 ϕи краевым условиямψη (sf ) = 0,Обозначимψϕ (sf ) = −1.(6.4.6)(6.4.7)g 0 REHk = −ψV V−1 ,V2g 0 REHγ = ψη−1 ,V2H0 = −ψη tg ϕ cos η + ψϕ sin η,тогдаH=1Hk + Hγ tg γ + H0 .k cos γV(6.4.5а).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»274Глава 6. Вход в атмосферу и посадкаСначала найдем оптимальную величину аэродинамического качества k изусловия абсолютного минимума гамильтониана (6.4.5а).
Видно, что функция H(k)является монотонной, поэтому абсолютный минимум может достигаться тольков граничных точках области допустимого управления по k (6.4.3):kmin , если Hk < 0,k=(6.4.8)kmax , если Hk > 0.Найдем теперь условия оптимального управления по углу крена. ФункцияH (γV ) может иметь не более одной экстремальной точки при γV = γ ∗ , определяемой равенством ∂H/∂γ = 0:γ ∗ = − arcsinkHγ,Hkгде k — выбранная оптимальная величина аэродинамического качества. Такой уголкрена γ ∗ существует, еслиРассмотрим|Hk | > k|Hγ |.(6.4.9)∂ 2 H 1 Hk2 − k 2 Hγ2=.∂γV2 γ ∗Hk k cos3 γ ∗(6.4.10)Второй сомножитель (6.4.10) положителен в силу соотношений (6.4.2), (6.4.3)и (6.4.9).
Поэтому∂ 2 H sign= sign Hk ,∂γV2 γ ∗и при выполнении ограничения (6.4.9) функция H(γV ) в точке γV = γ ∗ достигаетминимального значения, если Hk > 0. Вместе с тем, последнее неравенствоопределяет, что k = kmax согласно условию (6.4.8). Тогда оптимальный угол кренаγ ∗ = − arcsinkmax Hγ.Hk(6.4.11)Если минимум функции H (γV ) достигается во внутренней точке областидопустимого управления по γ (6.4.2), то|sin γ ∗ | < sin γmax ,или с учетом (6.4.11) kmax Hγ < sin γmax ,−Hk откудаHk >kmax |Hγ |,sin γmax(6.4.12)так как kmax > 0, Hk > 0. Полученное неравенство (6.4.12) определяет условиесуществования минимума гамильтониана при значении угла крена (6.4.11), котороенаходится внутри области допустимого управления..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»6.4. Планирующий спуск в атмосфере275Если условие (6.4.12) не выполняется, то функция H(γV ) не имеет минимума,поэтому она достигает абсолютного минимального значения в одной из граничныхточек области допустимого управления (6.4.2).
Однако только второе слагаемоегамильтониана (6.4.5а) зависит от знака угла крена. Следовательно, абсолютныйминимум гамильтониана обеспечивается, если выбор угла крена из двух возможныхграничных значений ±γmax подчинен требованиюHγ tg γV ≤ 0,(6.4.13)откуда sign γV = − sign Hγ . Итак, условия оптимальности управления по углу кренаимеют вид [6.18]:⎧⎨ − arcsin kmax Hγ , если Hk > kmax |Hγ | ,Hksin γmaxγV =(6.4.14)⎩ −γmax sign Hγ , если Hk ≤ kmax |Hγ | .sin γmaxИз условий оптимального управления (6.4.8) и (6.4.14) следует, что для получения максимальной боковой дальности аэродинамическое качество должновыбираться граничным kmin или kmax , а угол крена может быть как граничным(± γmax ), так и находиться внутри диапазона регулирования (−γmax < γV < γmax ).Для выявления структуры оптимального управления аэродинамическим качеством исследуем нули функции переключения Hk .
С этой целью продифференцируем Hk и, учитывая первые уравнения систем (6.4.4) и (6.4.6), преобразуемпроизводную Hk к виду2g0 REHγ tg γV .Hk = −V2Отсюда с учетом соотношения (6.4.13) следует, чтоHk ≥ 0,поэтому функция Hk (s) является неубывающей. В рассматриваемой задаче особоеуправление (Hk ≡ 0) возникать не может, следовательно, функция переключенияHk может иметь не более одного нуля, который определяет, когда должно производиться переключение с kmin на kmax . Если Hk > 0, то на протяжении всей траекторииполет должен совершаться с максимальным аэродинамическим качеством.
Из простых физических соображений следует, что в подавляющем большинстве случаевреализуется именно такое управление (k ≡ kmax ). Действительно, на начальнойфазе полета в атмосфере имеет место наибольшая эффективность управлениябоковой дальностью путем поворота на угол крена, причем эта эффективностьпрямо пропорциональна располагаемому аэродинамическому качеству. Но еслив начале полета k ≡ kmax , то такое управление сохраняется и на всей траектории.Таким образом, на основе гипотезы квазистационарного планирования удаетсяустановить структуру оптимального управления в модельной задаче.
Полученныесоотношения (6.4.14) для нахождения оптимального угла крена могут быть использованы в качестве начального приближения при решении вариационной задачив более точной постановке. При уточненной постановке вместо аэродинамическогокачества k = Cy /Cx удобнее рассматривать определяющие его аэродинамическиекоэффициенты подъемной силы Cy и силы лобового сопротивления Cx = Cx0 +ACy2.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»276Глава 6. Вход в атмосферу и посадка(Cx0 = Cx |Cy =0 , A — коэффициент пропорциональности).
Тогда вместо условия(6.4.3) учитываются ограничения на величину Cy :0 < CL min ≤ CL ≤ CL max .На рис. 6.15 показаны результаты точного и приближенного решений задачидостижения наибольшей боковой дальности [6.18]. Видно близкое изменение всехпараметров движения и, что главное, хорошее совпадение заданного функционала — широты конечной точки ϕf .Рис. 6.15.
Параметры движения при оптимальном боковом маневре (k = 1.5): −−−− точноерешение, − − − приближенное решениеКонечные параметры траектории спуска, широта ϕf и долгота λf , в зависимости от располагаемого аэродинамического качества представлены на рис. 6.16.Достижимая боковая дальность почти линейно возрастает с увеличением k, и приk ≈ 3.5 получим ϕf ≈ π/2. Следовательно, спускаемый аппарат, имеющийаэродинамическое качество не ниже k = 3.5, может в пределах одного виткаприземлиться в любой точке земного шара [6.18].Численное моделирование на ЭВМ показывает, что для приближенных оценокдостижимой боковой дальности с располагаемым гиперзвуковым аэродинамическим качеством 0.5 ≤ k ≤ 1.5 можно воспользоваться кусочно-постоянным.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»6.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
