Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (2-е изд., 2013) (1246775), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Чем больше эта высота, тем меньше масса парашютнореактивной системы при прочих равных условиях.Анализ управления, которое минимизирует конечную скорость Vf на заданнойвысоте hf при наличии ограничения по допустимой высоте полета над поверхностью планеты h ≤ hal (из условия безопасности), позволил выделить следующиедва основных типа оптимальных траекторий [6.22, 6.24]:1) с выходом на ограничение по высоте, т.
е. с изовысотным участком полета;2) без выхода на ограничение по высоте, т. е. все параметры находятся внутридопустимой области.Рассмотрим сначала траектории первого типа. Пусть t(1) и t(2) — моменты времени начала и конца изовысотного участка полета, а V (1) и V (2) — соответствующиеим значения скорости. Можно показать, что управление на участке полета довыхода на ограничение (т. е. при t < t(1) ) в известных пределах не влияет навеличину конечной скорости Vf .
Действительно, все траектории первого типахарактеризуются величиной скорости V (2) в момент схода с ограничения, котораяне зависит от V (1) Отсюда следует неединственность оптимального управления довыхода на ограничение.До выхода на допустимую высоту h = hal множество траекторий первоготипа ограничено двумя предельными траекториями, 1а и 1б (см. рис. 6.19). Еслипотребовать дополнительно, чтобы величина скорости V (1) была максимальной, тополучим оптимальную программу эффективного аэродинамического качества kefдля траекторий 1а [6.22, 6.24]:kef = −ktrim , +ktrim ..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»286Глава 6. Вход в атмосферу и посадкаРис. 6.19.
Классификация оптимальных траекторийгде ktrim — располагаемая величина аэродинамического качества аппарата, сбалансированного на некотором угле атаки (балансировочное качество). Для другой предельной траектории (1б), которая только касается ограничения по высоте h ≥ hal ,оптимальной является программа двухразового переключения аэродинамическогокачества:kef = +ktrim , −ktrim , +ktrim .Внутри заштрихованной на рис. 6.19 области, как уже отмечалось, могутиспользоваться различные программы kef (t).После схода с ограничения по высоте h(t) = hal внутрь допустимой областифазовых переменных оптимальное управление для реальных условий полета имеетвид kef = +ktrim .
Это приводит к маневру типа «горка», когда высота сначалаувеличивается до некоторой величины, а затем уменьшается. В пределе «горка»может вырождаться в продолжение изовысотного участка полета. Последнее имеетместо только при очень большой величине приведенной нагрузки на мидель px .На оптимальных траекториях второго типа происходит одно переключениеэффективного качества с −ktrim на +ktrim , причем на заключительном участке спускатакже появляется маневр типа «горка».Критерий минимума скорости в конце участка основного аэродинамическоготорможения оказался достаточно универсальным.
Как показал численный анализ,минимум конечной скорости примерно соответствует минимуму характеристической скорости, необходимой для реализации мягкой посадки, что в целом позволяетполучить наименьшую массу реактивной системы мягкой посадки. Увеличениеминимального запаса характеристической скорости всего на 4% позволяет почтивдвое расширить коридор входа и зону маневра при построении алгоритмовуправления приведения СА в заданную область поверхности Марса [6.22, 6.24]..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»6.6. Посадка на Луну2876.6. ПОСАДКА НА ЛУНУПосадка на Луну происходит в условиях отсутствия атмосферы. Поэтому торможение СА может осуществляться только с помощью двигательной установки.С другой стороны, отсутствие сопротивления атмосферы снимает всякие ограничения по углам атаки, нагреву, аэродинамическим нагрузкам, позволяет реализоватьтраектории полета с большой скоростью на сравнительно малой высоте и т.
п.Как уже отмечалось, посадка с селеноцентрической орбиты обладает определенными преимуществами по сравнению с прямой посадкой. Схема посадкис орбиты в общем случае включает три основных маневра:• отделение спускаемого аппарата от основного блока;• перевод спускаемого аппарата на эллиптическую траекторию с высотойпериселения около 15 км;• торможение спускаемого аппарата в периселении траектории для обеспечения мягкой посадки.Последний маневр требует основных энергетических затрат (1.5 ÷ 2.0 км/с),и его оптимизация в наибольшей степени сказывается на суммарных энергетических затратах.6.6.1. Оптимальная программа торможения. Рассмотрим модельную задачупосадки СА на поверхность Луны, предполагая гравитационное поле Луны центральным. Начало инерциальной системы координат 0x1 x3 разместим в точкепосадки, причем ось 0x1 направим горизонтально по движению аппарата, а ось0x3 — вертикально вверх.
Движение происходит в плоскости 0x1 x3 и описываетсяуравнениямиẋ1 = x2 ,W β̃α1 + gx ,x5ẋ3 = x4 ,ẋ2 =W β̃α2 + gy ,x5ẋ5 = −β̃ẋ4 =и начальными условиями для фазовых переменных: xi (0) = xi0 (i = 1, . . . , 5).Найдем оптимальную программу вектора тяги P(t), т. е.
такое управлениеu = (α1 , α2 , β̃), которое в конце участка торможения (t = T) обеспечиваетпопадание в начало координатx1 (T) = x3 (T) = 0с нулевой конечной скоростьюx2 (T) = x4 (T) = 0(6.6.1)при условии максимизации конечной массы x5 (T), т. е. минимизации расходатоплива. Следовательно, ищется max-оптимальное управление [6.25] в области.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»288Глава 6. Вход в атмосферу и посадкадопустимых управленийβ̃min ≤ β̃ ≤ β̃max(β̃min ≥ 0),α21 + α22 = 1.Время полета T считается свободным и определяется из условия получениямаксимальной конечной массы.Составим гамильтониан u) = ψ1 x2 + ψ2 W β̃ α1 + ψ2 gx + ψ3 x4 + ψ4 W β̃ α2 + ψ4 gy − ψ5 β̃H(x, ψ,x5x5или u) = K(u) + H2 (x, ψ),H(x, ψ,гдеK(u) = β̃W(ψ2 α1 + ψ4 α2 ) − ψ5 ,x5 = ψ1 x2 + ψ2 gx + ψ3 x4 + ψ4 gy .H2 (x, ψ)Для сопряженной системы∂gy∂gx− ψ4,∂x1∂x1ψ̇2 = −ψ1 ,∂gy∂gxψ̇3 = −ψ2− ψ4,∂x3∂x3ψ̇4 = −ψ3 ,ψ̇1 = −ψ2(6.6.2)W β̃(ψ2 α1 + ψ4 α2 )x25задано одно условие в конце участка торможения:ψ̇5 =ψ5 (T) = −1.Max-оптимальное управление реализуется приψ2ψ4α1 = − , α2 = − ,ψψβ̃max , если H1 > 0,β̃ =β̃min , если H1 < 0,гдеψ=ψ22 + ψ42 ,H1 =(6.6.3)Wψ + ψ5 .x5Следовательно, при оптимальном управлении величина секундного расходамассы (а следовательно, и тяги) должна быть максимальной или минимальной(в пределе — нулевой), если H1 (t) = 0.
Условие (6.6.3) можно представить в видеtg ϑ =ψ4.ψ2(6.6.4).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»6.6. Посадка на Луну289Будем считать, что протяженность участка работы двигателя мала по сравнениюс радиусом Луны: x1 RM , x3 RM . Тогда составляющие лунного притяженияможно вычислять по линеаризованным формулам:gx = −ν 2 x1 , gy = −g + 2ν 2 x3 ,где g соответствует точке посадки, ν 2 = μM /R3M , μM — произведение гравитационной постоянной на массу Луны. В этом случае∂gx= −ν 2 ,∂x1∂gy= 0,∂x1∂gx= 0,∂x3∂gy= 2ν 2 ,∂x3и первые четыре уравнения системы (6.6.2) можно проинтегрировать:ψ1 (t) = ψ1 (T) cos ν(T − t) − νψ2 (T) sin ν(T − t),ψ1 (T)sin ν(T − t) + ψ2 (T) cos ν(T − t),ν√√√ψ3 (t) = ψ3 (T) ch 2ν(T − t) + 2νψ4 (T) sh 2ν(T − t),√ψ3 (T) √ψ4 (t) = √sh 2ν(T − t) + ψ4 (T) ch 2ν(T − t).2νψ2 (t) =С учетом условия (6.6.4) получим√√ψ3 (T)√sh2ν(T−t)+ψ(T)ch2ν(T − t)4tg ϑ = 2ν.ψ1 (T)sin ν(T − t) + ψ2 (T) cos ν(T − t)νЭтот угол тангажа отсчитывается от горизонтальной плоскости в точке посадки СА.Для Луны ν = 0.97 · 10−3 с−1 , и если время работы двигателя невелико, томожно принять параметр ν(T − t) малым.
Тогдаtg ϑ ≈ψ3 (T)(T − t) + ψ4 (T)ψ1 (T)(T − t) + ψ2 (T)илиtg ϑ ≈C1 − C2 t,C3 − C4 tгдеC1 = ψ3 (T)T + ψ4 (T),C2 = ψ3 (T),C3 = ψ1 (T)T + ψ2 (T),C4 = ψ1 (T).Оценим возможное число нулей функции переключения H1 . С этой цельюисследуем производнуюWḢ1 =ψ̇,x5знак которой совпадает со знаком ψ̇, так как W /x5 > 0. Ноψ2 ψ̇2 + ψ4 ψ̇4,ψ̇ = ψ22 + ψ42.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»290Глава 6. Вход в атмосферу и посадкаsign ψ̇ = sign 2C2 + C42 t − C1 C2 − C3 C4 .(6.6.5)Правая часть соотношения (6.6.5) представляет собой линейную возрастающуюфункцию времени, имеющую не более одного нуля.
Поэтому функция переключения может иметь не более двух нулей, которым соответствует следующаяпрограмма величины тяги:Pmax , Pmin (в пределе P = 0), Pmax .Отсюда видно, что в рассматриваемой модельной задаче для оптимального порасходу топлива торможения СА требуется не более двух включения максимальнойтяги. С другой стороны, на любой траектории спуска должно иметь место покрайней мере одно включение максимальной тяги, в противном случае невозможнобыло бы удовлетворить условию (6.6.1) по нулевой конечной скорости.Выявленная структура оптимального управления для модельной задачи позволяет выбирать рациональные рабочие программы при посадке на поверхностьЛуны. В реальных условиях на спускаемый аппарат действуют различные возмущения, которые не позволят осуществить мягкую посадку с выбранной поначальным условиям программой маневра.
Поэтому первоначально выбраннаяпрограмма полета должна корректироваться в процессе движения. Более того,от оптимальной программы полета иногда приходится частично отступать почисто техническим причинам. Например, чтобы уменьшить ошибки, связанныес выключением двигателя большой тяги, целесообразно в конце траектории дросселировать величину тяги, хотя это и нерационально с точки зрения расхода топлива.Могут существовать и другие ограничения на траекторию спуска.
Так, при подлетек месту посадки аппарат должен быть ориентирован определенным образом, чтобыкосмонавты могли визуально наблюдать площадку, где планируется прилунение,чтобы антенны радиовысотомера не затенялись корпусом аппарата и т. п.В качестве примера обсудим программу управления вектором тяги при спускелунного экспедиционного отсека (ЛЭО) по программе «Аполлон».6.6.2. Посадка на Луну по программе «Аполлон».
Базовая круговая селеноцентрическая орбита имеет высоту около 111 км [6.26]. После разделения ЛЭОм основного блока включается двигательная установка посадочной ступени дляторможения скорости на ∼ 23 м/с и перевода ЛЭО на эллиптическую траекториюс высотой периселения 15 км и высотой апоселения 111 км. Скорость в периселении составляет 1 694 м/с, а дальность по поверхности Луны от точки под периселением до точки посадки достигает ∼ 480 км. Когда ЛЭО находится в периселении(момент времени T), вторично включается двигательная установка посадочнойступени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
