Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Вычитая почленно уравнение (3,191) из уравнения(3.190),получаем Исключим теперь нз последнего уравнения гравитационное ускорение с помощью формулы (3.194). В результате приходим к уравнению, 348 (3.195) уда вытекает доказываемое уравнение (3.186). Лроанализируем уравнение (3.186), представляющее собой линейное ~ференциальное уравнение относительно вектора дополнительной рости. Данное уравнение позволяет рассчитывать текущие значения тора дополнительной скорости, причем без нахождения самой 5уемой скорости.
Для>того следует интегрировать данное уравнение ,альном масштабе времени с соответствующим начальным условием й), определяемым начальныьш и терминальными условиями .едения. Для интегрирования уравнения необходимо располагать ультатами измерений вектора кажущегося ускорения ракеты и 'уорыацией о значениях элементов матрицы Д в текущих точках екториидвижения, Ввиду практической н ело>можносги рассчитывать менты матрицы Д непосредственно в ходе полета ракеты данная ;ача должна быть решена заблаговременно перед пуском ракеты и ейные об элементах матрицы Д должны быть введены в память >товой СУ в составе полетного задания.
Интересная особенность уравнения (3.186) состоит в том, что оио не 1ержит вектора гравитационного ускорения. Это создает обманчивое гчатление независимости задачи расчета дополнительной скорости модели гравитационного поля. На самом дезе информация о модели >внтационного поля отражена в элементах матрицы Д. Другой вжкной особенностью уравнения (3.186) является то, что хотя :тор дополнительной скорости определен в действительных парамегслвижения,для решения данного уравнения нужна информация только кажущемся ускорении ракеты. Таким образом, метод требуемой >рости в варианте Д-системы не нуждается в нахождении действитель!х параметров движения и в интегрировании основного уравнения ерциальной навигации.
Обратимся теперь непосредственна к задаче наведения, решаемой с мощью уравнения (3.! 86). Рассмотрим вопрос определения програм~ых углов тангажа и рыскания. Поскольку данными углами определя. гся направлениевектора кажущегося ускорения Й',то вопрос сводится >пределению направления этого вектора. Очевидно, что вектор Й' слелует направить гак, чтобы обеспечивалось >еньшенне модуля дополнительной скорости и сведение ее к нулю. словием уменьшения молуля дополнительной скорости является 349 отрицательность его производной: 1' < О, Р' = — ~Г~! (3.19б) 4.
Установим связь между величиной 1; и направлением вектора И'. Предварительно заметим, что справедливо выражение: я (3.197) где в числителе стоит скалярное произведение соответствующих В векторов. Подставим в формулу (3.197) выражение для Р, из уравнения (3.18б), В результате получим 3. Ь е, — И'ея. (3.198) В последнем выражении вектор е„есть единичный орг вектора 1;. Кроме того, введено обозначение: Ь = -аг~.
(3.199) Выражение (3.198) показывает, что отрицательность модуля дополнительной скорости будет обеспечена,если выполнено неравенство 1Ре >Ь е, (3,200) 350 т.е. если проекция вектора И' на направление вектора дополнительной скорости превышает проекцию на это направление вектора Ь. Неравенство (3200) проиллюстрировано на рнс. 3.27, где показано, что допустимые направления вектора Й, при которых выполнено условие (3.196), ограничены углом ЛЗВ, Среди допустимых направлений вектора ~' целесообразно выбрать энергетически оптимальное по критерию лшнимума расхода топлива при Рис. З.ЗВ.
Орнеитнпив ускоренна )р' прн упрввпении па векторному яроиввезеинто уду, допустимые непреве ение ускове. авлении движением ракеты иа АУТ или, что эквивалентно, по терию минимума времени, потребного на сведение модуля дополниьной скорости к нулю. С этой целью авторами метода требуемой рости предложено выбирать направление вектора Й'таким образомт бы вектор р' был противоположен по направлению вектору ~; с.3.28), Поскольку данное условие может быть сформулнровано как :енсгво нулю векторного произведения: $~„х Р' = О, (3.201) ит з американской литературе способ определения направления вектора условия (3.20!) получил название "управление по векторному произзенню".
1.3. Анализ оптимальности управления при наведении методу требуемом скорости 351 Как показывает анализ, управление по векторному произведению не ляется строго оптимальным по расходу топлива и дает лишь некоторое иближенне к энергетически оптимальному управлению. Однако для х„= х+ У,"(Т- г); (3.202) яя г )г (Т г) ° где Т-заданное время полета. В соответствии с общей Формулой (3.187) получаем, что матрица Д имеет следующий вид: Д=- — Е, 1 Т- й (3.203) где Е- единичная матрица З.го порядка. Как видим, в данном случае матрица Д пропорциональна единичной матрице, поэтому вектор Ь направлен по вектору дополнительной скорости г;, вследствие чего и вектор и', определя.мый условием (3.20 1), также направлен по вектору дополнительной скорости. Покажем, что такое направление вектора й~ оптимально по условию минимума расхода топлива при наведении БР. С этой целью обратимся к уравнению (3 186) и умножим его обе части скалярно на вектор ьч,.
В результате с учетом (3.203) получим -"и„' = 2 из - 21й'Г„') Перепишем зто выражение в виде (3.204) модели движения в однородном поле данное управление строго оптимально при условии, что в качестве дополнительного терминального условия наведения задано полное время полета ГЧ. Проверка данного обстоятельства может быть проведена путем следующих несложных выкладок (см. 1б)). Рассчитаеи матрицу Ддля случая движения БР и ГЧ в однородном гравитационном поле при терминальных условиях наведения (3.180) и (3 182). Связь между телущи ми параметра ми движения, терминальными условиями и компонентамн вектора требуемой скорости описывается выражениями: (т- г) — 'и„= газ — гЯ ч,дат — с) ~ проинтегрируем обе части данного равенства от текущего момента зремени ло копна ЛУТ, т.е. до момента обнуления дополнительной :корости: с рт- )арз = „)'[2из - 2(й )7)(7 - г)],(,.
(3.205) ! Интеграл слева вычислим по частям и с учетом $;0,) = 0 получим ~(т- с)Н„' = -(7'- г)Р'з ° ~и„-'(.. (3.206) Далее из выражений (3.205) и (3.206) получаем равенство: (т- ~)из = ~[2(т- г)[й'Р.)- ф;. (3.107) 353 Ф Слева в (3.207) стоит величина. не зависящая от закона изменения направления вектора Й'. Поэтому интервал интегрирования справа будет минимален (и, следовательно, будет минимален расход топлива) при максимальности подынтегрального выражения,т.е. в случае, если вектор ~ьч направлен по вектору допачнительной скорости. Но именно это направление вектора 6' обеспечивается, как зто было показано, управлением по векторному произведению при движении в однородном поле.
В дополнение к сказанному отметим, что в рассматриваемых условиях лвижения направление векторов Й' и $; остается неизменным в течение всего времени полета на ЛУГ и совпадает с направлением вектора требуемой скорости в начальный момент времени, когда начальная скорость ракеты равна нулю. Слеловатеяьно, прн движении в однородном поле метод наведения формирует программу управления с постоянным углом тангажа, что согласуется с полученным в п, 3.3.2 (3.208) Через еж обозначим единичный орт вектора 1г, Исходное уравнение для определения вектора е„.
имеет в соответствии с формулой (3.201) вид: е х (уЬ - Фе~,) О. (3.209) Разрешим данное уравнение относительно вектора е . С этой целью умножим его векторно слева на е„, е, х е х (уЬ - )лл~ея,) = О, (3.210) и преобразуем двойное векторное произведение по известной формул~ заключением. что оптимальный угол тангажа при наведении в однород. ном поле при дополиительнок| краевом условии Т= Т"' постоянен. Зал|етим, что этот вывод справедлив только при использовании в качестве дополнительного терл|ииального условия наведения полного времени полета, вследствие чего матрица Д имеет вид (3.203).
Читатель может проверить самостоятельно, что при терминальном условии (3.183) матрица Д для модели однородного поля имеет более сложный вид, иеднагональна и несимметрична. Вследствие этого направление вектора Ь отлично от направления вектора дополнительной скорости и проведенные выше рассуждения несправедливы. Итак, в общем случае управление по векторному произведению не является оптимальным по расходу топлива. Энергетические показатели данного метода управления можно улучшить путем введения в алгоритм метода специального параметра управления, с помощью которого к|ожно воздействовать на направление вектора |т (см. [э)).
Рассмотрил| способ введеиияпараметрауправления иодновременнополучимвыражениедля расчета требуемого направления вектора Й'. Обозначим параметр управления у и введем его как коэффициент при векторе Ь. Выбором параметра управления в пределах от О до! можно соответствующим образом изменять ллину вектора Ь. Таким образом, производную вектора дополнительной скорости будем определять по форл|уле (3.21 1) а х (Ь х ~~ = Ь(а с) - с(а -Ь). ;рывая скобки в (3.210), получаем «(ед(ед Ь) Ь) И (ед(ед ся) Я О (3.212) 1 ея,х тЬе (е ея,)- т(е.Ы!е~. 2ля исключения из последнего уравнения произведения е, еж ожиы зто уравнение скалярно на вектор еял 1 " т (ее..Ь) (е„еж)з - т (е .Ь)(е„ея,).
(3 213) И' " И' нае того, уыножиы уравнение (3.2! 2) скалярно иа вектор Ь: (ея, Ь) " т Ьз + (ед ея,)(с„Ь) - -У-(е "Ь)з, И ' "' И' зставим найденное выражение в (3.213), в результате чего получим тз з 1 = т Ьз ч (е, е„,)з — -( — (е ° Ь)з, :уда находим (3.2!4) (е„ея,) = .сь перед радикалом следует брать "+", так как е, е,„> О.
$!з формул 212) и (3214) получасы: еи, = — (тЬ !!с ); Ф (3215) - т(е, Ь). 355 Таким образом, голучены явные выражения лля расчета единичного вектора е„., определяющего направление вектора тяги ДУ и пролольной оси ракеты. Определив компоненты вектора е„, в абсолютной стартовой системе координат, нетрудно рассчитать далее программные значения углов тангахса и рыскшшя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
