Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Для иллюстрации свойства незамкнутости уравнений движения конкретным примероь1 рассмотрим один из упрощенных вариантов уравнений движения, описывающих полет ракеты за пределалщ земной атмосферы при допущении, что поле силы притяжения Земли является центральным. Проектируя правые н левые части уравнений (! .38) и (1.39) иа оси абсолютной стартовой системы координат, получим следующую систему дифференциальных уравнений (индекс "а" в обозначении абсолютной скорости здесь опущен): 1сй/ И~, х Р'„'созб,созф - Ь вЂ”, 'т~ (ай!И; . у+ Л, )У = — 'з!пб я ~ е, 1 т !и~ И', Р. = - со50~5щф~ — Ье —, Ж х= у;, (1.49) И В данных уравнениях использовано выражение (! .28) для силы тяги ракетного двигателя в пустоте, через О, и ф~ обозначены углы тангажа и рыскания, й,- радиус Земли, г- расстояние от центра Земли до ракеты.
Параметрами управления здесь являются углы тангажа и рыскания, а также секундный расход массы 1и>1. В совокупности эти параметры определяют величину и направление тяги ДУ, представляющей собой управляющую силу, Для замыкания дифференциальных уравнений, описывающих управляемый полет ракеты, необходимо доопределить параметры управления.
Доопределеиие состоит в том, что выбираются так называемые ргрограииы управления, т.е. такие законы изменения параметров управления во времени, при которых обеспечивается полет ракеты по желаемой (гак называемой, требуемой) траектории. Принципы формирования программ управления и реализации их в полете с помощью системы управления рассматриваются в последующих разделах. Если в уравнениях (1.49) положить 1т1 = 0 (подразумевается, что тяга ДУ обнул«на), то получим уравнения движения на внеатмосферном пассивном > частке траектории: у Я, — у= )г о В у1 г' (1.50) Данные уравнения описывают движение ГЧ в рамках так называемой кеипероеой ске.иы.
Это название озражает то обстоятельство, что в небесной механике уравнения (1.50) определяют законы движения небесных тел, известные как законы Кеплера. Очевидно, что системадифференциальных уравнений(1.50)замкнута. Это означает, что движение центра масс летательного аппарата не зависит от его вращательного движения, а сам ЛЛ может рассматривать» ся в качестве материальной точки единичной массы. Замечательная особенность уравнений движения в центральном поле состоит в том, что оии поддаются интегрированию в общем аналитическом виде.
Полная система интегралов данных уравнений хорошо известна в небесной механике и в теории полета ЛЛ (иитегралы площадей и энергии, интеграл Далласа, уравнение Кеплера). На основе этих интегралов под»чают конечные аналитические зависимости (см. (31, 1301), известные как формулы кеплеровой теории, позволяющие рассчитать траекторию Д~л и параметры его движения (скорость, высоту, дальность и время полета), вычислить баллистические производные и решить многие другие задачи теории полета.
Формулы кеплеровой теории находят широкое применение в алгоритмах управления движением ракет. головных частей и космических аппаратов. Урпвнения врпи1шл1евьнога движения ракеты Уравнения вращательного движения ЛА как твердого тела состоят подобно уравнениям движения центра масс из двух групп уравненийдгиилмических и кюлеманялчеслил; Динамические уравнения описывают изменение угловой скорости тела под дейспзием прилаженных лломентав, Кинематические уравнения описывают изменение пространственной ориентации тела вследствие его вращения с угловой скоростью, закон изменения которой определяется динал~ическиллн уравнениями, При составлении динимическллт уравнений вращательного движения исходят из уравнения, отражающего формулировку обшей теоремы механики аа изллеиенил1 момента количества движения (кинетического момента) материальной системы: ЫК вЂ” ЕИ„ (1.5!) дг где К - вектор кинетического момента, ЕМ, - сумма приложенных моментов.
Применительно к материальной системе переменной массы данное уравнение сохраняет свой вид, если к придоженнылл люл|ентам добавляют моменты от реактивных сил, которые при описании движения ракет учитываются как моменты, создаваемые газадиналшческнми органами управления. В отдельных случаях рассматриваются также кориолисовы моменты, возникающие при движении масс внутри корпуса ракеты (движение топлива по тр»бопровадам и газообразнь.х продуктов ега сгорания через сопла двигательной установки).
В большинстве случаев зти люоменты, как правило, существенно меньше управляющих моментов. поэтому нх не включают в число основных действующих фал торов, однако при необходилюсти учитывают в качестве в азлл»щений. Итак, полагая, что иа ракету в общем случае действуют азроданалим чгскне моменты (включая статический азродлинал1ическилй момент и 85 демпфирующий момент), а также моменты от органов управления, запишем уравнение (1.5!) в вице: (!.52) Вектор кинетического ьюмента твердого теда выражается, как известно, через его моменты инерции, которью вычисляются в связанной системе координат.
С другой стороны, и действующие моменты удобно выражать в проекциях на связанные оси. Поэтому динамические уравнения вращательного движения также записываются в этой системе координат. Связанная система коорпииат не является инерциальной и вместе с ЛА вращается с абсолютной угловой скоростью !«. Поэтому для вычисления проекций полной производной — на связанные оси следует - Ы)з «!! выразить ее как сумму локальной и врашате эьной произаолных: — — «(Й«К), (1.53) после чего уравнение (1.52) приобретает вид: < - 1 ««« (ьэхК) М М + М дК - «« !!'г (! .54) « «! «! ( у! «!) у! «! «! «! «! «р~ «и Ь у«! ы«! " (2«! '1у ! ) !"«! !!«! «!«! !««!«! «!«! «!«! 4« Проектируя оое части уравнения (1.54) на оа! связанной системы координат и учитывая формулы (1.24), (! .25) и (1.34) дпя действующих моментов, получаем динамические уравнения враша тельного движения, которысв механике получили иазваниедииамическихуравнений Эйлера.
Приведем олин из наиболее употребительных вариантов этих уравнений, записанных в предположении, что оси связанной системы координат являются главными центральными осями инерции ЛА; Здесь ы„), ы и ие) - компоненты вектора абсолютной угловой скорости ЛА в проекциях на связанные оси;1„),1.),.)е) — осевые моменты инерции )) 1А. Данные уравнения весьма точно описывают динамику вращательного движения ЛА в виде твердого тела постоянной массы, в частности, головной части. Эти уравнения могут быть применены также к исследованию вращательного движения ракеты на активном участке траектории с перемениылш моментами инерции, изменение которых во времени обусловлено выработкой запаса топлива. Однако в приведенном виде уравнения (1,55) являются приближенными, так как в них опущены члены, учитывающие скорости изменения люмеитов инерции, т.е.
Вепичины)»)У» Кинеыатические уравнения л)огут быть записаны в различной форме в зависимости от того, какие параметры выбраны для описания пространственной ориентации ЛА как твердого тела. В механике известны и находят широкое применение различные совокупности параметров ориентацию угловые величины (классические углы Эйлера или другие совокупности трех независимых углов), элементы матриц направляющих косинусов, параметры Родрнга-Гамильтона, являвшиеся коьспоиентами квантернионов, Обзор перечисленных параметров ориентации и вывод соответствующих кинел)атических уравнений дан в Приложении 3.
На практике выбор тех или иных параметров ориентации осушествпяется в зависимости от особенностей объектов управления и специфики решаемых задач. При записи уравнений движения ракет в качестве параметров ориентации чаще всего используются так называемые головки)ныеугяыугяы тангажа, рыскания и вращения. Это объясняется тем, что именно в этих параметрах удобно задавать программы управления движением ракет на АУТ.
В указанных переменных кинеыатнческне уравнения имеют вид: 1) ~ и,)в!пу) - ы»)сову)» (1.56) (ы )сову) - ы. в1пу)) 1 сосо ) — тйй)(ы ) сову) - )еымпу)) Эти уравнения носят название кинематических уравнений Эйлера. 'Уы~"ы = 67 ~ Уы)ыу~ "~я~ ~ 1 1 ( ы 'Гы)ыы ы~ уы"'~ ~ = Р" ~ 'ту~)ьуыьу.~' (1.57) Совместно с кинематическими уравнениялш (1.56) уравнения (1.57) образуют замкнутую систему дифференциальных уравнений и могут исследоваться независимо от уравнений поступательного движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
