Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Наиболее простой вид дифференциальные уравнения относительного движения имеют в декартовой системе координат. В практике расчетов сближения чаше всего применяются орбитальная и инерциальная относительные системы координат. В этих системах первые две оси лежат в плоскости орбиты, третья ось — нормально плоскости орбиты и дополняет систему до правой. В орбитальной системе координат (ОСК) (рис. (6.
8) ось д направлена по радиусу- вектору К проходящему из центра притяжения через начало относительной системы координат. Ось х ей перпендикулярна и бывает направлена в сторону вектора переносной скорости (полетная система координат) или против него (кинетическая система координат). Направляющие орты орбитальной системы координат записываются через вектор )г и вектор угловой скорости ы начала координат относительно центра притяжения: х )7 ! х)7! Р И! Верхний знак перед м соответствует полетной системе, а нижний знак — кинетической. Инерциальная относительная система координат ($, П, Ь) совпадает по направлению осей с орбитальной в принятый начальный момент времени. Ориентация осей относительно инерциального пространства неизменна и характеризуется углом Ф между одной из осей, лежащих в плоскости опорной орбиты, и текущим радиусом-вектором )7» начала координат.
Если пренебречь несферичиостью поля тяготения планеты, взаимным притяжением объектов и другими возмущающими факторами высоких порядков малости, то дифференциальные уравнения относительного движения запишутся: — в кинетической орбитальной системе координат пзх Пу Г (» 1 вм — — 2м — -(- [ — — мх~ х — — У = — Рх; ,112,11 ( Дз ~ П1 »гу и'х ( (» ) пм (»Я и +2м + ~ — мз~ У+ х==Ра — з + а12 ) )73 1 )70 )70 пзл па — + — =Р п1 7(з где )7» — расстояние до начала координат из центра притяжения; Я вЂ” расстояние от центра притяжения до движущейся точки; — в инерциальной относительной системе координат в случае, когда вектор К проходит через перигей опорной орбиты при 1=0 я ~(/~о и 'з .
ич — — — — ( Ф+ — =Р' »(гз ~ Рз 7(з ) )7з (' (р)го (' (»т) 812 ~ з )70 2) — — — — соаФ+ = Р„; рз ч пз( (»ь" — + — = Р П(з 77з с* где я, тв ь — координаты движущейся точки, совпадающие в момент прохождения началом координат перигея с координатами орбитальной системы координат (х, у, х), соответственно; Ры Р„Рс — компоненты возмущающего (управляющего) ускорения 478 И~о р В этих уравнениях величина — — — тесть разность ускорения силы тяжести в //з РЧ рс точках расположения объектов; члены —, —, — характеризуют главным образом Рз' Хз' Рз разницу в направлении ускорения силы тяжести. Для отклонений между объектами, значительно меньших расстояния до общего центра притяжения, уравнения линеаризуются.
Для орбит с малым эксцентриситетом (е(0,01) величина — ш сопя!. оз о Тогда приведенные выше уравнения принимают еще более простой вид и допускают решение в замкнутом виде в элементарных функциях. Так, линеаризованные дифференциа.чьиые уравнения относительного движения в полетной орбитальной системе коорди- нат ч/эх ч//2 ч/зу ч//2 ч/2 я + ч//2 ч/у 2ш — .=- Р; ч// ч/х 2ш — — Зш2у .=- Ру! ч// шзл=Р, имеют для случая постоянной тяги реактивных двигателей следующие интегралы, за- писанные в виде, разрешенном относительно начальных отклонений. Рис. !6.
9 Траектории относительного движения При неизменной ориентации возмушакпцего ускорения с осями орбитальной систе- мы координат =-М " +Р,Я. При неизменной ориентации возмущающего ускорения с осями инерциальной относительной системы координат ==- М вЂ” + Р, !Р!. г гя Здесь, — — соответственно текущий и начальный вектор-столбец кинематнчег'э ски х отклонений координат г(х, у, з) и скорости о (х, у, з); )Р|.— вектор-столбец начальных компонент аозмущаюпчего ускорения; М вЂ” матрица размерности 6)(6, /4 ч 2 1 6(з|пш/ — ш/) О ( я!п ш/ — 3/~ — — (! — соя ш/) О 2 ( ! — соз ш/) 1 ячп ьч/ О (4 — 3 соз ш/) — з!п ьу О О О соя ш/ Π— бш (1 — соя ш/) О Зш з!п ш/ ΠΠ— 2 з!п ш/ 4 соя ш! — 3 2 з!и ш/ О соз ш/ Π— ш ейп ш/ соя ш / 479 Р, Є— матрицы размерности 62(З 1 Г 3 1 2 — 4(1 — соз шт) — — ш222 — ( юп шт — шт) ш2 2 ) ш2 2 — — ( сбп ш( — от) ш2 1 (1 — соз шт) ш2 О 1 — (1 — соз ше) ш2 О' 2 — (соз шт — 1) ш 1 — (4 юп ш! — Зш!] Ро =- 2 — (1 — соз ше) ш 1 — айп Г 1 з1п шт 3 (Зш! з!п ш( — 5(1 — соз ш!)] — (ш! — 2 з!п шт + ш! соз шт) ш2 2 / 3 — ~ соз ш! — 1 + — ше яп ш() О шз~ 4 (з|п ш! — ш(соз оу) 1 — (1 — созш!) ш2 3 — (! — сов шт + шг и! п шт) ш (Зшт соз шт — 2 юп шт) Π— (Зшт соз шт — з)п шс) 2ш ше з!и ше 1 — з1п ше О т — текущее время полета.
Уравнения относительной траектории пассивного полета в орбитальной системе координат можно представить также в следующем виде: 2 2 х =-. — е з!п (шеи ш,„+ ше) — ЗС2 + ] Хо — — уо ) е 2 у соз (шту шох+шт) + С; ш ш л = 7шох з'" (шел о+ ше] !ло! ло хо шшох = 1 г хо+( — ) ше =- агсейп — = — агссоз ш а-о шшох ш тшох где — скорость векового движения Зс = — 3 (х + 2шу) =-. 3 (хо+ 2шуо). 480 Остальные обозначения ясны из нижеследующих формул.
Из этих уравнений видно, что относительное движение в плоскости опорной орбиты является движением по эллипсу с отношением полуосей 2, центр которого перемещается со скоростью ЗС из начального положения — — «,), — с. На рис. !6. 9 приведены траехтории такого движения при различных направлениях начального вектора скорости и нулевых начальных отклонениях по координатам. В траектории пассивного относительного движения можно выделить инварианты относительно времени полета: — эквивалент эксцентриситета относительной траектории е:= 1 У2+ (2х+ Зшу)з == ~/ уоз+ (2хо+ Зшу„)2; Уравнение продольного относительного смещения 2у— 11ентральный угол до характерных делить по следующим формулам.
— до экстремальной высоты шге ша»= Агседп у е г) а!пи сов ш1е „„„= з)пп12х+ Зш ус),' — до точки возврата в продольном движении 3 с штвозвр = х агссоэ + ште ша»~ 2 е до момента равных высот с 1 шбе о = х аггсоз (2 — ! + шбе ша»' е ! до пересечения плоскости опорной орбиты и шг»-о = (з1дп а + а)дна) — — агсгпш —. 2 — до экстремального удаления от плоскости опорной орбиты шт» ша» = агсгк ша Для эллиптической опорной орбиты в качестве параметрических уравнений относительного движения в линеаризированной постановке удобно использовать выражения частных производных отклонений кинематнческих параметров в искомый момент по отклонениям в заданный момент.
Используя для этой цели полученные в работах [14, 15] матрицы изохронных производных = '11и д,а следует иметь в виду, что фигурируюнгая в них разность абсолютных скоростей КА 1ЛУ) не является относительной скоростью в орбитальной системе координат. Последняя находится из выражения Оо=ЬУа+шХ При решении некоторых задач сближения, автономной навигации и при обработке результатов измерений с малой избыточностью бывают полезны некоторые соотношения, вытекающие из свойств матрицы изохронных производных.
В частности, координаты отклонений между объектами в орбитальной системе координат, взятые в фиксированные моменты времени гс индексами», ), й в порядке возрастания времени), удовлетворяют соотношению иг; + тг + йга =- 101. Элементы матриц и, т, й могут быть найдены из выражений и = — ))ет — »ггаЬ,.„тат (); т = ))суа — а) Ь.;~ ауД; й = ((аувб,—.аг — агабф~. Эквивалентные системы уравнений дают также или Индексы в обозначениях подматрип матрицы изохронных производных гсогласно а .
Ьг ) т равенству М„,. = указывают, что они определены на интервале между ,;,~) 481 16 3669 и = ))еп — «г ьг агД т = ))а .Ь, г+Ь.д'аув11 й = — ))б;~~')) шх =- йуо — шхо + Зсшт . точек на относительной траектории можно опре- п = )~б, гаг — б а~агД т = — ))б, ~)) б = )~б — „,'~~ этими моментами. Скоростные и смешанные соотношения подобного типа не приводятся, поскольку они в практике мевее употребнтельны из-за большего влияния аппаратурных и методических погрешностей на точность решения. Следует также иметь в виду, что при больших расстояниях между объектами по дуге орбиты методические погрешности определения относительного положения космических аппаратов по линеаризированным уравнениям относительного движения существенно уменьшаются, если координаты х, у, а уравнений при переходах считать криволинейными координатами, т.
е. х — отклонение по дуге орбиты (Л1); у — превышение объекта иап координатной поверхностью, образованной поворотом опорной орбиты относительно линии узлов орбит (Ь)г); г — боковое отклонение по дуге координатной поверхности, нормальной плоскости опорной орбиты (Ьп). Значения производных х, у, х следует определять по значениям относительных координат в двух точках траектории по формулам на стр. 485. 163. АВТОНОМНОЕ СЕЛ НЖЕННЕ Под автономным сближением понимается сближение космических аппаратов, находящихся на близких орбитах, осуществляемое с помощью только бортовых измерительных и исполнительных средств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
