Астрономический календарь. Постоянная часть (1981) (1246623), страница 114

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 114)

Простейшим типом таких формул являются алгебраические полиномы, так как в них подлежат определению коэффициенты, а всякий алгебраический полипом представляет линейную функцию своих коэффициентов. Приведем примеры формул, легко приводящихся к линейному относительно параметров виду. Атмосферная рефракция на разных высотах светила над горизонтом может быть приближенно представлена формулой вида й ь+~яь ' где а и Ь вЂ” параметры, подлежащие определению по сведениям о величине рефракции при ряде значений 6. Формула нелинейна относительно Ь; если освободиться от знаменателя, получим: а — ЙЬ = Р!йй, я формула превращается в линейную относительно вараметров. Второй пример: пусть рассматривается явление непрерывного роста или убывания, для которого следует взять формулу, содержащую показательную функцию х = ае~'! а ней а и Ь вЂ” параметры, е — основание натуральных логарифмов.

Формула нелннейна относительно параметра Ь. Логарифмируем равенство по основанию 10: 1й х = 1й а + Ь! !я е. Обозначям !па = и, Ь |де = !), !ах = В, где а и )) — новые параметры, а т! — новая функция. Получаем формулу В=а+р! линейную относительно параметров сс и р и для функции т!. Определив по наблюдениям числа а и !), перейдем к начальному виду формулы потенцированием. Оба примера показывают, что не всегда следует искать приближенные формулы непосредственно для наблюдаемых величин. В нервом примере естественный аргумент 6 заменен его функцией !й Ь. Во втором примере вместо функции х берется В = 1И х.

Определенных правил для подбора эмпирических формул не может быть. Можно дать только некоторые общие указания. !) Если речь идет о функции х одного аргумента 1, т. е. даны числа х„х„..., х„, то выбирают оси прямоугольных координат (1, х) и строят по точкам график, который даст общее представление о возможном виде графика искомой функциональной зависимости. В дополнение к этому строят еще два-три графика не для самих ! н х, а для некоторых их функций, например логарифмов или тригонометрических функций. По виду графиков можно попробовать выяснить, какой функцией лучше приближенно представить материал.

Если, например, можно наметить прямую, около которой группируются точки графика, то естественно попробовать подобрать линейную эмпирическую формулу. Если точки располагаются вдоль обеих осей координат, т. е. как бы группируются около равносторонней гиперболы, то, взяв зз основу уравнение такой гиперболы !х! = с) и добавив параметб34 ры, чтобы сделать уравнение более гибким, пробуют представить эмпирический материал функцией с х= а+ —. с -)- ь ' Эта формула легко приводится к линейной относительно параметров: Ьх — а1 — т+ ~х О, где т = аЬ + с.

После вычисления Ь, а, т легко вычислить и с. 'Если точки можно считать расположеннымн вдоль некоторой кривой, имеющей максимум, то в первую очередь пробуют представить материал параболой второго порядка: х = а + Ь1 + сР. Если представление будет признано недостаточно удовлетворительным, то можно попытаться повысить степень полииома. Сказанное относится одинаково как к графику, построенному по (й х), так и по функциям ~р (1) и ф (х). 2) Если ищется связь между функцией и несколькими аргументами, то графический способ подыскания вида функциональной связи не может быть использован. Приходится прибегать к косвенным физическим соображениям, чтобы получить вид функции.

Если, например, по физическим соображениям можно считать, что х есть периодическая функция 1 с периодом Р и зависит еще неизвестным способом от аргумента и, то можно попробовать функцию х = (а+ Ьи + си') з1п— 2и1 Р илн х = (а+ Ьи) з1п — + (с+ с1и) соз —, 2иС 2т а, Ь, с, Н вЂ” параметры, которые нужно найти по таблице значений функции и аргументов.

П 1. Определение значений параметров ампирнческой формулы. Как указано в и. 1, необходимо ввести соглашение о смысле понятий — хорошее приближение, наилучшее приближение и т. и. В основе лежит таблица результатов измерений значений функции х при разных значениях аргумента г, также полученных измерениями, Результаты измерений всегда содержат случайные ошибки, которыми по большей части нельзя пренебрегать. Из этого следует, что нет смысла пользоваться условием, введенным в $1, — так подбирать параметры приближающей фуняции 535 (коэффициенты цолинома в й 11, чтобы она точно представляла таблицу.

Достаточно, чтобы на графике кривая функцииональной зависимости проходила вблизи точек, изображающих наблюдения (в случае функции одного аргумента). Если исследуется функция нескольких аргументов, то совершенно достаточно, чтобы отклонения эмпирической функции от наблюдений не превышалн предельных погрешностей функции (если они известны или могут быть оценены). Можно еще сказать, что на графике каждая точка должна быть окружена небольшой областью, в которой могла бы оказаться наблюдаемая точка при несколько иной случайной комбинации причин, вызывающих случайные ошибки.

Если такие области возможно построить, то достаточно, чтобы кривая прошла через все области. В таком виде задача ие ставится. Обычно вводятся некоторые соглашения о способе вычисления параметров. В настоящее время чаще всего применяется способ наименьших квадратов. Если эмпирическая формула линейна относительно параметров (или может быть приведена к линейности простыми преобразованиями), то подстановка значений 1 и х, полученных из наблюдений, дает систему линейных условных уравнений для вычисления параметров.

Эта система решается по способу наименьших квадратов (см. 5 3, п. П1). Применение в задаче об эмпирических функциях принципа Лежандра в риде задач ие имеет вероятностного значения, а представляет просто соглашение о способе вычисления параметров. При вычислении параметров следует вычислить и их средние ошибки для того, чтобы можно было решить вопрос о числе знаков, которые можно считать надежными в параметрах. Если, например, для параметра а получили значение 3,487 ~ ~ 0,023, то ясно, что иет смысла сохранять в результате тысячные доли; следует принять а = 3,49 ~ 0,02.

Это означает, что сотые доли не совсем надежны. Весьма важно, чтобы были вычислены все остающиеся погрешности; это даст возможность оценить качество приближения и выявить ненадежные наблюдения. Порядок вычислений такой же, как в применении способа наименьших квадратов в теории ошибок. Если выбранная формула нелииейна относительно параметров, то необходимо привести систему условных уравнений к линейному виду способом, описанным в книге Б. М. Щиголева «Математическая обработка наблюдений».

!Ч. Проверка пригодности эмпирической формулы. После вычисления коэффициентов эмпирической формулы необходимо проверить, как формула представляет те наблюдения, из которых она выведена. Это значит, что нужно вычислить н е в я з к и всех условных уравнений, подставляя в них вычисленные значения коэффициентов.

536 Пусть строилась формула для функции х = х (г) или функции нескольких аргументов и есть возможность установить предельные погрешности измерения (илн вычисления) х. Если большинство невязок (остатков) по модулю меньше предельных погрешностей, а остальные незначительно превышают их, то эмпирическую формулу можно считать вполне удовлетворительной. Если модули почти всех невязок больше предельных погрешностей, остальные хотя и меньше, но мало отличаются, то эмпирическая формула явно неудовлетворительна. На практике редко бывают такие крайние случаи; кроме того, не всегда можно указать предельные погрешности.

В большинстве задач качество приближения с помощью эмпирической формулы оценивается вероятностными способами. Если условные уравнения, определяющие параметры формулы, можно считать равноточными, то достаточной суммарной характеристикой можно считать среднюю квадратичную ошибку измерения с весом единица. Если эта величина порядка возможных ошибок измерения значений функции, то приближение можно считать удовлетворительным.

Работа по построению хорошей эмпирической формулы иногда бывает длительной, так как в случае неудовлетворительного представления первой взятой формулой надо ее изменить илн усложнить, чтобы попытаться получить лучший результат. Если в результате такой работы удастся подобрать формулу, которая удовлетворительно представляет разный наблюдательный материал, то можно думать, что найдена приближенная закономерность в исследуемом явлении.

Один из известных примеров: зависимость период — светнмость у цефеид. $5. Корреляция Е Корреляционная связь между двумя величинами. Назовем статистической совокупностью собрание объектов, объединенных в группу по одним качественным или количественным признакам и отличающихся друг от друга по другим признакам.

Цель изучения статистических совокупностей — вывод числовых характеристик для них, которые можно было бы считать в какой-то степени характеризующими совокупность. В этом параграфе рассматриваются да у м е р н ы е совокупности, т. е. такие, в которых указаны значения двух величин, характеризующих свойства каждого из объектов совокупности. П р и и е р ы: а) иэ каталога элементов орбит малых планет выписаны только большие полуоси и эксцентриситеты; б) иэ каталога цефеид выписаны для каждой эвеэды период и светимость.

Характеристики

Список файлов книги