Астрономический календарь. Постоянная часть (1981) (1246623), страница 115
Текст из файла (страница 115)
В первом примере общее у всех объектов — то, что это малые планеты; они отличаются одна от другой величинами средних расЬ37 стоявнй а зксцентрнснтетов, Во втором примере общее — хзрактерныеаля цефенд крнвые блеска; отдельные авеааы отлвчыотся одна от другой разными колнчественнымн прнзнакзмв, аз которых отбнрают только ава: период и свети.
ность. Довольно часто в изучаемых двумерных еовокупностях те величины, зиачеяия которых даны в совокупности, обнаруживают связь, отличную от функциональной, которую можно назвать связью в среднем. Часто употребляется название корреляционная связь; говорят иногда, что рассматриваемые величины находятся в корреляции. Признаки корреляционной связи: а) если выписать разные значения каждой из величин, то всякому значению одной величины соответствует неопределенное количество значений другой (одному — два значения, другому— четыре, и т. д.); б) если вычислить средние значения одной величины, соответствующие разным значениям другой, то между этими числами может существовать связь, более илн менее близкая к функциональной связи.
Полем корреляции называется график, построенный следующим образом; выбирается прямоугольная система координат (и, о), где и и о — обозначения рассматриваемых величин; по каждой паре и„о, (я = 1, 2, ..., п — число пар) значений, взятых из каталога, строится точка. В обычных задачах поле корреляции представляет собрание точек, разбросанных более или менее беспорядочно. Одним крайним случаем можно считать расположение всех точек на некоторой кривой; это — случай вырождения корреляционной связи между величинами в точную функциональную связь. В действительности даже при наличии функциональной зависимости о только от и точного расположения точек поля на кривой не будет вследствие наличия случайных ошибок в результатах наблюдений. Другой крайний случай — средние значения одной величины не зависят от соответствукпцих значений другой.
В этом случае можно сказать, что никакой связи в среднем нет н точки поля корреляции разбросаны приблизительно равномерно. Построим на поле корреляции точки о координатами (ию бз), где бз — среднее из разных о, которые наблюдались вместе о из. Если все такие точки соединить отрезками прямых, то получится ломаная, представляющая приближенно зависимость средних о от и.
Эту ломаную можно условно назвать вмпирической линией регрессии. Если можно подобрать функцию, представляющую удовлетворительно указанную связь, то ее называют уравнением регрессии, а соответствующую линию — линией регрессии о по и (говорят также: и иа и). Аналогично можно построить эмпирическую регрессию и по о, т. е. зависимость средних и от соответствующих э. Яв Так как обычно ограннчивангхся исследованием линейкой корреляции, т. е.
представляют эмпирическую регрессию лннейной функцией, то нередко бываег, что нельзя нсследовать корреляцию непосредственно по наблюденным значениям величин, а придется попробовать подобрать функции заданных величий так, чтобы соответстнующне эмпирические ликии регрессии былй близки к прямым. В подобных случаях говорят, что сначала нужно решичь, что ~корреляроватьз, точнее, какие функции велнчнн нужно екоррелнроватьз, чтобы связь была близка к лннейной.
Задачи по теория корреляция: 1) Вывод уравнений регресснн заданного вида нз интервала наблюдений илн для функцнй наблюдавшихся велнчик. (Мы ограничимся линейнымн уравненнямн регрессии; нх будет два). 2) Вывод числового крнтерия для оценкн степени уклонения корреляционной связи от линейной (нбо рассматриваются линейные уравнения регрессии). И. Исследованне корреляцян прн небольшом числе наблюдений. 1. Ма те р и а л. Материалом является простой сннсок наблюдений, который не подвергается никакой подготовке, кроме, быть может, яекоторого смещения начала отсчета для одной илй обеих величин.
Зто делается в том случае, когда значения и и о — многозначные числа, меняющиеся в сравнительно небольшой области. Если, например, наблюдения значений и дали числа 373, 385, 403, 421, 435, то естественно вместо ннх временно для упрощения вычислений ввести числа х = и — иа, где и„> выбирается произвольно в где-нибудь около середины области. В нашем иллюстративном прнмере можно принять и, = 403. Материалом, с которым будут производиться вычисления, будут числа: ха(! — 30, — 18, О, +Ъ8, +32. Количество материала, при котором работают непосредственно с результатами наблюдений или функциями результатов наблюдений, не может быть определено по каким-нибудь обоснованным правилам. Практика показывает, что прн количестве наблюдений примерно до 50 нет смысла строить н обрабатывать таблицу, которая будет описана в и.
П1. Если количество наблюдений не превышает 50, то рекомендуется применять приемы, описанные в этом пункте. 2. Числовые характеристики совокупн о с т и д в у х в е л и ч и н. Над каждой нз двух величин производим такие же вычисления, какие в теории ошибок производились над результатами измерения одной определенной величины. Это значнт, что вычисляются средние значения по формулам Р3 ~~ ~иь х 1 и=— л в=~ б== л и средние квадратичные отклонения: 33 « 1 тч -т 1 тч а„= — х, (и! — й) = — ~ и! — й, л я « И а = Е(аь — а) = — Еа — а ° з 1 1 ! -! л э=! Разница с теорией ошибок в том, что в ней среднее значение было приближенным значением измеряемой определенной величины, а здесь это числовая характеристика случайной величины, при- ближенное значение математического ожидания.
Аналогично а„ и а, — не средние ошибки, а средние отклонения от среднего, т. е. тоже числовые характеристики распределения случайных величин и и а, рассматриваемых отдельно. В формулах для а„ и а, в знаменателе взято л, а не и — 1, как в теории ошибок, так как в рассматриваемой задаче л не мо- жет быть очень малым и практически безразлично, взять и или л — 1. Кроме этого, вычисляется величина, зависящая от значений обеих величин по формуле 1 л э-! или 1 «~ р„= — „1, и!и, — йй. !=1 После этого вычисляется «оэффициент «орреляции по формуле г~ им а„а. ' Коэффициент корреляции можно считать мерой уклонения корреляционной связи от линейной функциональной связи. Он может иметь значения от — 1 до +1. Значения — 1 и +1 будут в случае точной линейной зависимости между величинами.
Значение О означает отсутствие связи в том смысле, что среднее значение каждой величины не зависит от значений другой величины. Числа й, д, а„, а„и г представляют числовые характеристики совокупности двух величин и и а. П р и м е ч а н и е. Если вычисления велись с числами х = = и — и, и у = а — аа, то это нужно учесть только при вычислении средних: й=и,+х, а=а,+у На значения а„, а, и г перенос начала отсчета ие влияет. Значит, а„= о„, а„=а, и значение г получается одним и тем же по числам х, у или по числам и, а.
540 Коэффициент корреляции есть число от вл еч е н и ое, не зависящее ни от начала отсчета и и о, ни от единиц измерения. 3. Уравнения регрессии. Линейные уравнения регрессии имеют вид о — б =г — ' (и — й), и — й =г —" (о — б), а„ о, где о и и, стоящие в левых частях, представляют средние значе- ния о и и в зависимости от значений и и о соответственно. Поэ- тому уравнения регрессии можно писать и в другой форме1 б„— б г — '(и — й), й,-й=г — "(о-б), оа з где б„— среднее значение о в зависимости от и, аналогичный смысл имеет й,.
Уравнениями регрессии можно пользоваться как эмпирическими формулами для вычисления средних значений одной величины по значениям другой величины. Средние ошибки уравнений регрессии вычисляются по фор. мулам з, = о, 1/! — г', з„= о„)/1 — г'. Чем ближе 1г) к единице, тем меньше средние ошибки уравнений регрессии. 4.
П р имер. В книге Б. В. Кукаркина чИсследование строения и развязна звездных систем на основе изучения переменных звезда (Мл Гостехиздат, 1949) приведены сведения о периодах Р и абсолютных величинах М звезд типа Миры Кита. Материал уже отчасти обработан, как видно из таблицы значений, в которой шаг величины Р почти постоянный. Исследуем сначала корреляцию между Р и М. Имеем таблицу значений Р н М: хм — 105.9 — 13,6 30,00 Суммы 559 ! 2 3 4 5 6 7 8 9 1О 11 12 13 14 15 16 17 18 100 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 550 600 Для упрощения вычислений не только изменено начало отсчета величины Р, но еще ыэменеы масштаб. Введена величина л, связаыиая с Р равенством Р— 350 25 Значения М имеют маао зыаков, поэтому М не заменяется.
Вычисления: Д= — — -0,39; Р =350+26( — 0,39)=340! 13,6 з 30 з М = — — ' = — 0,76; ох! — — — — ( — 0,76) = 1,09; о = 1,04; 18 ' ' 18 о, = — — ( — 0,39) = 31,06 — О,!5 = 30,9! ох = 5»56! о = 5,56 25 = 139 з 559 Значения !»хх и г нычиоанм исходя нз значений к и М. Имеем ц= !8 105,9 о о =5,56 1,04=5,78; г= — '=0,96.
5,58 Для величин Р и М напишем уравнения регрессии. Регрессия М по Р! М -1- 0,76 = 0,96 — * (Р— 340) = 0,00722 (Р— 340) 1,04 или М =0,00726 Р— 3,23. Проверим это уравнение кля некоторых Р: Р ~ 100 200 ЗОО 400 М, 1 — 2,5О -1,78 — 1,05 — О,ЗЗ М~ —.М ° ! +0,4 — 0.2 +0.1 +0,3 500 +0,40 0,0 600 +1,!3 — 0,5 М означает М, аычисленяое по уравнению регресскв, М» — заданные значения М. Несмотря иа близость к единице коэффициента корреляции, представление связи между М н Р уравнением регрессыи нельзя считать очень хорошим.Отклоыения довольно велики и зиахи разностей между»наблюденными» и вычисленными значениями имеют систематический характер.
П1. Исследование корреляции при большом числе наблюдений. 1, Корреляционная таблица, Обозначим исследуемые величины буквами и и о. Находим в исследуемой новокупности наименьшее и наибольшее значения величины и; если зто многозначные числа, то первое число немного уменьшаем, а второе несколько увеличиваем, так чтобы границы области были числами с малым количеством значащих цифр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
