Астрономический календарь. Постоянная часть (1981) (1246623), страница 110
Текст из файла (страница 110)
П. Случайные велнчнны: дискретные н непрерывные. Е Распределение вероятностей. Если $— случайная дискретная величина, принимающая значения хм хз, ..., х., а ры рю ..., р„— их вероятности, то условимся этй данные записывать в виде таблицы, называемой таблицей распределения: ; ° 1 Рз Рз ° .. Рн. В первой строке должны быть записаны все возможные значения величины $. Если список значений полный, то сумма вероятностей равна единице.
П р н и е р 2. Выпущена лотерея в 100 бнлетов по 5 р. каждый; в ней 2 выигрыша по 50 р., 4 — по 25 р., 10 — по 1О р. Составить распределение вероят. настей выигрыша для обладателя одного билета, если стоимость билета включается в размер выигрыша: 45р. 20р.
5р. — 5р. 0.02 0,04 0,1 0,84 Из всех сумм выигрыша вычтена стоимость билета, чтобы иметь распределение вероятностей чистого выигрыша. Чтобы список значений был полным, 17 Астренемнеескнз календарь 513 необходимо включать и случай, когда белет яе вывгрыэаег, т.
е. выигрыы отри- цательный. Если $ — непрерывная случайная величина, то надо задать область ее значений и функцию распределения Р (х) илн плотность вероялигости Пх)- ~' ° ВР (х) Функция распределения определяется условием Р (х) = Р а С х), т. е. Р (х) равна вероятности того, что случайная величина примет значение меньшее, чем аргумент функции, Из определения выте- кают следующие свойства функции распределения: Р(х) О, если х ~ а, х<а Р(х)<1, если Ь)х)а, ~(х) =О, если или Р(х)=1, если хъЬ; х)Ь, где а и Ь вЂ” границы области, в которой $ — непрерывная слу- чайная величина — может принимать любое значение. 2.
Основная задача теории случайных в е л н ч и н. Основной задачей является вычисление вероятности того, что случайная величина примет какое-нибудь из своих значений в произвольной заданной области от а до р, Онаре- шается по-разному для дискретных и непрерывных величин. А. Если величина $ — дискретная, ее значения х„ х„...,х„ расположены в порядке возрастания и х~ г а и, кг ~ я, х,„ < р, х+,з р,то Р (а < $ < р) р~ + ргм + ° " + р т+ р, Б. В случае непрерывной величины з Р (а < 5 < р) Р (р) — Р (а) = ) г (х) дх. В ряде прикладных задач заданный интервал от а до () называют доверительным интервалом (а и р — доверительные границы), а вероятность попасть в доверительный интервал называется доверительной вероятностью.
Обычно ставятся задачи двух типов; а) задается доверительная вероятность (обычно близкая к единице), требуется вычислить доверительный интервал; б) обратная задача. З.Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Математическим оекиданием (средним значением) дискретной случайной величины назы- бИ вавтся сумма произведений значений величины на их вероятности. Е ($) = ~ рьхь.
Математическое ожидание произвольной функции ф ($) дискретной случайной величины определяется формулой Е(ф($)) = ~ ренар(хь). Математическое ожидание (среднее значение) непрерывной случайной величины вычисляется по формуле б ЕЯ) = ) х!(х) йх. О Пределы интеграции можно писать от — со до +ос, так как вне области ~ (х) = О. Математическое ожидание функции ьс (з) вычисляется по формуле ь Е (~р($)) = ) <р(х) !'(х) йх. а Математическое ожидание нередко называют центром распре- деления случайной величины. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения значений величины от ее мате- матического ожидания.
Определение пригодно и для дискретных, и для непрерывных величин, но способ вычисления зависит от вида величины. Если обозначить х = Е ф, то п РЯ) = ~„рь(хь — х)' — для дискретных и Ь-1 Р($) = ) (х — х)ь~(х) йх — длянепрерывных величин. Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из дисперсии.
Обозначается часто буквой о со значком, указывающим величину, или просто о, если рассматривается только одна величина! о! — а = 1ГР(5). 4.Свойства математического ожидания н д и с п е р о и и. Случайные величины называются взаимно независимыми, если вероятность всякого значения одной не зависит от значений других величин, !7б б!5 Математическое ожидание определенной (не случайной) величины равно ее 'значению. Дисперсия определенной величины равна нулю. Математическое ожидание алгебраической суммы величин равно такой же сумме их математических ожиданий.
Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Дисперсия линейной функции взаимно независимых случайных величин равна сумме произведений дисперсий составляющих величин иа квадраты их коэффициентов. Если и=а$+Ьт!+с, где а, Ь, с — определенные величины, а $ и т! — взаимно нева висимые случайные величины, то 0(и) =аЧЭ(9)+ Ьв):!(Ч) (0(с) = О). 5.
Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина $ называется равномерно распределенной в области от а до Ь, если плотность вероятности постоянна во всей области: Ь вЂ” о" ! Ь+а Ь вЂ” а Для такой величины х = — (середина области), о, = =. $~ Г2 Если за начало отсчета принять середину области и обозначить Ь вЂ” а а = —, то область значений величины будет заключена в пре! м делах от — а до +а, 1(х)= — „, х=0, о,= рРавномерное распределение обычно предполагают при рассмотрении случайных ошибок округлений; если есть совокупность округленных чисел с точностью до 0,005, то принимается, что точные ошибки чисел равномерно распределены в области от — 0,005 до +0,005. Равномерность распределения принимается также, например, при рассмотрении величины наклонения орбит совокупностй двойных звезд. П р и м е р 3.
Нанлоиения ! равномерно распределены в области от — 90 до +90'; требуется определить среднее аначение величины и = Мпе П а ,е! ! а= 5!Пе! — = — ° и 2 ' л и 516 6. Нормальное распределение. Непрерывная случайная величина $ называется нормально распределенной в области от — ьо до +оь, если плотность вероятности втой величины определяется формулой ы-рн 1 (х) — е 2а' где а и а — определенные числа. Говорят также, что закон распределения с плотностью вероятности 1 (х) есть закон нормального распределения.
Математическое ожидание такой величины равно а, дисперсия равна оз (значение а — среднее квадратичное отклонение). График плотности вероятности, называемый часто кривой Гаусса, имеет внд, изображенный на рнс. 194. Кривая Гаусса Рис. 194. крмвая Гаусса р парамеурамн а р, р ь имеет максимум при х а и две точки перегиба при х = а р- о; при х — — оо н прн х — +со кривая асимптотнчески стремится к оси х.
Для построения кривой Гаусса следует пользоваться таблицей функции (с. 618) Ф'(г) = =е з (табл. ХХ1Х). У2я По заданным а и а и разным х вычисляются г=, и тогда 1 (х) о Ф (е)' Основная задача для нормального распределении решается просто: Р( <В<В=Ф(~, ) — Ф(,'). 5!У 7вбаннв ХХ1Х ! Значения фуннянн Ф' (в) = в г' 2я Ф' (в] в г Ф' (в( Ф' (И Ф' (в> Значения функции Ф ( — ) задаются таблицей (табл.
ХХХ1 о с. 549), в которой аргумент функции обозначен г. При пользовании таблицей нужно учесть, что Ф ( — г) = — Ф (г). В частности, при а= — то+а, р=то+а и т~О имеем: Р ( — то< 9 — а < то') = 2Ф (т) = Р (! $ — а ! < то), а при г = т = 1 из таблиц получаем Р(16 — а! < о) =0,68; при т = 3 Р (~ 6 — а ) < Зо) = 0,9973 (вправила трех сигм>).
Н1. Основные положения теория случайных ошибок. 1. Виды ошибок измерений. а) Систематические. К систематическим относят ошибки, появляющиеся вследствие неточности инструментов илн присущие методу измерения. Они выявляются теорией инструментов, проверкой инструментами высокой точности, и либо определяется их величина (например, ошибки делений круга), либо оии исключаются надлежащей организацией наблюдений. Пример: исключение ошибки вксцентриситета измерительного круга поворотом его на 180 и вторичным измерением угла.
Действительное значение угла получается как среднее арифметическое обоих измерений, и ошибка от зксцентриситета исключается. Задача определения систематических ошибок нли их исключения рассматривается в практической астрономии. б) Случайные о!иибни.
Случайными называют ошибки, появляющиеся по случайным причинам, дакяцим при измерении от- 5!8 о,о о',1 од 0,З 0,4 О,'5 О,б О,7 0,8 О,9 1,О 0,899 0,397 0,391 О,'З81 0,368 0,352 0,ЗЗ3 0,312 О,'29О 0,'266 0,242 1,0 1',1 1,2 !',з 1,4 1,5 1,6 1,7 1,'8 1,9 2,0 0,242 0218 0,194 0,171 0',150 о,'!зо О,'111 0,094 О',079 0,'066 О',О54 2,О 2',1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,'8 з,'о 0,054 0',044 0,035 О,'О28 о,'а2 0,018 0,014 О,'Ого О,О08 О,'006 0,004 з,о з,! 3,2 з,з З,'4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 О,ОО4 О,0ОЗ о,оа о',оа О,0О! 0,'ОО! О',0О! 0,00(М О,'00ОЗ о',еоа О,'ООО1 клоненяя от точнык значений. Величины этих ошибок невозможно определять.
Наличие случайных ошибок проявляется в том, что неоднократные измерения одной и той же определенной вал»чины, выполненные в одинаковых условиях (одни прибор> одн» нвблюдвтель и т. п.), дают различные числа, хотя н довольно близкив. Весьма часто расхождения между разнымн значениями превоаходят те ошибки, которые могут быть следствием ограниченной точности измерительных приборов. Под «марией ошибок обычно подразумевают именно теорию случайных ошибок. в) Личные ошибки.
Опыт показывает, что измерения одной и той же определенной величины, выполненные в одинаковых условиях, но разными наблюдателями> дают несколько отличающиеся результаты в зависимости от физичеоких оеобенностей наблюдателя. Эти ошибки, в сущности, следует считать систематическими, но они изменяются случайным образом от наблюде. ния к наблюдению. г) Грубые ошибки. Наблюдения, содержащие грубые ошибки, выявляются при многократных измерениях определенной величины тем, что отдельные результаты измерений заметно отличаются от всех остальных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
