Астрономический календарь. Постоянная часть (1981) (1246623), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Для решения такой системы вводится условие — п р и н ц и п Л е ж а н д р а: если дана система равноточных условных уравнений, то неизвестные х, у, г определяются так, чпюбы сумма квадратов невязок была наименьшей. Условные уравнения равноточны, если равноточны измерения 1,, 1ы ..., 1„. Коэффициенты прн неизвестных, по предположению, не содержат случайных ошибок.
Если условные уравнения неравноточны, то нужно найти веса чисел 1,, 1м ..., 1„и умножить каждое условное уравнение на корень квадратный из его веса. К преобразованной системе можно применить принцип Лежандра. Операция умножения условных уравнений на корни квадратные нз их весов эквивалентна следующему видоизменению (обобщению) принципа Лежандра: если условные уравнения неравноточны и известны их веса, то неизвестные вычисляются так, чтобы сумма произведений квадратов невязок на соответствующие веса была наименьшей. Если случайные ошибки измерений 1„1„..., 1„подчиняются нормальному закону распределения, то применение принципа 'Лежандра (простого н обобщенного) дает н а и 6 о л ее в ероятные значения неизвестных.
2. Нормальные уравнения. Из принципа Лежандра вытекает следующая система уравнений, называемых нормальными„для определения неизвестных: а) Для равноточных условных уравнений: [аа ) х + [аЬ) у + [ас ! г + [а1) = О, [Ьа)х+ )ЬЬ[у+ [Ьс)г+ [Ь1) =О, [са! х + )сЬ) у + [сс! г + )с1) = О, где [аа] ~ ад, [аЬ] = ~; адЬд=(Ьа1, [ас] = Е адом д=! д 1 д=! л Л Ю [а1] = ~ ад]д=(1а], (ЬЬ] — ~ Ьд, (Ьс] = ~ Ьдсд. д ! д-! д 1 По таким правилам вычисляются все коэффициенты. б) Для неравноточиых условных уравнений: (раа ] х + 1раЬ ) у + 1рас1 г + (ра1 1 = О, (рЬа1х + (рЬИ у + 1рЬс] г + (рЬ11 = О, 1рса1х+ (рсЬ1у+ 1рсс]г+ (рс]1 = О.
и В этих уравнениях [раа] = ~ рдад, где рм р„..., р„— 2 д-! веса условных уравнений; аналогично вычисляютея и все другие коэффициенты. Обозначения для коэффициентов нормальных уравнений были введены Гауссом. Можно еформулировать следующее общее правило составле- ния нормальных уравнений.
'чтобы составить первое нормальное уравнение, нужно каждое условное уравнение умножить на его коеффи!(иент при первом неизвестном и на вео увловного уравнения и все преобразованные уравнения вложитьг Чтобы составить второе нормальное уравнение, нужно каждое условное уравнение умно- жить на его ковффид]иент при втором неизвестном и на вев и все преобразованные уравнения сложить. По аналогичным правилам составляются все нормальные уравнения. Если условные урав- нения равноточны, то вес каждого можно считать единицей и умножения на веса отпадают. Если выделить только коэффи- циенты при неизвестных, то получится квадратная числовая таблица, обладающая следующими свойствами; а) числа на главной диагонали (от верхнего левого числа до нижнего правого) положительны; б) таблица симметрична относительно главной диагонали! (]аЬ) = [Ьа), [Ьс) = [сЬ], [са] [ас1).
Эти свойства сохраняются при любом числе неиэвеетных. 3. Контроль составления нормальных уравнений. Рекомен- дуются следующие контрольные вычисления при составлении нормальных уравнений в случае равноточных условных уравнений. а) В каждом условном уравнении вычисляется сумма коэф- фициентов при неизвестных и свободного члена! а! + Ь! + с! + 1! = эд, а, + Ь, + с, + 1, = вд, а„+ Ь„+ с„+ 1„= е б25 б) Эти суммирования в свою очередь контролируются следующим способом: складываются все коэффициенты при каждом неизвестном, все свободные члены и все числа з; должно точно выполняться равенство [а) + [Ь) + [с)+ И = [з)> в котором [а] = а, + а, + "° + а„; аналогично раскрываются все остальные символы.
в) Вычисляются суммы произведений, л л л (аз! = Е а>зм [Ьз! ~ Ь,зм [сз] = ~ сззм >=1 >=> 4=1 г) Контроль правильности составления нормальных уравнений заключается в проверке тождеств: [аа1+ [аЬ1+ [ас]+ [а[! = [аз1, [Ьа!+ [ЬЬ) + [Ьс1+ [Ы] = [Ьз], [са!+ [сЬ) + [сс1+ [с1] = [сз]. Если назвать [аз1, [Ьз].... и т. д. первым, вторым и т. д. контрольными числами, то правило контроля формулируется так> сумма коэффициентов прн неизвестных н свободного члена в первом нормальном уравнении должна равняться первому контрольному числу, сумма коэффициентов и свободного члена второго нормального уравнения должна равняться второму контрольному числу, и т.
д, до' последнего нормального уравнения. 4, Решение йормальных уравнений по е п о с о б у Г а у о е а. Способом Гаусса называют обычно способ последовательного исключения неизвестных в том порядке, в каком они 'идут в нормальных уравнениях. Способ состоит из ряда операций, которые будут подробно описаны для уравнений с тремя неизвестными, но легко обобщаются и для уравнений с произвольным числом неизвестных.
а) Составляется первое уравнение исключения, в котором первое неизвестное выражает; я через остальные из первого нормального уравнения; получается: [аь! [ас] [а!1 х= — — у — — г — —. [аа] !аа1 !са] ' б) Это выражение подставляется в остальные нормальные уравнения> и получается первая промежуточная система, ие содержащая х> [ЬЫ ) у+ [Ьс! )г+ [Ы[] = О, [сЫ1у+ [сз1]з+ [з[1! ° 0> в которой [ЬЬ]1 = [ЬЬ! — ! и ], !Ьсц = 1ьс[ — [ь ]! 1 = [сЬП, [сс1) = [сс) — —, 1ас] !са] [аа] [аЬ! [ац [аа] [с!11 = [с[1 — —. [ас] [ац [аа] Промежуточная система обладает свойствами нормальной системы. Квадратная таблица, составленная из ее коэффициентов, имеет положительные числа на главной диагонали и симметрична относительно главной диагонали.
в) Составляется второе уравнение исключения, в котором второе неизвестное выражается через остальные из первого уравнения первой промежуточной системы, [ьсц [ыц у= — — ъ— 1ььц !ььц ' г) Выражение для у подставляется во все остальные (у нас в одно) уравнения первой промежуточной системы; получится вторая промежуточная система с числом неизвестных на дза меньше, чем их начальное число (в нашем елучае зто будет одно уравнение, содержащее только г). Получим: [сс2 ) з -[- [с[2 1 = О, где х, у, й. 5.
Оетающиеея погрешности. Корни нормаль- ных уравнений х, у, з нужно подставить во все условные уравне- ния. Получим невязки, удовлетворяющие условию Лежандра; Ыг [сс21=1сс1! — [ьь!1 . [с!21=[с]ц — — ~ь! — ° !ьсц [сьц [ь]ц [ьсц Действия, указанные в перечисленных пунктах, называют п р ямым ходом в способе Гаусса. После Йих начинается обр а т н ы й х о д — последовательное вычисление неизвестных. д) Из последнего уравнения с одним неизвестным найдем его, т. е. сделаем операции такие же, как и прн составлении уравнений исключения.
Получим: [сш1 г= — — „ [сс2] ' е) Подставим вычисленное г во второе (предыдущее) уравнение исключения и получим у. ж) Подставим г и у в первое уравнение исключения и получим х. Вычисленные при обратном ходе значения неизвестных обозначим эти невязки называют остающимися погрешност ми или остатками. Остатки будем обозначать в„е, ..., е„. Для дальнейших вычислений потребуется сумма квадратов остатков. Она может быть вычислена непосредственно по отдельным остаткам, но полученное число лучше сохранить для контроля, так как его предельная погрешность может быть большой. Сумма квадратов остатков точнее вычисляется по формуле л ~ е$» =[И]+ х [а[1+ у[И]+в[с]).
»=1 Для этой формулы потребуется предварительно вычислить сумму квадратов свободных членов условных уравнений []11. 6. Вычисление весов неизвестных. а) Если условныв и нормальные уравнения содержат только два неизвестных, то веса неизвестных вычисляются по формулам [аа] [ЬЬ] — [»ЬР [аа] [ЬЬ! — [аЬР— ]ьь] ! Ре 1. 1 б) Если число неизвестных больше двух, то удобно использовать способ Гаусса, применимый при условии, что во время решения нормальных уравнений производятся толысо те арифметические действия, которые необходимы для этого способа.
В процессе решения нормальных уравнений нельзя умножать или делить уравнения на какие-нибудь числа (что разрешается при обычных алгебраических способах решения уравнений). Если, например, одно из промежуточных уравнений имеет вид 20у + 30г — 50 = О, то нельзя сократить его на 10 и написать 2у + Зг — 5 = 0; дальнейшие действия надо производить над несокращенным уравнением.
При этом условии выполняется следующее правило Гаусса; вес последнего неизвестного равен коэффициенту при этом неизвестном в последнем уравнении (содержащем только это неизвестное). Легко найти вес предпоследнего неизвестного по дополнению к правилу Гаусса: вес предпоследнего неизвестного равен произведению веса последнего неизвестного на отношение коэффициентов при предпоследнем и последнем неизвестных в предпоследней промежуточной системе, содержащей два неизвестных. Пусть, например, при четырех неизвестных х, у, г, и последнее промежуточное уравнение имеет вид 4,2и — 7,6 = = О, а предпоследняя промежуточная система— З,бг + 5,8и — 11,4 = О, 5,8г + 6,3и — 14,5 = О.
Ь28 Тогда Р„=42, Р,=42'гз 24. Правила для вычисления весов остальных неизвестных были бы громоздкими. Поэтому применяется следующий способ. После вычисления весов двух последних неизвестных переставляют неизвестные в основных нормальных уравнениях так, чтобы последние неизвестные стали первыми, а последними стали бы другие неизвестные, веса которых еще нужно вычислять. При этом переставляются столбцы в системе нормальных уравнений; обязательно нужно сделать перестановку уравнений (строк), такую же, как перестановка столбцов.
7. Вычисление средних квадратичных ошибок неизвестных. а) Вычисление средней ошибки одного условного уравнения. Обозначим ее о; эту величину можно назвать также среднем ошибкой измерения с весом единица, так как условные уравнения считаются равноточными и вес каждого принимается равным единице. Число а вычисляется по формуле где Ю вЂ” сумма квадратов остающихся погрешностей, вычисляемая по формуле п. 1П,5; 8 = ]11] + х (а1] + у (Ы] + я (с1], п — число условных уравнений, т — число неизвестных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
