Астрономический календарь. Постоянная часть (1981) (1246623), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Графический способ применяется в тех случаях, когда табличная функция получена нз недостаточно надежных наблюдений н сама функциональная зависимость не выражена четко, например, если х зависит не только от С, но и от других величин, которые не учитываются. Способ не может дать результатов высокой точности как из-за ограниченной точности графических методов, так и вследствие произвольности и неопределенности прн проведении плавной кривой. Ш.
Точечная интерполяция (общие сведения). Основное условие точечной интерполяции заключается в том, что приближа. ющая функция должна точно представлять в узлах часть таблицы, используемую для интерполирования. Из этого условия вытекает, 606 П р н мер 1. Определять прямое восхождение Солнца в 15Ь всемирного времена 10 октября И72 г. В Астрономвческом Календаре на 1972 г. дается прямое восхождение Солнца в 0" всемнрноговременн каждых суток. Выпнсываем его на 10, 11, 12 н 13 октября. Октябрь а аа 10 13" 01мбхв что точечную интерполяцию следует применять в тех случаях, когда табличные значения функции достаточна точны. Иначе говоря, если Р (1) — приближающая функция, то должны иметь место равенства ".".=Рв.з).
х.,-Р((~,), х.=Р((.),." Приближающая функция должна содержать несколько параметров, число которых равняется числу используемых узлов таблицы. Другое условие точечной интерполяции касается вида функций, используемых для приближения. В практических задачах за приближающую функцию, как правило, принимается алгебраический полипом. Например, полипом Р (() = а~ + а,$ + а,р + а,Р применяется для интерполяции в случае использования четырех узлов таблицы в окрестности того значения аргумента г, для которого требуется интерполирование.
Если функция периодическая и требуется приближение по всему периоду, то за приближающую функцию принимается т р и г о н о м е т р и ч е ° с к и й п о л и н о м. Например, можно взять полипом Р (г) = а, + а, соз г + Ь, з(п г + а, соз 2г + Ь, з1п 2г + + а, соз 31 + Ь, з(п Зг + а, соз 4г + Ь, з(п 4Ц, если используется девять узлов и период равен 2я. !У.
Разностные иитерполяционные формулы для таблиц с постоянным шагом. Большинство таблиц, которыми приходится в своей работе пользоваться астроному, имеют постоянный шаг от начала до конца либо состоят из нескольких крупных частей, внутри которых шаг постоянен. Шагом таблицы называют промежуток между соседними значениями аргумента.
К таблицам с постоянным шагом относятся все, полученные вычислениями: например, эфемериды и математические таблицы. Если таблица получена нз наблюдений, то она редко может быть с постоянным шагом. Если можно считать, что в такой таблице случайные и прочие ошибки малы, то есть смысл с помощью приведенной выше формулы перестроить таблицу на постоянный шаг. Все интерполяционные формулы для таблиц с постоянным шагом выведены для нормированного аргумента г — ц и= —, и где 1, — табличное значение аргумента, принятое за начальное, Ь вЂ” шаг таблицы. По заданному г иэ табличных значений выбирается начальное Г, так, чтобы величина г †, по абсолютному значению не превышала половины шага.
При этом условии ( может быть больше 1;, тогда говорят, что интерполируют вперед 509 Рави. В-го порядка и — ги с, х-в х в ! в х ! в ьо "=г-! х, х я х' ! я «а х! в ро+ 1Ь = 8! х, х ' я Расширим таблицу направо столбцом разносгей 1-го порядка, которые получаются вычитанием каждого значения из последующего.
Число разностей 1-го порядка на единицу меньше числа узлов. Их обозначении записываются в 4-и столбце. верхний значок указывает порядок разностей, нижний значок — среднее арифметическое нз значков тех табличных значений, из которых получена разность. Из разностей 1-го порядка образуем новые разности„ назовем их разностями 2-го порядка. Обозначения строятся по тем же правилам, как для разностей 1-го порядка: верхний значок указывает порядок разности, нижний значок равен среднему арифметическому нижних значков тех двух разностей 1-го порядка, из которых получена разность 2-го порядка. Совершенно таким же образом вычитанием смежных разно- отей 2-го порядка получим разности 3-го порядка и т.
д. Если в используемой части таблицы пять узлов, то разностей 1-го порядка будет четыре, 2-го — три, 3-го — две и 4-го — одна. Все разности нечетного порядка имеют дробные нижние значки со знаменателями два, все разности четного порядка имеют целые нижние значки. Разности, выписанные в одной строке, имеют одинаковые нижние значки. Между каждыми двумя смежными ио 4и ) О); интерполяцию при 1 ~ 1о называют интерполяцией мазад (и < О).' 1. Разности табличной функции прн по.п т о я н н о м ш а г е. Выпишем таблицу значений аргумента и функции в столбец с пропуском строчки между каждыми двумя смежными значениями. Поместим начальное значение около сере.дины части таблипы, выписанной из полной таблицы.
Получим три столбца. В первом из них будут табличные значения аргумента й во втором — значения нормированного аргумента и, в третьем — значения функции х. Раап. Рави. и х ь-го а-го порядка порядка разностями как по вертикали, так н по горизонтали прн предложенной системе записи остаются пустые места. Вся таблица разностей имеет внд равнобедренного треугольника, основанием которого является таблица значений функции. Этот треугольник называется треуаэлаником разнаотег). 2. Интерполяпиоиные формулы Ньютона для таблиц с постоянным шагом. а) Формула Ньютона для интерполяции вперед: хо+ и ' '+ 2 '+ з хзз+'" + и «и(а — 1) 2 и(я — 1) (и — 2) Здесь используются последовательные разности, расположенные нв верхней стороне треугольника разностей.
Значок «плюса обозначает интерполяцию вперед. б) Формула Ньютона для интерполяции назад: )Ч ( )= + — их' + и(и+!) хз (-и(и+!)(и+2) з +." — П 31 В этой формуле используются последовательные разности на нижней стороне треугольника разностей. П р н м е р 2. Определить клоненне Марса в 0" всемирного времена!7 июня 1972 г. В Астрономическом Календаре на 1972 г. дается склонение Марса в Оь мирового времена с шагом 16 суток. Влнжайшее к 17 июня склонение дано яа 12 нюня. Так как от 12 до 17 июня 5 суток, что меньше половины шага, то за начальное склоненае бз прнннмается склонение 12 июня н интерполяция производится вперед. Поэтому склонения 6 выпнсывшотся на 12 июня н на несколько следующих дат.
1972 е Ч! 12 +23' 14' +109' + 88' +1!7 +33 +180 +26 +206 Ч1 28 +2! 25 ЧП 14 +18 58 ЧП 30 +15 58 ЧП1 15 +12 32 (2) )Ч~ = +0,3125 1Ч« = — 0,1074 Уз = +0,0602 б = 23'44' б, = 23'14' Ь =+30' П о я сне ни я. В столбце (1) заготовлены нормированный аргумент «иэ я множители, входящие в хоэффнцненты прн разностях в формуле Нькпона дяя интерполяции вперед. В столбце (21 вычислены последовательные ноэффвцненты, 511 Так как разности 4-го порядка почти равны друг другу, то можно ограни чвться латыш узлами.
Теперь надо вычнслнть члены ннтерполяцнонной формулы по следующей схеме: !и и = 5: 16 0,3125 и — 1 = — 0,6875 и 2 = — 1,6875 обозначенные )т'„)У„)тз. Прн вычислениях попользуются предыдущие котф. фнцненты по формулам )т'т (и — 1) Ла (в — 2) Нт= я )у — )уз= 2 3 В сюлбце (3) даны пронзведення коэффициентов на равности, вычнсленные с мпасным знаком (десятые доля мннуты).
Чтобы обеспечить зтот знак, М, н йгз необходимо брать с четырьмя знвкамн после запятой, а в )т'з можно было бы ограннчнться тремя знакамн. Сложение чисел столбца (3) даст сумму Ь всех членов формулы без первого; после сложения запасный знак отбрасывается с округлением последнего знака. Прибавив к начальному значению склонения бз член Ь, получим нскомое склонен не. Кроме интерполяционной формулы Ньютона, применяются и некоторые другие интерполяпионные формулы (Бесселя, Стирлинга и др.), вычисления по которым иногда бывает более выгодно производить, главным образом из-за меньшей вычислительной трудоемкости (например, при «ннтерполяции на середину» выгоднее всего пользоваться формулой Бесселя). 1(.
Интерполирование по таблицам функции двух аргументов. Эту задачу называют также интерполированием по таблице с двумя входами. Употребляется также название «двумерная задача интерполяции». Функция и = и (х, у) задана таблицей своих значений; аначения х даны с шагом д, значения у — о шагом й; табличные значения функции — ияо значок й — для х, значок 1 — для у.
Требуется найти приближенное значение функции при определенных заданных х и у, не совпадающих с табличными. Существуют специальные формулы для решения такой задачи, но ими редко пользуются. Обычно употребляемый способ состоит из следующих операций: производят интерполяцию по х при нескольких табличных значениях у; в результате получают новую одномерную таблицу, в которой находится несколько вычисленных значений функции при заданном х и разных табличных значениях у. й 2. Теория ошибок с влементами теории вероятностей 1. Случайные события.
Рассматриваются только такие случайные события, для которых тем или иным способом можно указать вероятность, т. е. число, оценивающее вазможность появления события. 1. Классическое определение вероятн о с т н с л у ч а й н о г о с о б ы т и я. Если до наблюдения случайного явления, в котором может произойти или не произойти случайное событие С, можно составить полный конечный список возможных, несовместных, равновозможных случаев и выделить из них благоприятные, при которых событие происходит, то вероятностью собьипия С называегпся отношение числа благоприятных случаев к числу всех случаев полного списка. 612 Если а — число всех случаев, й — чнсло благоприятных случаев, то имеем, по определению, Р=Р~С)= '.
С л е д с т в и е из определения. Вероятность невозможного события равна нулю, вероятность достоверного события равна единице. П р н м е р 1. Бросают игральную кость. Определить вероятность выпадения пятерки. Полный список случаев: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Из ннх благоприятен только один случай. Поэтому Р=Р15) = —. 1 6 ' 2. Статистические вероятности. Если производится много наблюдений, в которых регистрируются появления н непоявлення события, то за приближенное значение вероятности в тех случаях, когда неизвестна теоретическая 1математнческая) вероятность, о которой говорилось выше, принимают отношение числа появления событий к числу всех произведенных наблюдений. Такие вероятности называют статистическими (иногда — эмпирическими), нли частослгями. Статистическая вероятность может быть принята е внятности равной теоретической только в случае бесконечно большого числа наблюдений, что, естественно, практически не осуществимо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
