Астрономический календарь. Постоянная часть (1981) (1246623), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Если случайные ошибки чисел Ц в условных уравнениях подчинены нормальному закону распределения, то приведенная формула дает наиболее вероятное значение а,какоевозможно получить из результатов измерений. Напомним, что остающиеся погрешности е,, е„... должны быть вычислены, чтобы обнаружить грубо ошибочные условные уравнения (если они есть). Если какое-нибудь нз чисел з превышает Зо, то по принятому соглашению считают вероятным, что в соответствующем условном уравнении есть грубая ошибка. Такие уравнения отбрасывают, снова составляют нормальные уравнения, решают их и т.
д. Так как получается много лишней работы, то рекомендуется, если возможно, по сведениям об измерениях, давших условные уравнения, заранее выявить ненадежные и отбросить их до составления нормальных уравнений. б) Вычисление средних ошибок неизвестных. Они вычисляются по формулам и е а о==, о== а==. у.— э т у — э л результаты записываются, как при прямых измерениях: х=х~о,, у=у~о„, г=й~-о. 52з По величинам о„о„, ... можно вычислять вероятности для неизвестных быть в заданных граннцах по формулам нормального распределения (еслн случайные ошибки подчинены нормальному закону) нлн по неравенству Чебышева (еслн ничего неизвестно о законе распределения ошибок). 8.
Пример н схема вычислений. Даны условные уравнения: (а) (Ы (г) 1,78х +1,48у — 2,37г — 2,50х +2,229 — 1,78г — 3,36х +3,21у — 0,21г +1,81л +1,5!у +0,20г — 1,70к +1,379 +1,78г 1л +О, 139 — 0,05г 1х +0,099 +0,02г (з) +18,69 — 20,26 — !6,76 +23,82 — 7,55 +9,28 +8,7! (е) (з') +0,62 0,38 — 2,17 4,71 +1,85 3,42 — 0,23 0,05 — 1,!3 1 28 — 0,65 0,42 — 1,20 1,44 (() +17,8=0 — !8,2=0 — !6,4=0 +20,3=0 — 9,0=0 +8,2=0 +7,6=-0 Суммы -1,97 +10,01 -2,4! +10,3 +15,93 11,70 (15„93) Над стовбцами коэффициентов н свободного члена даны их обозначения а, Ь, с, 1. Справа от условных уравнений выписан столбец (з), т.
е. суммы коэффициентов прн неизвестных н свободных членов в каждом условном уравнении. Эти суммы контролируются описанным выше (И1.5) способом. Поэтому внизу, под чертой, выписаны суммы коэффициентов и свободных членов н сложены все числа з. Так как сумма всех з равна сумме сумм коэффициентов и свободных членов, то можно считать, что ошибок в подсчете э нет.
Дополнительные столбцы (з) и (зз) заполняются возже. А. Переходим к вычислению коэффициентов нормальных уравнений, Если есть арифмометр, то каждый коэффициент, представляюший сумму произвсде. ний по два множителя в каждом, может быть получен методом накопления. Мы аапишеы п(аную схему образования части коэффнциевтов, которой нужно пользоваться, если иет арифмометра. Получаем: зл аь 4Ф з зиалогвчио( 3,1684 +2,6344 — 4,2186 6,2500 — 5,5500 +4,4500 11,2896 — 10,7856 +0,7056 3,2761 +2,7331 +0,3620 2,8900 — 2,3290 — 3,0лоО 1,0000 +0,1300 — 0,0500 1,000 +0,0900 +0,0200 [аЦ = +200,1310 [аз) = +214,1710 [ЬЬ] = +21,6049; [Ьс1 = — 5,3974; 28,874! †!3,0771 — 1,7570 [аа) [аЬ1 [ас! [И) = — 46,6310; [сс] = +12,047; [Ьз] = — 43,5006; [с() = — 18,5640 [сз] — 13,6777; [й] +15,35!3.
После вычисления коэффициентов производится контроль вычислений по трем формулам: 1аз1= !аа]+ [аЬ]+ [ас]+ [аЦ и двум другим, ей аналогичным. Точное выполнение равенств будет иметь место, если прн умножениях результаты выписываются со всеми получаемыми знаками. В схему вычислений бьша включена сумма квадратов свободных членов условных уравнений [И]; она не нужна для составления нормальных уравнений, но потребуется для вычисления суммы квадратов остающихся погрешностей. 530 После проверки коэффициентов иормальньш уравнений напишем нормальные уравнения, учитывая, что коэффициенты условных уравнений, особенно свободные члены, — числа приближенные, поэтому не все формально полученные знаки верны.
Мы осгавилн в коэффициентах нормальных уравнений по два знака после запятой — столько же, сколько их было в коэффициентах условных уравнений; прн отбрасывании знаков соблюдаются правила округления. Б. Нормальные уравнения. Решение по способу Гаусса: Контрольлмс числа 28,87х — !3,08н — 1,76г+ 200,13 = 0 +2!4,17 — 13,08х + 21,60у — 5,40г — 46,63 = 0 — 43,50 — 1,76х — 5,40у + 12,04г — 18,56 = 0 — 13,68 х = — 8,486х = 0,453у + 0,06!г — 6,932 1-я строка исключения 15,67у — 6,20г + 44,04 = 0 1-я промеж.
система — 6,20у + ! 1,93г — 6,36 = 0 у = — 3,273г = +0,39бг — 2,810 2-я строка исключения 9,47г + 11,06 = 0 2-я промеж. система г = — 1,168 (последняя) Б,, Вторичное решение нормальных уравнений. В системе нормзльных уравнений поменяем местами первый и третий столбцы. Одновременно номе. няем местами первое и третье уравнения.
Решаем по схеме Гаусса: Контрольные числа 12,04г — 5,40у — 1,7бх — 18,56 = 0 — 5,40г+ 21,60у — 13,08х — 46,63 = 0 — 1,76г — 13,08у+ 28,87х+ 200,13 = 0 г = — 1,166г = +0,449у+ 0,146х+ 1,542 19,18у — 13,87х — 54,96 = 0 — 13,87у+ 28,61х+ 197,42 = 0 у = — 3,27)у = +0,723х+ 2,865 18,58х+ 157,68 = 0 х = — 8,487 — 13,68 — 43,50 +2!4,17 Основные и повторные значения неизвестных согласуются достаточно хорошо; это означает, что ошибки от округлений малы.
За окончательные значения неизвестных можно принять средние арифметические двух значений. Получаем: Д = — 8,486, У = — 3,272, д = — 1,167. дает 5 = 11,06. Так как в этом значении накопление погрешностей несколько меньше, чем в сумме квадратов, то принимаем 5 = 11,06, По формуле имеем оа= — '=2,76; о=1,66. 11,06 7 — 3 Иэ остаточных погрешностей нет ни одной, которая заметно превышала бы единичную среднюю ошибку. Поэтому можно считать, что в измерениях не было грубых ошибок (по крайней мере крупных). Г. Вычисление весов н средних ошибок неизвестных.
531 В. Вычисление остающяхся погрешностей н средней ошибки одного уравнения. Сначала вычислим остатки каждого иэ условных уравнений. Результаты запишем в столбце рядом с условными уравнениями (они обозначены е„е„...). Там же приведены значения еь н их сумма 5 = 11,70. Вычисление 5 по формуле г 5 = (В) + х (а!) + у!З!) + й (с(! По правилу Гаусса первое решение нормальных уравнений дает вес рд = 9,47.
По дополнению к правилу Гаусса р, = 9,47 — ' 9,47 1,31 = 12,41. 15,67 !1,93 Второе решение Ласт (р„) = 18,58, (рз) = 18,58 †' = 18,58 0,670 = 12,45. !9,18 28,61 Здесь скобка означает контрольное значение. Примем веса такими: Р» = 18 6 Ря = 12 4 Р» = 9 47 Средние квадратичные ошибки неизвестных определяются по формулам а = — ' =0,148, а = — ' = 0,223, о = — ' = 0,291. 2,76 з 2,76 з 2,76 18,6 ' ' Я 12,4 ' ' * 9,47 Отсюда ох = 0,385, ар — — 0,472, а» = 0,539. Результаты можно написать в виде к = — 8,486 — 0,385, р = — 3,272 — 0,472, з = — 1,167 -- 0,539. Принимая во внимание, что средние ошибки неизвестных не малы, можно счизать, что выписанные формально знаки в приближенных значениях неизвестных не все надежаы.
Поэтому можно записать результаты и так: х = — 8,5 — 0,4, ' Н = †,З вЂ” 0,5, з = — 1,2 вп 0,5; наиболее ненадежно определяется из сделанных наблюдений величина з. й 4. Приближенное изображение функциональной зависимости !. Постановка задачи.
Наблюдения дали ряд значений функции х и аргумента ! (или нескольких аргументов). Требуется построить функцию, которая достаточно удовлетворительно представляла бы наблюденный (эмпирический) материал. Такие функции часто называют эмпирическими. Назначение эмпирических функций: а) использование для и н т е р п о л я ц и и, т. е. для приближенного вычисления значений функции при таких значениях аргумента, которых нет в таблице наблюдений; б) поиски связей между величинами, чтобы изучить хотя бы приближенные законы явления.
Постановка задачи имеет смысл в том случае, если учтены все те аргументы, которые существенно влияют на значения функции. При решении задачи надо считаться с тем, что значения функции искажены случайными ошибками измерений и неучтенным влиянием других аргументов, которые по предположению вносят дополнительные небольшие ошибки. Из содержания задачи видно, что необходимо ввести два соглашения, чтобы задача стала определенной! 532 1) соглашение о выборе аналитического вида функции", 2) соглашение о том, что значит понятие «удовлетворительного» (возможно, лучшего) представления наблюдений.
Простейшим методом, решающим одновременно оба вопроса, является графическая интерполяция в случае функции одного аргумента. По наблюдениям строят график, введя прямоугольную систему координат (1, х). Затем проводят плавную кривую («от руки») между точками графика так, чтобы она примерно одинаково отклонялась от эмпирических точек.
Этот способ не годится для вывода формулы, но он может быть использован для интерполяции: задавая значение аргумента, откладываем его на оси абсцисс и в полученной точке восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с кривой. Ордината точки пересечения определит искомое значение функции. В этом способе оба указанных вопроса (выбор формулы и соглашение о точности приближения) решает глаз исследователя. Способ можно использовать только в тех задачах, в которых можно ограничиться грубыми результатами и пренебречь последстствиями произвола исследователя. Н. Выбор вида эмпирической формулы.
Выбор аналитической структуры функции, представляющей приближенно данную таб. личную функцию, есть наиболее неопределенная часть работы, В $ 1 этой главы решалась задача о приближении табличной функции (только для интерполирования). Там в качестве приближающей функции брался алгебраический полипом; иногда при точечной интерполяции берут тригонометрический полипом. Алгебраическими полиномами часто пользуются и при построении эмпирических формул, но условие об удовлетворитель- ности приближения берется иное, Независимо от типа формулы можно сделать одно общее указание: формула должна содержать несколько параметров, чтобы можно было подбором значений параметров получить приближение к любой табличной функции, полученной наблюдениями. Как будет ясно из следующего пункта, весьма желательно, чтобы параметры входили линейно или формула простыми преобразованиями приводилась к линейному виду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
