Астрономический календарь. Постоянная часть (1981) (1246623), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Оии являются либо результатом «зевказ наблюдателя (прочтет 20'-, а запишет 30" и т. п.), либо зледотвием нарушения нормальных условий (незамеченный толчок и т. п.). Если сомнительный результат измерения сильно отличается от остальных, то можно о уверенностью полагать, что допущена грубая ошибка, и это измерение следует исключить.
Если отличие не очень большое, то неясно, имеем ли мы дело в ошибкой илн а неблагоприятной случайной комбинацией факторов, вызвавших большую (по модулю) случайную ошибку. Вопрос решается после предварительной обработки материала способом, который будет указан ниже. 2.
Закон распределения олучайных ошибок и способы оценки нх.Дляслучайныхошибок примем нормальный закон распределения о центром, разным нулю. Если а есть неизвестное точное значение измеряемой определенной величины, х — какой-нибудь нз случайных результатов измерений, то значением случайной ошибки назовем число к — а = б. Предположение о нормальном законе означает, что плотность вероятности случайных значений б определяется формулой «1 Г(б) ' е ы« ° о'>' 2к Из свойств нормального распределения имеем Р (~ б ~ < о) = 0,68, Р () б! С Зс>) = 0,9973.
Последним равенством пользуются для выявления измерений с грубыми ошибками, Приняв за приближенное значение измеряемой величины среднее значение х, найдем приближенные значения ошибок. Если среди них найдутся такие, модуль которых превышает Зо, то соответствующие измерения считаются содержащими грубые ошибки и отбрасываются. Число а называется средней квадратичной ошибкой одного измерения; для краткости дальше будем пользоваться термином «средняя ошибка».
Ч е м б о л ь ш е о, т е м м е н е е т о ч н ы и з м е р е н и я. Каждый тип измерений характеризуется определенным значением о. Результаты измерений также случайны. Для них плотность вероятности имеет вид ы-а!' )'(х) е»«' где о имеет то же значение, что н в 7 (б). Вместо средней ошибки одного измерения пользуются и другими числовыми характеристиками рассеяния (возможного разброса) случайных ошибок: 2 вероятная ошибка г ж — о, 0,7! мера точности й ж — ' а Числа о и г уменьшаются при увеличении точности, число й растет с увеличением точности.
Если сопоставляются измерения разных типов, в которых, следовательно, величины средних ошибок различны (о„о„о„..., о„), то в дополнение (или взамен этих величин) вводят новые числовые характеристики, называемые весами. Такие измерения называют неравноточными.
О п р е д е л е н и е. Относительными весами неравноточных измерений называются числа, обратно пропорциональные квадратам средних ошибок (дисперсиям случайных ошибок). Если обозначим веса р„р„р„..., р„, то по определению г 2 » 2 где о„'— коэффициент пропорциональности, выбираемый произвольно (веса — числа относительные). Если оь равно какой- нибудь из средних ошибок измерений, то вес этого измерения равен единице. Поэтому о, называют средней квадратичной сшибкой единицы веса (иногда говорят: на единицу веса); более аккуратное и точное название — средняя квадратичная ошибка измерения с весом единица.
Мы будем для сокращения говорить «единичная средняя ошибка». Если о„о„о», ..., о„неизвестны, но из условий 520 измерений вытекает, что они неравноточны, то веса назначают более нли менее произвольно, так Чтобы более надежные и более точные измерения имели ббльшие веса, чем менее точные. Примером неравноточиых измерений является случай, когда собраны средние арифметические наблюдений одной определенной величины, полученные из разных количеств измерений. Пусть х, получено из и, наблюдений, х, — из и измерений, и т. д. В таком случае за веса измерений р„р„..., р„принимают числа п„п„..., и, й 3.
Способ наименьших квадратов 1. Обработка равноточных измерений определенной величины. Ф о р м у л и р о в к а з а д а ч и. Обозначим точное значение измеряемой величины а. Вследствие случайных ошибок при измерениях получаем разные числа х„ х„ ..., х„; средняя ошибка а каждого измерения одна и та же, но она неизвестна. Требуется определить приближенные значения величин а и а и оценить погрешность этих приближений.
1. За приближенное значение измеряемой величины обычно принимается среднее арифметическое результатов измерений х~ + кэ + " ° + хл Оио является наиболее вероятным значением определяемой величины, если случайные ошибки распределены нормально, и получается из условия, что сумма квадратов отклонений приближенного значения от измерений имеет наименьшее значение.
Поэтому говорят, что х получается по способу наименьших квадрагпов. Надежность значения х оценивается средней ошибкой среднего арифметического, которая вычисляется по формуле о ол- =1 ля в втой формуле в правой части подставляется приближенное значение о, об определении которого будет сказано в следующем пункте. 2. Приближенное значение вредней ошибки одного измерения получается по формуле о= ч ~ рм — х)~ А-1 и — 1 Это — наиболее вероятное значение, какое можно получить из совокупности измерений. Я1 Пример и схема выч ислен кй. Азимут одной стороны тригонометрической сети определен шесть рвз.
Найти нвивероятнейшее знвчение вэимутз, срединно ошибку одного измерения н неивероятнейшего знвчення. !аз — а)» и» венер. 1",7 10,3 — 6,3 — 12,9 — 0,7 +7,9 +Б',б +14,2 — 2,4 — 9,0 +3,2 +11,8 60' 02' 35",6 60 02 44,2 60 02 27,6 60 02 21,0 60 02 33,2 60 02 41,8 2,89 !06,09 39,69 166,4! 0,49 62,4! (О ',О) 377,98 (377,98) Суммы А, = 60'02' 30', А =. 60' 02' ЗЗ',9 ш 3",6; а = 3',9 П о я с н е н и я. Чтобы не складывать громоздкие измеренные значения азимута, вводим временно новое начало отсчета Ае. В 3-и столбце выписаны аь = Ае — Ае.
Для них и будем искать среднее значение. Среднее А = А е + а. В 4-и столбце числа ае — а сложены для контроля,' их сумма должна точно рвгняться нулю, если а найдено делением точно, кзк в примере. Если этого нет, то сумме чисел ае — а будет немного отличаться от нуля. Средняя квздрзтнчч l 377,98 нзя ошибка среднего арифметического оказалась равной а- = )г У 66 = 3",6. !Ь Обработка иеравиоточиых измерений определенной величины.
Форм у л и роек а з адан и. При измерении оцределенной величины а получены значения х„х„х„..„х„. Средние ошибки измерений о„оз, ..., о„не равны между собой. Если пк, оз, ..., о„заданы, то по ним следует вычислить относительные веса, задав произвольно предварительное значение средней квадратичной ошибки единицы веса ое (см, 9 2, 111, 2). Веса вычисляются по формулам: г г г Если о„оз, ..., о„не заданы, то должны быть заданы веса по сведениям о надежности измерений. Требуется определить приближенное значение величины а (которое мы обозначим х) и средней квадратичной ошибки на единицу веса по заданным значениям х„х„..., х„и весам; кроме того, необходимо вычислить среднюю квадратичную ошибку найденного приближения х.
Если были заданы о„о„..., о„, то принятое для вычисления весов ое только предварительйое. Окончательным является то, которое вычисляется по весам и измерениям. 622 1. За приближенное значение измеряемой величины принимается среднее весовое, вычисляемое по формуле й Фзх! + Реха + ' ' ' + АФч Ф! + Ръ + ' ' ' + Рч Среднее ееамое еся!ь наиболее еерояяиим значение иачеряемой ееличины, какое можно получить из нераеноточных измерений с заданными ассами. Оно получается из условия минимума весовой суммы нвадратов отклонений от среднего весового: ч Л ~ ре(х» — х)'< ~ ре(хг — а)', если аФх.
А 1 4=1 Из выражения для среднего весового следует тождество, используемое для контроля: л ~, "ре(хе — х) = 0 (еслн х вычислено точно). е-1 2. Лриближенное значение единичной средней ошибки. Эта величина вычисляется после определения х по формуле л ~ рг (хл — я)е Ф 1 ч — ! 3. Средняя ошибка среднего весового, Эта величина, обозначенная ог,может считаться мерой надежйости найденного приближенного значения измеряемой велйиниы. Она вычисляется по формуле о ил= =~ ур ч где Р= ~ р,. Ф-1 И1.
Определение неизвестных нз уравнений по способу наименьших квадратов. 1. Ус л о в ни е (н а ч а л ь н не) у р а зн е н и я. Рассматривается следующая задача. Подлежащие определению величины х, у, г непосредственно не наблюдаются. Вместо них из наблюдений определяются величины 1„1ю ..., 1„, связанные с неизвестными функциональными зависймоютямй. Мы ограничимся предположением о линейных зависимостях, которые в случае трех неизвестных имеют вид ах + Ьу + се + 1! = О, ах + Ь,у + с,г + 1, = О, а„х+ Ь„у+с,г+1„= О, где а„а„..., а„, Ь„Ь„..., Ь„, с„с,, ..., с„— известные числа, изменяющиеся от наблюдения к наблюдению.
Числа 1„1„... содержат случайные ошибки; чтобы уменьшить их влияние, составляют много уравнений, гораздо больше, чем неизвестных, если возможно. Написанные уравнения называют условными или начальными. Благодаря наличию случайных ошибок система этих уравнений несовместна, т. е. нет таких чисел х, у, г, которые удовлетворяли бы всем уравнениям. Если вместо них подставить какие-нибудь определенные числа, то в левых частях не получится нулей и уравнения надо, в сущности, писать так: а,х+ 6,у+с,г+ 1, = б„ а,х + Ььу + с,г + 1, = б„ а х+ Ь„у+ с„г+ 1„= 6„ и т. д., где 6„6„..., б, — числа, зависящие от подставленных значений х, у, г; они называются невязками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
