Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Такие законы можно использовать при коррекции орбит спутников, в более ограниченном виде для синтеза законов, обеспечивающих перелет между орбитами. В данном разделе была введена широко используемая модель для анализа траектории КА с двигателем малой тяги и показано, как анализ уравнений этой модели дает возможность выделить некоторые рациональные законы направления реактивного ускорения, максимально быстро изменяющие (корректирующие) отдельные элементы орбиты КА или не изменяющие их. 7.3.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ КА ПРИ ПРОСТЫХ ЗАКОНАХ УПРАВЛЕНИЯ ВЕКТОРОМ ТЯГИ Трансверсальная тяга Трансверсальная тяга (т. е. тяга, направленная по трансверсали) привлекает при проектировании траекторий КА (не только траекторий КА с малой тягой) относительной простотой реализации, целесообразностью такого закона для рида космических маневров. Уравнения для оскулирующих элементов в случае трансверсальной тяги (О=О, ф=О) запишутся в виде — р=2р1/ р «М ' г р 1+есоео ое 1/ р есоеео+2соео+е о1 Г р 1+ е сосо (7.8) (7.9) 295 Рассмотрим основную задачу теории движения КА с двигателем малой тяги.
Пусть известны начальные условия движения. Задается программа управления движением КА (будет задаваться некоторый простой закон изменения величины и направления реактивного ускорения). Требуется рассчитать траекторию КА, выявить, как изменяется его положение и скорость. Исследование траектории КА с двигателем малой тяги в ряде случаев целесообразно вести, анализируя изменение оскулнрующих элементов траектории КА. Таким образом, будем фиксировать определенный простой закон управления вектором тяги Р (вектором реактивного ускорения 1=Рот) и исследовать изменение элементов траектории КА. Рассмотрим движение КА с малой невыключаемой тягой.
(7.13) 4(ю 1 1/ р 51п о (2 + соз ео) (7.10) Ш е Г !з 1+ есозо с(0/с(1 = О, й'/сМ = О. (7.11) Первые три уравнения при использовании полярного угла как независимой переменной могут быть записаны в виде йр 2рз/ 1 йи (з (1+ есозо)з йе /рз есоззо+ 2созо+ е (7.12) е(и (з (1+ е соз о)з йзз /Рз з!по(2+ есоз о) йи е(з (1+ е соз о)З С помощью системы (7.12) при заданных начальных значе- ниях оскулирующих элементов возможно численным интегриро- ванием найти траекторию КА с трансверсальной тягой.
Рассматривая реактивное ускорение как возмущающее уско- рение, выделим вековые уходы от его действия. При этом пред- полагается, что: реактивное ускорение мало (по отношению к гравитацион- ному ньютоновскому ускорению); движение КА — многовитковое; реактивное ускорение на одном витке траектории изменя- ется пренебрежимо мало и на каждом витке траектории его можно считать постоянным (/,=сонэ(). Воспользуемся методом осреднения.
Для нахождения возму- щений на произвольном витке траектории интегрируют на этом витке уравнения системы (7.12), пренебрегая изменения- ми оскулирующих элементов внутри витка траектории (считая, что на этом витке элементы постоянны).
Таким образом, при- ращения оскулирующих элементов р, е, со на /-м витке траекто- рии можно записать в виде Ар Рте з /. зи с(о; !з о~ (1+ е! соз о)з 2 . 2л Р; 1/ с е; соз' о+ 2 соз о+ е! (з о (1+ е!соз о) /3Р; с Моо(2+е!созо) Ь'о! = 3 Йо. е!(з з (1+ е!сизо) При записи последних соотношений были использованы сле- дующие обстоятельства: подынтегральпые функции в (7.12) периодические с периодом 2п (это дало возможность пределы интегрирования взять равны- ми 0...2п), при со=сонэ( из соотношения и=о+о! следует с(и=с(о.
296 Квадратуры, входящие в правые части равенства (7.13), могут быть взяты. Приращения оскулирующих элементов траектории КА за виток траектории оказываются равными 2и '77 2+е' Р 7 1 (7.14) е2) 5!2 l зя9117 лез=†и е7 (7. 15 () е2)3!2 Ла2) = О. (7.16) Последние равенства можно использоватьдля анализатраектории КА под действием трапсверсального ускорения. Из равенства (7.!5) следует, что если начальная орбита КА — круговая, то эксцентриситет оскулирующей траектории не будет иметь вековых уходов.
Вся траектория КА в этом случае представляется совокупностью оскулирующих круговых орбит Ле,=О, е,=О ()=О, 1, 2, ...). При этом фокальный параметр (радиус) этих орбит будет изменяться в соответствии с равен- ством 4яе~.1 7 ге+2 = П+ н рассмотрим этот интересный для практики случай. (7.17) Перелет с помощью нерегулируемой трансверсальной тяги между круговыми орбитами Пусть начальная орбита КА — круговая. Для перелета используем трансверсальный закон направления тяги.
В соответствии с равенством (7.17) такой разгон с помощью метода осреднения может быть описан одним из следующих соотношений: 1 (1) — — — — ', (7.19) т (2) те — т (2 — ее) ~,) — К=2,) ш 297 (7.18) е)и йе 4 леэ) еьч и где А7 — номер витка траектории КА. Для того чтобы исследовать решения последних уравнений, необходимо задать закон изменения величины реактивного ускорения )'(и).
Считаем, что двигатель КА — нерегулируемый, постоянно включенный, тогда ускорение 1(1) можно записать в виде Свяжем угловую дальность полета (аргумент широты) со временем. В рамках метода осреднения, когда траектория КА представляется совокупностью оскулирующих круговых орбит, на которых угловая скорость КА постоянна, связь времени с угловой характеристикой о или и имеет вид ((и = и((1 = 1 и ((1. „3(2 (7.20) (7.21) (7.23) Нормальная тяга Рассмотрим влияние на траекторию КА реактивного ускорения, направление которого перпендикулярно плоскости оскулирующей орбиты КА.
Такое ускорение называют нормальным, Итак, 1=(ь, а (,=(„=О ()Р= — и/2, 6=0 (7.4)). ПРи таком направлении возмущенного ускорения элементы орбиты, характеризующие форму и размер оскулирующей орбиты КА, изменяться не будут (7.3): — = — = О. ((е Ыр (7) Рп гва Используя (7.19) и (7.20), из равенства (7.18) получим д7 .3(2 ш й'= ( -Ф') Разделяя переменные в последнем дифференциальном уравнении и интегрируя его, придем к равенству '=~й А'"('-="1Г Последнее соотношение дает возможность подсчитать радиус конечной орбиты, которую КА может достичь с помощью трансверсальной тяги за определенное моторное время.
Для нахождения времени достижения заданного конечного радиуса г, воспользуемся соотношением, следующим из (7.21), — — () —. р [ " ( — — )]] (7.22) Соотношение (7.22) полностью характеризует энергетические затраты на переход между круговыми орбитами с трансверсальной тягой. Так как такие затраты часто представляются в виде характеристической скорости, то приведем выражения для ее определения Изменение остальных элементов описывается следующими соотношениями ре яп и соеес ! йи (с (1+ е соео)' еи ре сое и е(и и (! + е сосо)е Фо е р' япис1и! ии и (1+ е соео)е (7.24) В соотношениях (7.24) величиной второго порядка малости относительно 1' пренебрегаем и считаем, что величина ) (см.
(7.6)) равна единице. Изменение оскулирующих элементов по виткам траектории в рамках метода осреднения движения КА можно получить из следующих соотношений 3 л (р' е я и ео пяп 1(1 — ее) 1~ Зл7ре е , соз ео; )е (1 — ее) ! 3 л /ре е я'и ео р (1 — ее)е~е 191 (7.25) Интересно то, что если эксцентрнситет начальной орбиты равен нулю, то из (7.25) следует, что плоскость оскулирующей орбиты н положение линии апсид в среднем не возмущаются: е(() ~ й( ~! е(ее ~ йу(е=о дМ(е.=о е( у(е=о Ай) —— О; А(1 —— 4)Д ре )е 299 Рассмотрим возможность однократного переключения нормального реактивного ускорения на каждом витке траектории. Для сокрашения объема выкладок рассмотрим случай круговой начальной орбиты КА. Как уже отмечалось, при нормальном законе реактивного ускорения — = — =О.
Поэтому осйр е(е йе кулирующая орбита КА в рассматриваемом случае всегда остается круговой постоянного радиуса. Для того чтобы максимально быстро изменить наклонение круговой орбиты КА, следует воспользоваться следующим законом переключения нормального реактивного ускорения: )= = — 11(з(йп(сони]. В этом случае с использованием системы (7.24) получим При таком законе реактивного ускорения только наклонение круговой орбиты КА будет иметь вековой уход.
Соотношения, характеризующие этот процесс, имеют вид Ж 4Щр' (а )у= " д'; (7.26) 4 Й р2 Т„=1= )'Р ЬК гу~ у'р Аналогично можно исследовать другие фиксированные законы направления реактивного ускорения. Среди проанализированных в настоящее время — тангенциальный радиальный законы. В некоторых случаях предусматривается изменение направления реактивного ускорения на противоположное в некоторых точках витка траектории КА. В том случае, когда существует техническая возможность многократного включения двигателя, рассматривают траекторию КА с участками пассивного полета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
