Лекции (1245768), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Эта ось называется поперечной осью.22Рисунок 3.4 Связанная система координат3.1.4 Скоростная система координатСкоростная система координат 0XaYaZa связана с вектором скорости⃗ (см. рис. 3.5), еедвижения центра масс ЛА относительно воздушной среды начало также помещают в центре масс ЛА. Ось0Xa в скоростной системекоординат всегда совпадает с вектором скорости иназывается скоростнойосью. Ось 0Ya перпендикулярна вектору скорости, лежит в базовойплоскости ЛА и направлена к верхней части ЛА. Она называется осьюподъемной силы. Ось 0Za проводяттак, чтобы она дополняла оси 0Xa и 0Yaдо правой системы координат. Этаось называется боковой осью.Для описания взаимного положения осей связанной и скоростнойсистем координат используются угол атака и угол скольжения.

Углом атакиαназывается угол между осью 0X связанной системы координат и проекцией⃗ на базовую плоскость ЛА –⃗ 0 . Углом скольжениявектора скорости ⃗ и базовойплоскостью ЛА.βназывается угол между вектором скорости Легко заметить, что если скольжение отсутствует(β = 0), то определение углаатаки упрощается: угол αбудет равен углу между продольной осью 0X и⃗.вектором скорости 23Рисунок 3.5 Скоростная система координат3.1.5 Траекторная система координатТраекторная система координат0XкYкZкиспользуетсяглавнымобразом в динамике полета для описания движения ЛА относительноповерхностиЗемли.Вобщемслучаескоростьполетаотносительновоздушной среды может не совпадать со скоростью полетаотносительноЗемли, т.к.

в реальной атмосфере почти всегда имеетсядвижение воздушныхмасс, проще говоря, ветер. Ветер оказывает воздействиена ЛА, и суммарная скорость его движения относительно поверхности Земли⃗Vк(земная скорость ) будет равна:⃗Vк = ⃗ +⃗⃗⃗⃗ – скорость ЛА относительно воздушной среды;где ⃗⃗⃗ – скорость ветра относительно Земли.⃗ к.Траекторная система координат связана с вектором земной скоростиVНачалокоординатэтойсистемысовпадаетсначаломсвязаннойсистемыкоординат (см. рис.

3.6). Ось 0Xк совпадает с направлением вектора⃗ к. Ось 0Yк размещается в вертикальной плоскости,земнойскоростиV24проходящейчерез ось 0Xк, и направлена вверх от Земли. Ось 0Zк образуетправую системукоординат. Траекторная система координат может бытьполучена из нормальной путем поворота последней на угол пути ξ (Ψ)и уголнаклона траекторииθ (Θ).Рисунок 3.6 Траекторная система координатДля перехода от одной системы координат пользуются матрицейнаправляющих косинусов (см. Таблицу 3.1)Таблица 3.1 Таблица направляющих косинусов.2526Продолжение таблицы 13.2Способы описания уравнений движения3.2.1 Общие замечанияСуществует три распространённых вида кинематических уравненийдвижения твердого тела. Наиболее простым способом являются уравненияЭйлера, так как имеют хорошее физическое представление, но ихнедостатком является наличие особых точек.

Этого недостатка лишено27описания кинематики движения в уравнениях Пуассона. Но с точки зренияфизического представления они менее явны. Третьим распространеннымвидомявляютсяуравненияРодрига-Гамильтона,илиуравнениявкватернионах. Рассмотрим каждый способ подробнее.3.2.2 Кинематические уравнения ЭйлераПереход от инерциальной системы координат к связанной может бытьосуществлен с помощью трех последовательных поворотов: на уголпрецессии ψ, нутации θ и собственного вращения φ. Угловая скоростьвращения тела есть геометрическая сумма угловых скоростей этихповоротов:ω = ω + ω + ωСоответствующие матрицы поворота имеют вид:1= [−0Матрица001000] , 21 = [0 ] ,0 − 1 02 = [− 0]001перехода от инерциальной к связаннойсистемекоординат AbO=Ab2A21A1O имеет компоненты: − + = [− − −Однаконапрактикепользуютсядругой0 ]последовательностьюповорота, а именно из нормальной в связанную СК в самолетных углах.Тогда верно другое векторное уравнение:Если переписать данное выражение в скалярной форме, то получим:28И для скорости изменения углов:Матрица ориентации самолетной СК относительно земной СК длясамолетных углов выглядит следующим образом: − = [ − − 11 12 13= [21 22 23 ]31 32 33 + −] − Запишем формулы для получения самолетных из элементов матрицыперехода (ориентации):θ = arcsin(21 )23 = (−)2231 = (−){113.2.3 Кинематические уравнения ПуассонаКинематические уравнения могут быть получены и непосредственнодля направляющих косинусов - компонент матрицы A.

Столбцы этойматрицы представляют собой координаты орт инерциальной системы всвязанной системе координат. Тогда можно записать следующую системууравнений:29̇ = ∙ 0ω = [ −−0− ]0 , , –компоненты мгновенного вектора скорости.Данное матричное уравнение раскладывается на 9 дифференциальныхуравнений, которые необходимо численно интегрировать.

Таким образом, заотсутствие особых точек мы заплатили увеличением кинематическихуравнений вращательного движения в три раза.3.2.4 Кинематические уравнения Родрига-Гамильтона (кватернионы)Кватернионы предоставляют альтернативный путь определенияположения летательного аппарата. Несмотря на возражения, что угловоедвижение летательного аппарата значительно труднее визуализировать,задаваяегокватернионами,анеугламиЭйлера,кватернионноепредставление имеет математические преимущества, что делает егопредпочтительным при выборе для моделирования динамики многихлетательных аппаратов. Важнее всего то, что представление с помощьюуглов Эйлера имеет сингулярность, когда угол тангажа и оказываетсяравным ±90°.

Физически это означает, что когда угол тангажа составляет90°,углы крена и рыскания оказываются неразличимы. Математически этоозначает, что кинематическое состояние, задаваемое уравнением (3.3),оказываетсянеопределенным,посколькуcosθ=0,когдаθ=90°.Представление положения кватернионами такой сингулярности не имеет. Вто время как эта сингулярность не является проблемой для подавляющегобольшинства условий полета, она является проблемой моделирования привыполнении фигур высшего пилотажа и других экстремальных маневров,причем некоторые из которых могут быть непреднамеренными. Другоепреимущество состоит в том, что кватернионная формулировка оказываетсяв вычислительном плане более эффективной.

Формулировка кинематикивоздушного аппарата углами Эйлера включает в себя нелинейные30тригонометрические функции, тогда как кватернионная формулировкаприводит к значительно более простым линейным и алгебраическимуравнениям.Кватернионы были введены в математику В.Р. Гамильтоном в 1843году. Они представляют собой обобщение аппарата комплексных чисел начетырехмерный случай и записываются выражениями следующего вида:Λ = λ0 ∙ 0 + λ1 ∙ 1 + λ2 ∙ 2 + λ3 ∙ 3где λ0 , λ1 , λ2 , λ3 – произвольные действительные числа, называемыекомпонентами кватерниона Λ, а 0 , 1 , 2 , 3 – кватернионные единицы.Кватернионноесложениеопределяетсяпоправиламобычнойвекторной алгебры, т. е. при сложении двух кватернионов Λ и Μскладываются их соответствующие компоненты.Кватернионное произведение обозначается знаком «○» и определяетсяследующими правилами умножения кватернионных единиц:k=1, 2, 3.В соответствии с приведенными правилами сложения и умноженияможно использовать такую интерпретацию кватернионов, при которойэлемент 0 отождествляется с вещественной единицей, а элементы 1 , 2 , 3 – сединичными векторами ⃗⃗1 , ⃗⃗⃗2 , ⃗⃗⃗3 образующими в трехмерном пространствеправую ортогональную тройку.

Тогда кватернион можно Λ записать в видеформальной суммы скалярной части λ0 и векторной части λ⃗:Λ = λ0 + λ1 ∙ 1 + λ2 ∙ 2 + λ3 ∙ 3Когдакватерниониспользуетсядляпредставлениявращения,требуется, чтобы он был единичным или нормированным кватернионом:‖Λ‖ = 131Единичный кватернион может быть интерпретирован как одиночныйповорот вокруг оси в трехмерном пространстве. Для поворота на угол Θвокруг оси, заданной единичным вектором v, скалярная часть единичногокватерниона относится к величине поворотаλ0 = cos2Векторная часть единичного кватерниона связана осью поворота:λ1 = (λ2 )2λ3С приведенным здесь кратким описанием кватерниона можно видеть,как положение ЛА может быть представлено единичным кватернионом.Поворот из инерциальной системы координат в связанную системукоординат задается как единичный поворот вокруг указанной оси вместопоследовательноститрехповоротов,какэтотребуетсявслучаепредставления положения ЛА углами Эйлера.Не вдаваясь в подробности, запишем кинематические уравненияРодрига-Гамильтона: λ1 + λ2 + λ32 λ0 + λ2 − λ3λ̇1 =2 λ0 + λ3 − λ1λ̇2 =2 λ0 + λ1 − λ2λ̇3 =2λ̇0 = −Запишемтакжеуравнения,устанавливающиесвязьмеждукомпонентами кватерниона и углами Эйлера:+λ0 = cos cos,22−λ1 = sin cos,2232−λ2 = sin sin,22+λ3 = cos sin,22Для самолетных углов соотношения выглядит следующим образом:λ0 = cos cos cos + sin sin ,222222λ1 = cos cos cos + sin sin ,222222λ2 = cos cos cos + sin sin ,222222λ3 = cos cos cos + sin sin ,222222Для получения самолетных углов из кватерниона используютсяформулы: = 2(λ0 λ2 − λ1 λ3 ) =2(λ1 λ2 + λ0 λ3 )2(λ20 + λ12 ) − 1 =2(λ2 λ3 + λ0 λ1 )2(λ20 + λ23 ) − 1Подробнее смотри [1].3.3 Полная система уравнений движения ЛА.Учитываются обоснованные условия, что конструкция ЛА являетсяабсолютно жесткой (недеформируемой), полет происходит при углахтангажа не равных ±90º, справедлива гипотеза стационарности.

Тогдаматематическая модель БЛА без управляющих сил описывается системойуравнений динамики с размерностью n=12.В системе уравнений (2) приняты следующие обозначения:m - масса ЛА [кг],P ЛА -установки двигателей [°], XЛАЛАтяга двигателей БЛА [Н],  ДВ - угол, Y ЛА , Z ЛАсоответствующим осям ЛА [Н], I xЛА, IyЛА, Iz- силы, действующие поЛА, I xyЛА- моменты инерции33ЛАЛАЛА [кг·м2], Vx , Vy , VzЛА- линейные скорости движения ЛА в связанной СК[м/с],  x ,  y ,  z - угловые скорости движения ЛА [1/с],ЛАЛАЛАЛАЛА ЛА ,  ЛА ,  ЛА -ЛАуглы курса, крена, тангажа ЛА [°], M x , M y , M Z - моменты, действующиевокруг соответствующих осей ЛА [Н·м],XgЛА, Y ЛА  H ЛА , ZgЛА-линейные координаты ЛА в земной СК [м].Это форма записи уравнений движения в перегрузках, существуютоднако и другие формы записи уравнений движения.34  dVx БЛАБЛАБЛАБЛАБЛА   P БЛА  cos  ДВ БЛА  X БЛА y Vz z Vym  dtБЛА mg  sin  dV БЛАБЛАБЛАБЛАБЛА БЛА m y z Vx x Vz P БЛА  sin  ДВ Y БЛАdt БЛАБЛА cos mg  cosm dVz   x ЛА x  Vy   y ЛА  Vx ЛА   Z ЛА  mg  cos ЛА  sin ЛА  dtЛАЛА ЛА dω xЛА dω yЛАЛАЛАЛАI I xy Iz  I y  ωz ωy  xdtdtЛАЛАЛАЛА I xy ω x ω z  M xЛАЛА ЛА dω yЛА dω xЛАЛАЛАЛАII I x  Iz  ωx ωz xy ydtdtЛАЛАЛАЛА I xy ω y ω z  M yЛАЛАЛА ЛА dω zЛАЛАЛАЛАЛАЛА I y  I z  ω x ω y  I xy ω 2y - ω 2x  M zI zdt ЛА dγ  ω ЛА  ω ЛАcosγ ЛА  ω ЛАsinγ ЛА  tg ЛАxyz dt ЛА d  ω ЛАcosγ ЛА  ω ЛАsinγ ЛАzy dtЛАЛАω y cosγ ЛА  ω z sinγ ЛА d dt cos ЛАЛАЛАsin  ЛА cos ЛА  dX gЛАЛА  cos ЛАЛА dt  V x cos cos  V y ЛАЛАsinsin V ЛА cos ЛА sin ЛА  sin  ЛА sin  ЛА cos ЛА  z dH ЛАЛАЛАЛА V x sin  ЛА  V y cos ЛА cos ЛА  V z sin  ЛА cos ЛАdtЛА dZ g ЛАsin  ЛА sin ЛА ЛАЛА  cos ЛАЛА V x cos sin  V y ЛАЛАdtsincosЛАЛАЛАЛАЛАЛА V z cos cos  sin  sin  sin (2)3.4 Сборка модели динамики3.4.1 Исходные данные для интегрирования уравнения движенияДля решения уравнений движения должны быть заданыаэродинамические характеристики самолёта (зависимости Суа = Суа(α,М) иСxa = Сxa(α, М)(рис.

Характеристики

Список файлов лекций