Биард Р.У., МакЛэйн Т.У. Малые БЛА - теория и практика (2015) (1245764), страница 47
Текст из файла (страница 47)
2)Va Воздушная скорость, где Va = | | V a | | (гл. 2)Vg Вектор скорости относительно земли, определяемый как скорость планера относительно инерциальной системы координат (гл. 2)Vg Скорость относительно земли, где Vg = | | V g | | (гл. 2)Vw Вектор скорости ветра, определяемый как скорость ветра относительноинерциальной системы координат (гл. 2)Vw Скорость ветра, где Vw = | | V w | | (гл. 2)wСкорость летательного аппарата в инерциальной системе координат,спроектированная на kb, ось z связанной системы координат (гл. 2, 3)wd Составляющая скорости ветра, направленная вниз (гл.
2)we Составляющая скорости ветра, направленная на восток (гл. 2)wn Составляющая скорости ветра, направленная на север (гл. 2)wi Путевые точки в R3 (гл. 11)wr Воздушная скорость на ось z связанной системы координат: wr = w ww(гл. 2, 4)ww Скорость ветра в инерциальной системе координат, спроектированнаяна kb, ось z связанной системы координат (гл. 2, 4)W* Разделение полосы пропускания (гл. 6)W Совокупность путевых точек (гл. 11)xПеременные, описывающие состояние системы (гл.
5)xlat Переменные состояния, связанные с динамикой бокового скольжения:xlat = (v, p, r, ц, ш)Т (гл. 5)xпрод. Переменные состояния, связанные с динамикой продольного движения:xпрод. = (u, w, q, и, h)Т (гл. 5)X* Коэффициенты пространства состояний, связанные с динамикой продольного движения (гл. 5)262Приложение AyАбс. давленияyАксел.,*yРазн. давленияyGPS,*yгиро.,*yмагнитY*Z*Z(e)z*Выходной сигнал датчика абсолютного давления (гл. 7)Выходной сигнал акселерометра (гл. 7)Выходной сигнал датчика разности давлений (гл. 7)Выходной сигнал приемника GPS, можно получить данные дляшироты, долготы, высоты, курса и скорости относительно земли(гл. 7)Выходной сигнал датчика угловой скорости (гл.
7)Выходной сигнал магнитометра (гл. 7)Коэффициенты пространства состояний, связанные с динамикойпродольного движения (гл. 5)Коэффициенты пространства состояний, связанные с динамикойпродольного движения (гл. 5)Преобразование движения пикселов в движение вектора линиипрямой видимости в системе координат камеры (гл. 13)Коэффициент затухания (гл. 6)ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ BÊâàòåðíèîíûB.1. Кватернион поворотовКватернионы предоставляют альтернативный путь определения положениялетательного аппарата. Несмотря на возражения, что угловое движение летательного аппарата значительно труднее визуализировать, задавая его кватернионами,а не углами Эйлера, кватернионное представление имеет математические преимущества, что делает его предпочтительным при выборе для моделирования динамики многих летательных аппаратов.
Важнее всего то, что представление с помощью углов Эйлера имеет сингулярность, когда угол тангажа и оказываетсяравным ±90°. Физически это означает, что когда угол тангажа составляет 90°,углы крена и рыскания оказываются неразличимы. Математически это означает,что кинематическое состояние, задаваемое уравнением (3.3), оказывается неопределенным, поскольку cos и = 0, когда и = 90°. Представление положения кватернионами такой сингулярности не имеет. В то время как эта сингулярность не является проблемой для подавляющего большинства условий полета, она являетсяпроблемой моделирования при выполнении фигур высшего пилотажа и другихэкстремальных маневров, причем некоторые из которых могут быть непреднамеренными.
Другое преимущество состоит в том, что кватернионная формулировкаоказывается в вычислительном плане более эффективной. Формулировка кинематики воздушного аппарата углами Эйлера включает в себя нелинейные тригонометрические функции, тогда как кватернионная формулировка приводит кзначительно более простым линейным и алгебраическим уравнениям. Подробноевведение в кватернионы и последовательности поворотов приводится в работеКьюперса [127]. Исчерпывающее рассмотрение специфики использования кватернионов для летательных аппаратов приводится в работе Филлипса [25].В самом общем виде кватернион является упорядоченным списком изчетырех действительных чисел. Можно представить кватернион e как векторв R4:æ e0 öç ÷ç e1 ÷e = ç ÷,eçç 2 ÷÷è e3 øгде e0, e1, e2 и e3 являются скалярами.
Когда кватернион используется дляпредставления вращения, требуется, чтобы он был единичным кватерниономили, другими словами, | | e| | = 1.264Приложение BРис. B.1. Вращение, представленное единичным кватернионом. Самолет на рисунке слевапоказан в связанной системе координат, оси которой совмещены с осямиинерциальной системы координат. Самолет слева был повернут вокруг вектора vна ш = 86°. Этому повороту соответствует последовательность Эйлеровых угловш = 90°, и = 15°, ц = 30°Принято обозначать e0 как скалярную часть единичного кватерниона и задавать векторe = e1 i i + e2 j i + e3 k iкак его векторную часть. Единичный кватернион может быть интерпретированкак одиночный поворот вокруг оси в трехмерном пространстве.
Для поворотана угол Q вокруг оси, заданной единичным вектором v, скалярная часть единичного кватерниона относится к величине поворотаQe0 = cos æç ö÷.è2 øВекторная часть единичного кватерниона связана осью поворотаæ e1 öQö ç ÷æv sin ç ÷ = ç e2 ÷.è2 ø ç ÷è e3 øС приведенным здесь кратким описанием кватерниона можно видеть, какположение МБЛА может быть представлено единичным кватернионом. Поворот из инерциальной системы координат в связанную систему координат задается как единичный поворот вокруг указанной оси вместо последовательноститрех поворотов, как это требуется в случае представления положения самолетауглами Эйлера.Приложение B265B.2. Кинематика самолета и уравнения динамикиИспользуя единичный кватернион для представления положения летательного аппарата, уравнения (3.14)—(3.17), которые описывают кинематику и динамику МБЛА, могут быть переписаны в видеæ p& nç p&ç eè p& d222æ 2ö ç e1 + e0 + e2 + e3÷ = ç 2 (e e + e e )3 01 2÷ çø ç 2 (e1 e3 - e2 e0 )è2 (e1 e2 - e3 e0 )e22+e02+e12+e322 (e2 e3 + e1 e0 )2 (e1 e3 + e2 e0 ) ö÷æu ö2 (e2 e3 - e1 e0 ) ÷ ç v ÷,÷ çw÷e32 + e02 + e12 + e22 ÷ è øø(В.1)æ u& ö æç rv - qw ö÷ 1 æç f x ö÷ç v& ÷ = pw - rn +ç f y ÷,÷ç w& ÷ çè ø è qu - pv ø m çè f z ÷ø(В.2)æ 0 - p -q -r ö æ e0 öæ e& 0 öç e& ÷ 1 ç p 0r -q ÷ ç e1 ÷1 =÷ ç ÷,çç& ÷p ÷ ç e2 ÷ç e2 ÷ 2 çç q -r 0÷è e& 3 øè r q - p 0 ø è e3 ø(В.3)æ G l + G4 n ö÷G1 pq - G 2 qrö ç 3æ p& ö æç÷ç q& ÷ = G pr - G ( p 2 - r 2 ) + ç 1 m ÷.6÷ ç Jyç ÷ ç 5÷G 7 pq - G1 qrè r& ø èø ç÷è G4 l + G 8 n ø(В.4)Обратите внимание, что уравнения динамики (B.2)—(B.4) не изменилисьпо сравнению с уравнениями (3.15) и (3.17), представленными в кратком описании главы 3.
Однако при распространении уравнения (B.3) следует обратитьвнимание на сохранение e единичным кватернионом. Если динамика реализуется с помощью s-функции Simulink, тогда одной из возможностей сохранения| | e | | = 1 является изменение уравнения (B.3) таким образом, чтобы дополнительно к обычной динамике также был член, который бы стремился минимизировать функцию затрат J = 1/8 (1 | | e | |2)2. Поскольку J является квадратичной функцией, можно использовать алгоритм градиентного спуска дляминимизации J и уравнение (B.3) становитсяæ 0 - p -q -r ö æ e0 öæ e& 0 öç e& ÷ 1 ç p 0¶Jr -q ÷ ç e1 ÷=÷ç ÷-lç &1 ÷ = çeeqrp022¶e2÷÷ ç ÷ççç ÷è e& 3 øè r q - p 0 ø è e3 øæ l(1 - e 2 )-p-q-rç2çl(1 - e )pr-q1= ç22çl(1 - e )q-rpççl(1 - erq-pèö÷ æe ö÷ ç e0 ÷÷ ç 1 ÷,÷ ç e2 ÷è e3 ø2 ÷) ÷ø266Приложение Bгде l > 0 является положительным коэффициентом усиления, который задаетинтенсивность градиентного спуска.
По нашему опыту значение l = 1000вполне подходит, но в Simulink следует использовать жесткий алгоритм решения, такой как ODE15s. Этот метод для сохранения ортогональности кватерниона во время интегрирования носит название метода контроля ортогональности Горбетта—Райта и был впервые введен в 1950 г.
для применения ваналоговых компьютерах [25, 128].За исключением гравитационных сил, действующих на самолет, все внешние силы и моменты действуют в связанной системе координат самолета и независят от положения самолета относительно инерциальной системы координат. Гравитационные силы действуют в направлении ki, которое может бытьвыражено в связанной системе координат, используя единичный кватернион:æ 2 (e1 e3 - e2 e0 ) öç÷f gb = mg ç 2 (e2 e3 + e1 e0 ) ÷.ç e2 + e2 - e2 - e2 ÷02 ø1è 3B.2.1.
Динамическая модель с 12 состояниями, 6 степенями свободы и единичным кватернионом для представления углового положенияУравнения движения для МБЛА, представленные в разделе 5.1, используют углы Эйлера для представления положения МБЛА. Если вместо этого воспользоваться превосходной численной устойчивостью и эффективностьюпредставления положения единичным кватернионом, то динамическое поведение МБЛА будет описываться следующими уравнениями:p& n = (e12 + e02 - e22 - e32 )u + 2 (e1 e2 - e3 e0 )v + 2 (e1 e3 + e2 e0 )w,(B.5)p& e = 2 (e1 e2 + e3 e0 )u + (e22 + e02 - e12 - e32 )v + 2 (e2 e3 - e1 e0 )w,(B.6)h& = -2 (e1 e3 - e2 e0 )u - 2 (e2 e3 + e1 e0 )v - (e32 + e02 - e12 - e22 )w,(B.7)u& = rv - qw + 2 g (e1 e3 - e2 e0 ) ++rS Проп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
