Воронцов Теория штамповки выдавливанием (1245676), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(4.89) ! !Роизвольную постоянную С4 находим из начального условия р=р» при я=0: С4 = (4.90) Ро(жо 1!одставив равенство (4.90) в выражение (4.89), окончательно найдем: (4.91) В соответствии с системой (2.19) скорости деформаций с учй ом выражений (4.82) и (4.84) будут равны: ~, =я» — — +2Ь— (4.92) =Е = — 05~, 151 11олагая, что в области 2 деформации е= — е,(я), е»=ер(г), аа- ~ »(г), из системы (4.70) находим: Ые, « г (4.93) аео «о =р,—.
Из г г Ь вЂ” — а— 2 е =1п Ф зо зо Ь вЂ” а— Ь2 (4.94) (4.95) ер=ео=- — 0,5е,. Выразим ао через г из соотношения (4.88): аЬз ~0 Ьг(1-е )+аЬе (4.96) Подставляя полученное выражение в формулу (4.94), находим деформацию в зоне 2а: Ь+Ьз(е"" -1) е, =21п дЬе г Подставляя в формулу (4.94) го= — Ь, с учЕтом равенства (4.83) находим деформацию в зоне 2б: е,=1 Ь вЂ” — а— (4.98) 152 Интегрируя уравнения (4.93) с учЕтом выражений (4.82), (4.84), (4.92) и определяя произвольные постоянные из начальных условий при а=хо е,=ер=ео=б, получаем: аЬ 2 ЮП е +а-1 (4.99) Конкретизируем выражения (4.97)-(4.99) для разных вариантов пластического течения: 1) прн свободном течении: аз= — Ье "; (4.100) и зоне 2а (4.101) в зоне 2б е, =1п —— (4.102) 2) при течении с застойной зоной (неопределбнность раскрываем по правилу Лопиталя): (4 103) и зоне 2а е =21п 1+г —; Ь) (4.104) и зоне 2б е, =21п —— (4.105) 3) при затрудненном течении: Ь зз =— 2е0,5п (4.106) 153 Подставляя в формулу (4.88) го= — Ь и делая с учетом равенства (4.83) замену Ь = а — 1, находим осевую координату границы между зонами 2а н 2б: в зоне 2а 7, 045~ 0 за ~ О за 1)+ й (4.107) в зоне 26 я — гл е, =1п 2ь2 (4.108) Подставляя полученные выражения в формулу интенсивности накопленных деформаций (4.109) е,=— 3 можно определить величину накопленной деформации в лю- бой точке очага пластической деформации.
С целью упроще- ния расчетов можно использовать и выражение е,=13!е „! (4.110) 154 Типовой вид эпюр г$ накопленных деформаций показан на рис. 4.1б. Эпюры под торцом пуансона условно показаны прямыми линиями, достаточно близкими к криволинейнымм логарифмическим зависимостям, определяемым формулами (4.100)- (4.108). Некоторые затруднения может вызвать определение накопленных деРис 4,17. К определению накоп- формаций в зонах 1в н 1г ленных дефоРманий в зонах 1в и 1г (р 4 17) щиеся в ннх материальные частицы, имея накопленную де- формацию, полученную в области 2, приобретают дополнительную деформацию, двигаясь в области 1 в образующуюся сгснку стакана. Поэтому в точной постановке сначала необходимо определять пути, пройденные частицей в обеих областях деформации, а затем, по приведйнным формулам, суммарную величину накопленной деформации.
Пусть некоторая материальная частица находилась в начальный момент времени в точке О (координаты точек указаны в скобках). После того, как пуансон совершит рабочий ход, равный з~, данная частица переместится в точку 1, расположенную на границе между областями 1 и 2. Прн дальнейшем коде пуансона, равном зз, частица из точки 1 переместится в точку 3, расположенную на верхней границе пластической области.
Общий ход пуансона к этому моменту будет равен з. Ход з~ найдем из выражения (4.68), подставив в него ра 1; (4.111) Координату гм точки 1 найдем из выражения (4.65), подставив в него з=з~ и г=О: (4.112) з12 = ( +Ч')(р )". Так как в зону 1в поступают частицы из нестационарной зовы 2а, а в зону 1г — из стационарной зоны 26, то подход к определению накопленных деформаций в этих зонах несколько различен. Поэтому определим радиус р' пересечения границы между этими зонами с верхней границей очага пластической деформации (рнс.
4.17), подставив в выражение (4.112) мп гр, где гз определяется при ходе з~=з — зр. (4.113) Далее, используя формулы (4.72) с учетом того, что я=О, 155 зс=гы, Рб=1, полУчим 1 е, =1и 1-1у(а -1) (4.114) еа =1пр. е; =ел +е;2~я=ю, г=ч (4.115) при р>р' е,.=ел+е,. ~ ~а (4.116) В выражении (4.115) величина еьз определяется по выведенным выше формулам для зоны 2а; в выражении (4.116) эта величина определяется по формулам для зоны 2б.
При этом необходимо учитывать, что формула (4.113) имеет смысл лишь после того, как граница между зонами 1в и 1г пересечбт верхнюю грашщу очага пластической деформации, что произойдет при ходе пуансона, определяемом выражением (4.77). При меньшем ходе накопленные деформации определяются по формуле (4.115). Аналогично можно определить величину накопленной деформации и в любой промежуточной точке, например, точке 2, рнс. 4.17). При этом важно знать координаты точек, расположенных на границе между зонами 1в и 1г. Наметим путь их определения.
Подставляя вместо гс в выражение (4.65) соответствующую формулу, определяющую координату г2 в общем виде (формулы (4.100), (4.103) или (4.106)), получаем уравне- ние 15б Подставив выражения (4.114) в формулу (4.109), можно найти деформацию ел, накопленную во время движения частицы в области 1. Затем, находя накопленную деформацию в области 2, определяем суммарную накопленную деформацию в точке 3: при рср' (4.118) еж = ем+ 0,7е,к Далее выполним математический анализ деформированного состояния при стеснйнном выдавливании (рис.
4.18). Рассмотрим область 1, включающую зоны 1а и 1в. Скорости течения частиц металла, согласно выражениям (4.60) и (4.61) с учетом того, что высота Ь=Н зависит от времени г (Н =- Но — мог), будут равны: г о Ч' Ч' Но ~'ог) р ) 2(НΠ— Мог) (4.119) из которого, задаваясь конкретной величиной з, расположенной в интервале между текущими значениями г~ и г~, с учетом формулы (4.62) находим величину з . Так как уравнение (4.117) — трансцендентное, то его решение рационально выполнять численными методами на ЭВМ.
Далее, подставляя найденное значение з в формулу (4.73), находим координату р, соответствующую заданной координате з. Таким образом находим координаты всех точек, расположенных на границе между зонами 1в и 1г. Для определения накопленной деформации в зоне 1в используем соотношение, аналогичное (4.! 15), а в зоне 1г — аналогичное (4.116). Как указано выше, максимальная накопленная деформация на верхней границе очага деформации будет в точке Е (рис.
4.16), положение которой определяется радиусом р' (рис. 4.17). Для упрощения вычислений можно принять, что максимальная накопленная деформация будет в точке Б (рис. 4,16) и определяется приближенной формулой Рао 4.18. Характерные зоны н эпюры распределения накопленных деформаций прн стесненном выдавливании: под торном пуансона: 1 — прн свободном течении; 2 — прн теченнн с застойной зоной; 3 — прн затрудненном течении Подставляя первое выражение системы (4.119) в уравнение ог=з,сй, после преобразований получаем: Иг г тоЧ' = то(1+ Ч') . Но зЪ~ (4.120) Это дифференциальное линейное уравнение первого порядка, решением которого будет г = -(Нс — ъЪт)+ ~5 Фо М (4.121) 158 Находя произвольную постояннуто Сз из начального условия г=гс при ~0 и делая замену зсг=д, окончательно получаем: ко+Но я=-Н +з+ (' й) (4.122) (4.123) Скорости деформаций, в данном случае, равны: с, =ге Но ™ОЕ (4.124) Полагая, что в области 1 деформации е,=е,(с), ер=ер(г), ео=ео(~), из системы (4.70) находим: а~с, сй Ие Р сг (4.125) 159 Аналогично, используя второе выражение системы (4.119) и уравнение Ыр=з й, а также начальное условие р=рс при г=0, находим: Интегрируя уравнения (4.125) с учетом системы (4.124) и определяя произвольные постоянные нз начальных условий е,=Рр=В==0 пРи г — 'о', полУчаем (Учитываа, что Р=Яг), согласно выражению (4.123)): (4.12б) е = — е — е.
р к В' Заметим, что тот же результат получится и при решении уравнений системы (4.70) в частных производных, если, например, положить е,=е,(г,г), поскольку г, согласно выражению (4.121), является функцией от г; Полученные формулы (4.126) применимы для зоны 1а и могут быть использованы для определения накопленных деформаций в зоне 1в (в которую поступают частицы металла из области 2) по приведенной выше методике. Аналогично, используя функции скоростей течения, определяемые системой (4.85), с учетом выражения Ь = Н — рВ~ в области 2 можно получить следующие результаты: 1.
При свободном течении: (4.127) (4.128) 160 2. При течении с застойной зоной: зоНо(Но е) г— (4.129) Н (Н вЂ” ~) — ~~~ Н о(Но з) Но — (Но + яо)е (4.130) 3. При затрудненном течении: — (4.131) (Но е)~о~Но (зо + Но)~Яо: е яо ~Фо е, — 1п И'о+Но)~Яо -е -яо К) (4.132) (Но -~)'НоФо 4.6. УЧЙТ УПРОЧЕНИЯ Для определения влияния упрочнения на удельную деформирующую силу и высоту очага пластической деформации при свободном выдавливании необходимо определить среднее значение накопленной деформации во всем очаге пластической деформации. Расчетная схема представлена на рис. 4.16. С достаточной для практики точностью считаем эпюры накопленных деформаций состоящими из участков, образованных прямыми линиями (можно найти и более точное среднее значение величин накопленных деформаций путем интегрирования полученных в разделе 4.5 выражений).
Так как накопленная деформация в области 2 не зависит 1б1 11ри этом во всех случаях ер=ео= — 0,5е,. Далее величину накопленной деформации можно определять по формуле (4.109) или (4.110). е, +е 1 ( зз)+ екИ+зг) В этой формуле еж и ею определяются по одному из выражений (4.101), (4.104), (4.107) с учетом того, что по формулам (4.95) и (4.109) ес= — е,. Сложнее определить среднюю величину накопленной деформации в области 1, поскольку в ней имеется несколько различных деформационных зон и, кроме того, накопленные деформации зависят от двух координат.
При з<ю величина накопленной деформации в точке А с учетом системы (4.80), третьего выражения системы (4.72) и формулы (4.109) будет равна: ем — — 1,1 55ул . (4.134) При л)~„деформация в точке А перестает расти и с учетом формулы (4.134) и выражений (4.62), (4.77) будет определяться формулой: е,„= 1,1 55 1п(1+ у) . (4.135) Средняя величина накопленной деформации на линии АД (рис. 4.16): е,„( — з~)+ О 5ев(Ь+ з~) — 0 5~1 — ~~ ~ (4.136) ел ~р=лв Ь вЂ” — — е,д, 1) где при з)~ следует принимать а~=О.
Среднюю величину накопленной деформации на грани- 162 от р, то ее среднее значение определяется отношением площади вертикальной эпюры к высоте Ь . Поскольку эпюры 1 и 2 на рис. 4.16 являются частными случаями эпюры 3, верхняя часть которой представляет собой трапецию, а нижняя — треугольник, то для этой общей эпюры с учетом того, что я~<0, среднее значение будет равно: е«~~ <=е,,~„я+е< (4.137) Примем, что изменение осреднйнной по координате величины накопленной деформации в области 1 вдоль радиуса р определяется линейной зависимостью е, =Ь+1<р, коэффициенты которой Ь и Й находятся из условий, что при р:1 е; определяется выражением(4.137), анри р=<< е; опре- деляется выражением (4.136). В результате получим: 1 е, = — 1Я.е«~р < — елыр е+(е«~р я — е,,~р <) р~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
