Воронцов Теория штамповки выдавливанием (1245676), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Начало образования зон с различным деформирован- ным состоянием Рис 4.15. Изменение зон с раз- личным деформированным со- стоянием по ходу выдавливания В зонах 1а и 2а находятся частицы, имеющие разные на- 139 ге. В результате частицы, расположенные вначале на нижней границе очага пластической деформации, сместятся вверх (рнс. 4.14, справа), вследствие чего образуются зоны 16 н 2б, в которых поле деформаций стационарно, поскольку все расположенные в них частицы прошли через нижнюю границу очага, то есть на каждой траектории движения они имеют одинаковые начальные координаты, в частности, координату гв = — Ь. 'Рак как в область 1 поступают частицы не только из ждсткой области, но также и из области 2, то это обуславливает большее перемещение частиц, первоначально расположенных на сС исходной нижней границе, определяемое текущей координатой г~, по сравнению с соответствующими частицами области 2, текущее положение которых определяется координатой гг.
чальные координаты и траектории движения, поэтому поле деформаций в этих зонах нестационарно. Частицы из нестационарной зоны 2а перемещаются в соответствующую зону нестационарных деформаций 1в. Аналогично частицы из стационарной зоны 2б перемещаются не только вверх, но и в соответствующую зону стационарных деформаций 1г. Таким образом, в самом общем случае при свободном выдавливании образуется 6 зон с различным деформированным состоянием.
Примерное искажение волокна ВГ, разграничивающего деформированные зоны области 1, показано на рис. 4.14, справа (подробное определение геометрических параметров этого волокна будет рассмотрено в разделе 5.3). При определенной величине рабочего хода з,„(рнс. 4.15, слева) зона 1а будет полностью вытеснена в образующуюся стенку стакана, после чего поле деформаций вблизи поверхности матрицы (зона 16) полностью станет стационарным, так как все расположенные здесь частицы будут проходить до выхода в стенку стакана один и тот же путь, начальная координата которого яс= вЂ Ь .
Однако какой бы большой ни была величина рабочего хода, зона 2а хотя и будет уменьшаться (рис. 4.15, справа), но никогда полностью не исчезнет (ее исчезновение означало бы осадку до нулевой толщины материала, первоначально расположенного в области 2 (рис. 4.14, слева), что принципиально невозможно), и, соответственно, не исчезнет и зона 1в. Это предопределяет нестационарность поля деформаций вблизи торца пуансона. Граница между зонами 1в и 1г определяет линию с наибольшей величиной накопленных деформаций. Это связано с тем, что эту границу образуют частицы, поступающие с границы между зонами 2а н 2б, имеющей наибольшую накопленную деформацию в области 2.
Следовательно, точка Е пересечения этой линии с горизонтальной границей АБ (рис. 4.15, справа) является точкой с наибольшей накопленной деформацией в образующейся стенке стакана. Очевидно„что в процессе вьщавливания точка Е будет постепенно но й2 с 0 Я вЂ” 1 (4.56) 141 приближаться к кромке торца пуансона, то есть к точке Б. При выполнении практических расчетов переменность положения точки Е представляет собой определенное 1 неудобство, так как ! требует применения 1 численных методов с ! использованием ЭВМ, усложняемых еще и г, А зз тем, что для определе- 1',2 ния накопленной де- формации в этой точке д 1 ~2 3 необходимо определять путь, пройденный в областях 1 и 2 материальной частицей, Рис 4.1б.
Типовые эпюры накопленных наход ей в ас деформаций: сматриваемый момент под торцом пуансона: 1 — прн свободном теченнн; 2 — прн теченнн с застойной зоной; в точке Е ~оэгому 3 — прн затрудненном течении хотя действительная эпюра распределения накопленных деформаций в поперечном направлении образующейся стенки стакана имеет внд, показанный на рис. 4.16, справа, но для упрощения практических вычислений целесообразно принять, что максимальная накопленная деформация будет в точке Б (горизонтальная эпюра на рис. 4.16, слева).
Теперь применим метод, изложенный в разделе 2.2, для математического исследования деформированного состояния при свободном выдавливании на основе расчетной схемы на рис. 4.14. Полагаем, что исходная заготовка не имеет накопленной деформации. Скорость движения стенки стакана из условия постоян- ства расхода будет равна: Введем коэффициент обжатия, равный отношению площади поперечного сечения пуансона к кольцевой площади стенки стакана: г 1 (4.57) Вг С учетом этого выражение (4.56) примет вид: з'. ="о(1+Ч'). (4.58) В области 1 примем, что осевая скорость течения определяется наиболее простой линейной зависимостью: о, =Аз+В.
(4.59) В=1о —, Ч' Ь и, соответственно„выражение (4.59) принимает вид: (4.бО) Подставив выражение (4.бО) в уравнение (2.3б) можно найти, что радиальная скорость течения „Ч Л() Ы р 1'р = 1о Р+ Из граничного условия ор = О при р = Я следует, что произвольная функция Яз) = "о Ч1 2 2Ь 142 Из граничных условий о, = во при з= — Ь и ю, =-1, при з = О следует, что А=оо(1+Чу) э С учетом этого радиальная скорость будет равна: (4.61) дг ( г1 Г ж ~ ь~' которое приводится к виду: Отсюда — 1п С, 1+ у+ у — = ~у = з . 11отенцируя это выражение и вводя обозначение (4.62) получаем С 1+ у + у — ) = е"'". Ь( (4.63) Произвольную постоянную С~ находим из начального условия г=га при л=О (последнее соответствует эквивалентным условиям г О илн э=О): (4.64) Преобразовав выражение (4.63) с учетом равенства нз С учетом выражений (2.31) и (4.60) напишем дифференциальное уравнение (4.64), окончательно получим: 1+ + ~о (4.65) Далее с учетом выражений (2.31) и (4.61) напишем дифференциальное уравнение котороеприводится квиду: Отсюда с учетом равенства (4.62) 1пС (Я~-р )= — ~ул.
Потенцируя зто выражение, получаем, что С,(Я~ — р ) = е "'" (4.66) Произвольную постоянную Сз находим из начального условия р=ро при л=О: С2= 1 (4.67) Ро Преобразовав выражение (4.66) с учетом равенства (4.67), окончательно получим: (4.68) . Выражения (4.65) и (4.68) определяют положение материальных частиц в области 1 в зависимости от нх начальных,, 144 координат и величины рабочего хода В соответствии с системой (2.19) скорости деформаций с учбтом выражений (4.60) и (4.61) будут равны: 1~/ 07 (4.69) де де, де, Г, = — +р — '+р,— ', дг др ' ду де де де +~ +рг > дг Р др ' дз (4.70) дев деа дев 16 +~р +рг дг 'др 'д Полагая, что в области 1 деформации е,=е,(з) ее=ел(р), ерг ер(р,г), из системы (4.70) находим: ди~ у Э гЕ ="р дев др дар д0р Р+ р ' др " дз (4.71) 145 С другой стороны, в условиях осевой симметрии скорости деформаций выражаются через компоненты тензора деформаций: Интегрируя систему (4.71) с учетом выражений (4.60), (4.61), (4.69) н определяя произвольные постоянные из начальных условий я=го, р=ра, е,=ер=еа=О, получаем: ев =Ь вЂ”, Р Ро (4.72) е = — е — е р= Для того чтобы найти уравнение границы на участке между зонами 1б и 1г, учтем, что начальная координата точек, образующих эту границу ге= — Ь .
Тогда из выражения (4.65) е -чи г 1+ ~~/ + ц/— Ь (4.74) Подставив ро=1 и равенство (4.74) в выражение (4.68), найдем уравнение границы на участке между зонами 1б н 1г: (4.75).' Координата г1 границы между зонами 1а н 16 определя-,' ется из выражения (4.65) подстановкой в него зо= — Ь: 14б На участке между зонами 1а и 1в радиус границы не за- „ висит от г и определяется подстановкой рр=1 в выражение (4.68): р = ~Ф' -7Е-~~;" . (4.73) (4.76) з„= — 1п(1+ ~р) . Ь Ч' (4.77) Выразим ро и зо через р и з из соотношений(4.65) и (4.68): р,= А'-Ф'-р')е'"; (4.78) ! 1одставляя полученные выражения в систему (4.72), находим деформации в зоне 1а: е, =ул, 1 р' еа = — 1п 2 Я вЂ” (Н вЂ” р )е"'" (4.80) Подставляя в систему (4.72) хо= -Ь и выражение (4.78) с учйгом равенства (4.74), находим деформации в зоне 1б: (4.81) 1 ев Я~ — (Л~ — р ) 1+~у+у — ) Ь,/ 147 При рабочем ходе пуансона, когда я~=0, зона 1а полностью выходит в образовавшуюся стенку стакана, н поле деформаций в области, примыкающей к стенке матрицы (зона !б), становится стационарным, Соответствующую величину рабочего хода находим из формулы (4.76) с учетом равенства (4,62): г г ~ 1г ~О а +Ь о (4.82) Из граничного условия р, = ро при г = — Ь следует, что безразмерные коэффициенты а и Ь связаны между собой уравнением а+Ь =1.
(4.83) Подставив выражение (4.82) в уравнение (2.36) можно найти, что радиальная скорость течения ( а Ьг ) А(г) 7 = — уа — + — р+ '( 2Ь Ь',) р Из граничного условия рр=43 при р=О следует,что произвольная функция ~г(г)=0. Тогда окончательно получим, что а Ьг) р = — р — — + — ~р. 2Ь Ь (4.84) 148 Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что в зависимости от относительного радиуса матрицы Я и коэффициента трения на поверхности контакта заготовки с торцом пуансона в области 2 могут наблюдаться три различных вида пластического течения: 1) свободное течение (аналог — осадка с сохранением боковой цилиндрической поверхности, то есть без бочкообразования); 2) течение с застойной зоной, то есть с полным отсутствием перемещений материальных частиц на поверхности контакта с торцом пуансона (аналог — осадка с застойной зоной, приводящей к сильному бочкообразованию); 3) затрудненное течение, представляющее промежуточный случай (аналог — осадка с умеренным бочкообразованием).
Для того чтобы иметь возможность описать три варианта течения, примем, что осевая скорость течения в области 2 определяется более сложной, чем в области 1, квадратичной зависимостью с безразмерными коэффициентами а и Ь, удовлетворяющей граничномуусловию р:= 0 при г=О: Конкретизируем коэффициенты а и Ь в выражении (4.84) с учетом соотношения (4.83) и упомянутых выше вариантов пластического течения: 1) присвободномтечении а=1, Ь=О(сохранениецилиндрической поверхности означает, что скорость рр не должна зависеть от з); 2) при течении с застойной зоной а=О, Ь=1 (это следует из условия рр=О при я=О); 3) при затрудненном течении а=0,5, Ь=0,5 (здесь приняты средние арифметические значения коэффициентов а и Ь с учетом вариантов 1) и 2); при необходимости уточнения можно получить зависимость этих коэффициентов от коэффициента трения на поверхности контакта заготовки с торцом пуансона, как это сделано нами при анализе операции осадки 1441).
Так как в общем случае рр одновременно зависит нот р и от г, то для определения текущего положения материальных частиц в области 2 требуется решение системы дифференциальных уравнений, которая с учетом выражений (2.31), (4.82) и (4.84) имеет вид: сЫ ( г г) о й Ь Ь2 (4,85) Первое уравнение системы (4.85) приводится к виду: Птаода 149 Потенцируя, получаем с( (4,.86) Произвольную постоянную Сз находим из начального условия г=го при и=О: о (4.87) Ьго Второе уравнение системы (4.85) с учетом равенства (4.88), а также того, что ~Ъ Й~ = — = — Й, Ь Ь приводится к виду: 1 Ьг 2 Ьго(1 — е )+аЬе"" ) После разделения переменных получаем в интегральной фор- ме: ..1 Ьго р '~ 2 Ьго + (аЬ вЂ” Ьго)е'" ) Интегрируя, приходим к уравнению 1пС,р = 1+ — 1 е"" — —, которое сводится к виду: 150 Преобразовав выражение (4.8б) с учетом равенства (4.87), окончательно получим: (4.88) Ьгс(1 — е"") + аЬе'" оп 1п ! 1отенцируя зто выражение, получаем: с4р= 1 1+ — '"-1е"" .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
