Рассел С., Норвиг П. Искусственный интеллект. Современный подход (2-е изд., 2006) (1245267), страница 95

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 95)

Например, нельзя найти очевидного способа закончить следующее высказывание с определением понятия человек: чх Рехяоп(х) К счастью, логика первого порядка позволяет использовать предикат Рехяоп, не определяя его полностью. Вместо этого можно записывать частичные спецификации свойств, которыми обладает каждый человек„и свойств, которые идентифицируют некоторый объект как человека: 'ч'х Регяоп(х) => жх ...

~ Рехяоп(х) Аксиомы могут также представлять собой просто "голые факты", такие как )Ча1е(тйт) и Яроияе(тйт, Ьаига) . Такие факты формируют описания конкретных экземпляров задачи, что дает возможность находить ответы на конкретные вопросы. Ответы на эти вопросы представляют собой теоремы, которые следуют из аксиом. Но часто приходится убеждаться в том, что ожидаемые ответы получить не удается, например, можно было бы ожидать, что удастся вывести логическим путем факт Рета1е(ьаиха) из аксиом ?ча1е(сеохде) и яроияе(сеапде,паиса), но данный факт не следует как теорема из этих аксиом.

Такая ситуация свидетельствует о том, что в базе знаний не хватает какой-то аксиомы. В упр. 8.8 предлагается предоставить эту аксиому. 36) Глава 8. Логика первого порядка Числа, множества и списки По-видимому, числа представляют собой наиболее яркий пример того, как может быть построена крупная теория из крошечного ядра аксиом. В этом разделе будет описана теория 1в. натуральных чисел, или неотрицательных целых чисел. Для этого потребуется предикат ))гас))лип, который будет принимать истинное значение при использовании параметра, представляющего собой натуральное число; кроме того, требуется один константный символ, О, и один функциональный символ, д 1зцссеззог— преемник). 1в.

Аксиомы Пеано определяют натуральные числа и операцию сложения". Натуральные числа определяются рекурсивно: Ыагы п(О) Мп ггасиит(п) ~ иаеыига(я)п)) Это означает, что Π— натуральное число и для каждого объекта п, если и — натуральное число, ь(п) — натуральное число. Поэтому натуральными числами являются О, Ы) О ), Я) Б) О ) ) и т д. Необходимы также аксиомы для ограничения действия функции определения преемника: Чи О и й(а) ути л а и ~ л(т) а 5<и) Теперь мы можем определить операцию сложения в терминах функции определения преемника: Чга ГГаеГГига(га) ~ + (О,л) = т )Гт,п ггасгги~п(га) л д)асгГиги(п) ~ +(5(п),п) = я)+)п,п) ) В первой из этих аксиом утверждается, что сложение числа О с любым натуральным числом га приволит к получению самого числа и.

Обратите внимание на использование бинарного функционального символа "~" в терме а ) О,ю); в обычной математике такой терм принято записывать в виде О+и с использованием Ъ. инфиксной системы обозначений, (Система обозначений, которая используется в этом разделе лля логики первого порядка, называется гв префиксной.) Чтобы бьшо удобнее читать высказывания, касаюшиеся чисел, здесь будет также разрешено использовать инфиксные обозначения. Кроме того, мы можем записывать как Я)'и) как пч 1, поэтому вторая аксиома принимает следующий вид: 1)ги, и згаеггип)ю) л ггаед)иы)и) => (лн 1);-и = (амп) -~1 Эта аксиома сводит сложение к повторному применению функции определения преемника. Такое использование инфиксных обозначений представляет собой пример применения 'а.

синтаксического упрошения, т.е расширения или сокрашения стандартного синтаксиса, при котором семантика не изменяется. Любое высказывание, в котором используются такие сокрашения, может быть "разупрошено*' для получения эквивалентного высказывания в обычной логике первого порядка.

После определения понятия сложения становится простой задача определения умножения как повторного сложения, возведения в степень как повторного умно- г Аксиомы Пааво включают также принцип индукции, который представляет собой высказывание логики второго порядка, а не логики первого порядка. Важность этого различия объясняется в главе 9. 362 Часть (П.

Знания и рассуждения жения, целочисленного деления и определения остатков отделения, формулировки понятия простых чисел и т.д. Таким образом, вся теория чисел (включая такие ее приложения, как криптография) может быть сформирована на основе одной константы, одной функции, одного предиката и четырех аксиом. Проблемная область 'ъ. множеств также является фундаментальной не только лля математики, но и для рассуждений на уровне здравого смысла. (В действительности на основе теории множеств может быть также построена теория чисел.) Необходимо иметь возможность представлять отдельные множества, включая пустое множество.

Кроме того, требуется способ составления множеств с помощью добавления элемента к множеству или применения операции объединения или пересечения к двум множествам. К тому же необходимо знать, входит ли некоторый элемент в состав множества, и иметь возможность отличать множества от объектов, не являющихся множествами. В качестве синтаксического упрощения в данном разделе будет использоваться обычный словарь теории множеств. Пустое множество представляет собой константу, которая записывается как (1.

Применяется также один унарный предикат, Бес, который принимает истинное значение, если его фактическим параметром является множество. Бинарными предикатами являются х я э (х — элемент множества э) и э, ~ э, (э, — подмножество, не обязательно строгое, множества э,). В качестве бинарных функций применяются э, г~ я, (пересечение двух множеств), э, и э, (обьединение двух множеств) и (х) э) (множество, полученное в результате присоединения элемента х к множеству я).

Один из возможных наборов аксиом приведен ниже. 1. Единственными множествами являются пустое множество и множества, полученные путем присоединения некоторого элемента к множеству. Х)а яяе (я) е~ (а = () ) " ())х, я2 Бас (52) л я = (х( я2) ) 2. Пустое множество не имеет присоединенных к нему элементов, иными словами, не существует способа разложения множества ялрсуяес на меньшее множество и еше один элемент: ))х, а (х) а) = () 3.

Присоединение к множеству элемента, уже имеющегося в этом множестве, не оказывает никакого эффекта: ()х,а х я а <~ а = (х(а) 4. Единственными элементами множества являются элементы, которые были к нему присоединены. Мы выразим эту мысль рекурсивно, утверждая, что х— элемент множества э тогда и только тогда, когда э эквивалентно некоторому множеству я„к которому присоединен некоторый элемент у, где либо ) совпадает с х, либо х является элементом э,: Чх,я х а а (=~ (Фу,Б2 (э = (у(я2) л (х = З ' х а аз))) 5. Множество является подмножеством другого множества тогда и только тогда, когда все элементы первого множества являются элементами второго множества: Х)яы яз яь с аь ( Ф ()Гх х е яь ~ х а я2) б.

Два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них является подмножеством другого: ))ад, ап (аь = я~) СФ (э~ ~ аь л аз ~ аь) 363 Глава 8. Логика первого порядка 7. Некоторый объект принадлежит к пересечению двух множеств тогда и только тогда, когда он является элементом обоих этих множеств: )гх,я1,я2 х е (я1 ~"~ яг) аа (х е яг л х е яг) 8.

Некоторый объект принадлежит к объединению двух множеств тогда и только тогда, когда он является элементом того или другого множества: Чх,я1,я2 х е (я1 О я2) аа (х е я1 ч х е я2) 'а. Списки подобны множествам. Различия между ними состоят в том, что списки упорядочены, а один и тот же элемент может появляться в списке несколько раз. Для списков может использоваться словарь ключевых слов ].!зр: И11 — это списокконсганта без элементов; сопя, лррепс(, Ругяс и леяс — функции; Вупс( — предикат, который выполняет для списков такие же функции, какие Иепазег выполняет для множеств. Ььяс? — предикат, принимающий истинное значение только при получении параметра, представляющего собой список.

Как и в случае множеств, обычно принято использовать синтаксические упрощения в логических высказываниях, в которых применяются списки. Пустой список обозначается как [ ] . Терм Сопя ( х, у), где у — непустой список, записывается как [х(у]. Терм Сопя(х, И11) [т е. список, содержащий только элемент х) записывается как [х].

Список из нескольких элементов, такой как [Л, В, С], соответствует вложенному терму Сопя(Л, Сопя (В, Сопя (С, И11) ) ) . В упр. 8.14 предлагается составить аксиомы для списков. Мир вампуса Некоторые аксиомы пропозициональной логики для мира вампуса были приведены в главе 7. Аксиомы первого порядка, рассматриваемые в этом разделе, являются гораздо более краткими и выражают совершенно естественным способом именно то, что требуется описать в этом мире. Напомним, что агент в мире вампуса получает вектор восприятий с пятью элементами. Соответствующее высказывание в логике первого порядка, хранящееся в базе знаний, должно включать данные о результатах восприятия и о времени, в которое они были получены; в противном случае у агента возникнет путаница в отношении того, когда и что он воспринимал.

Характеристики

Список файлов книги