Рассел С., Норвиг П. Искусственный интеллект. Современный подход (2-е изд., 2006) (1245267), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Поэтому логическое следствие, допустимость и другие свойства высказываний определяются в терминах всех возможных моделей и всех возможных интерпретаций. Важно отметить, что количество элементов проблемной области в каждой модели может быть неограниченным, например, элементами проблемной области могут быть целые числа или действительные числа. Поэтому не ограничено количество возможных моделей, как и количество интерпретаций. Проверка логического следствия путем перебора всех возможных моделей, которая была осуществимой в пропозициональной логике, в логике первого порядка больше не может применяться.
Даже если количество рассматриваемых объектов ограничено, количество их комбинаций может быть очень большим. Например, при использовании символов, рассматриваемых в данном примере, сушествует приблизительно 10" комбинаций для проблемной области с пятью объектами (см. упр. 8.5).
351 Глава 8. Логика первого порядка Термы 'пь Терм — это логическое выражение, которое относится к некоторому объекту. Поэтому константные символы также представляют собой термы, но не всегда удобно иметь отдельный символ для каждого отдельного объекта. Например, в естественном языке можно воспользоваться обозначением "левая нога короля Джона", а не присваивать ноге короля имя. Именно для этого и нужны функциональные символы: вместо использования константного символа мы можем написать ьегсьер(гоЛп) . В общем случае сложный терм формируется с помощью функционального символа, за которым слелует заключенный в круглые скобки список формальных параметров данного функционального символа.
Важно помнить, что любой сложный терм — это некоторое подразумеваемое имя, выраженное в сложной форме. Это — не "вызов процедуры", которая "возвращает значение". Не существует такой процедуры ьеьгЬео, которая принимает на входе какого-то человека и возвращает его левую ногу.
Мы можем рассуждать о левых ногах (например, формулировать общее правило, что каждый человек имеет таковую, и на основании этого лелать вывод, что таковую должен иметь Джон), даже не предусматривая определение символа ьеггьед. Это — такая логическая операция, которая не может быть выполнена с помощью процедур в языках программирования4.
Формальное определение семантики термов является несложным. Рассмотрим терм Г( с,, с„). Функциональный символ Г относится к некоторой функции в модели (назовем ее ь); термы с обозначением формальных параметров относятся к объектам данной проблемной области (назовем их с(„..., с)„); а сам терм в целом относится к объекту, представляющему собой значение функции ь; применяемой к объектам с(,, ..., с(„. Например, предположим, что функциональный символ ЬеГСЬеб относитсЯ к функции, показанной в уравнении 8.2, а символ, тоЛп относится к королю Джону; в таком случае ьеггьео(,толп) относится к левой ноге короля Джона. Таким образом, интерпретация определяет для каждого герма соответствующий референт (объект, к которому относится данный терм).
Атомарные высказывания Как было указано выше, термы позволяют ссылаться на объекты, предикатные символы — на отношения, а при их совместном использовании формируются атомарные высказывания, позволяюгцие констатировать факты. Атомарное высказывание состоит из предикатного символа, за которым следует заключенный в круглые скобки список термов: Вгоедег(лдсдехх), Годп) 4 Х-выражения представляют собой удобные обозначения, которые дают возможность формировать новые функциональные символы "динамически".
Например, функция, которая формирует квадрат своего формального параметра, может записываться как () х ххх) и применяться к формальным параметрам точно так же, как и любой другой функциональный символ. Х-выражение можно также определить и использовать как предикатиый символ (см. главу 22).
Точно такую же роль играет оператор тээзэс(а на языке Ызр. Следует отмстить, что использование ).-выражений в такой форме формально не увеличивает выразительную мощь логики первого порядка, поскольку любое высказывание, которое включает Х-выражение, может быть преобразовано путем "вставки" в него соответствующих формальных параметров для получения эквивалентного высказывания. Часть П1. Знания и рассуждения В соответствии с намеченной интерпретацией, приведенной выше, это атомарное высказывание констатирует тот факт, что Ричард Львиное Сердце — брат короля Джона'. Атомарные высказывания могут включать в качестве фактических параметров сложные термы. Поэтому в высказывании Иасстес)(Раепек(лтспакс)),Моепес( Топо)) утверждается, что отец Ричарда Львиное Сердце был женат на матери короля Джона (опять-таки при использовании подходящей интерпретации).
Любое му атомарное высказывание является истинным в данной конкретной модели при дивой конкретной иптсрпретаяии, если оптощепие, на которое ссылаегпся его предикоптый символ, соблюдается среди обьектов, на которые ссылаются его параметры. Сложные высказывания Для формирования более сложных высказываний, как и в пропозициональном исчислении, могут использоваться логические связки.
Семантика высказываний, сформированных с помощью логических связок, идентична семантике, которая рассматривается в пропозициональной логике. Ниже приведены четыре высказывания, которые являются истинными в модели, показанной на рис. 8.1, прн использовании рассматриваемой намеченной интерпретации Всоеиек(ъеЕСЬед(лбспакс)),йобп) Вгогбес(лйспасд,оопп) л Всогпес(ооъп,лтспакс)) Кйпд(ЯЗспакс)) ч Купд(ообп) Кхпд(ябсласд) ~ Ктпд(йоип) Кванторы После определения логики, которая допускает использование объектов, становится вполне естественным стремление к созданию средств, позволяющих выражать свойства целых коллекций объектов, а не перебирать эти объекты по именам. Это позволяют сделать )ж кванторы. Логика первого порядка включает два стандартных квантора, называемых кванторами всеобщности и существования. 11рименение квантора всеобщности ()У) Напомним, с какими трудностями мы сталкивались в главе 7, пытаясь выразить об)цие правила в пропозициональной логике.
С другой стороны, в логике первого порядка квинтэссенцией становятся такие правила, как: "В квадратах, соседних с тем квадратом, где нахолится вампус, чувствуется неприятный запах" и "Все короли являются людьми". Первое из этих правил будет рассматриваться в разделе 8.3, а второе правило, "Все короли являются людьми", записывается в логике первого порядка следующим образом: Чх Кйпд(х) =Ь Ресвоп(х) Квантор Ч обычно произносится как идля всех ...".(Следует помнить, что перевернутая буква ")(" обозначает "а1Г' — все.) Таким образом, в этом высказывании утверждается следующее; "Для всех х, если х — король, то х — человек".
Символ х на- ~ Как правило, мы будем придерживаться такого соглашения об упорядочении параметров, что Р (х, у) интерпретируется как "х представляет собой Р от у". Глава 8. Логика первого порядка 353 зывается Ъ. переменной. В соответствии с общепринятым соглашением в качестве переменных применяются строчные буквы.
Переменная сама является термом и как таковая может также служить параметром функции, например Ледерер(х) . Терм без переменных называется Ж базовым термом. Интуитивно ясно, что в высказывании Чх ., где р — любое логическое выражение, утверждается, что р является истинным для каждого объекта х. Точнее, высказывание чх р истинно в данной модели при данной интерпретации, если выражение р истинно при всех возможных Ъ. расширенных интерпретациях, сформированных из данной интерпретации. где каждая расширенная интерпретация задает элемент проблемной области, на которую ссылается объект х.
На первый взгляд такое определение может показаться сложным, но оно фактически представляет собой лишь формальное определение интуитивного смысла применения квантора всеобщности. Рассмотрим модель, показанную на рис. 8.1, и намеченную интерпретацию, которая ее сопровождает. Эту интерпретацию можно расширить следующими пятью способами: х -а Ричард Львиное Сердце х †> король Джон х -ь левая нога Ричарда х -> левая нога Джона х †> корона Высказывание с квантором всеобшности Чх дупд(х) ~ регяол(х) является истинным при первоначальной интерпретации, если высказывание капо(х) регвоп (х) истинно в каждой из пяти расширенных интерпретаций.
Это означает, что данное высказывание с квантором всеобщности эквивалентно утверждению об истинности следуюших пяти высказываний: Ричард Львиное Сердце — король => Ричард Львиное Сердце — человек король Джон — король ~ король Джон — человек левая нога Ричарда — король ~ левая нога Ричарда — человек левая нога Джона — король ~ левая нога Джона — человек корона — король ~ корона — человек Рассмотрим внимательно это множество утверждений. Поскольку в нашей модели единственным королем является король Джон, то во втором высказывании утверждается, что он — человек, как и следовало ожидать.
А что же можно сказать об остальных четырех высказываниях, в частности о тех, в которых приведены утверждения о ногах и коронах? Являются ли они частью смысла утверждения "Все короли являются людьми"? Действительно, остальные четыре утверждения истинны в данной модели, но не позволяют ничего судить о том, можно ли считать людьми ноги, короны или даже Ричарда. Это связано с тем, что ни один из этих объектов не является королем. Рассматривая истинностную таблицу для связки => (см.
табл. 7.1), можно убедиться в том, что импликация истинна, даже если ее предпосылка ложна, независимо от того, является ли истинным заключение. Таким образом, утверждая истинность высказывания с квантором всеобщности, что эквивалентно утверждению об истинности целого списка отдельных импликаций, мы в конечном итоге утверждаем об истинности правила, выраженного в виде этого высказывания, только для тех объектов, для которых предпосылка является истинной, и вообше ничего не говорим о тех объектах, для которых предгюсылка ложна. Поэтому, как оказалось, 354 Часть П1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
