Рассел С., Норвиг П. Искусственный интеллект. Современный подход (2-е изд., 2006) (1245267), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Знания и рассуждения записи истинностной таблицы, относящиеся к связке ~, являются идеальным способом формулировки общих правил с кванторами всеобщности. Распространенная ошибка, которую часто допускают даже внимательные читатели, которые прочли предыдущий абзац несколько раз, состоит в том, что они используют конъюнкцию вместо импликации. Тогда следующее высказывание: 'чх Кдпд(х) л Регвоп(х) становится эквивалентным таким утверждениям: Ричард Львиное Сердце — король л Ричард Львиное Сердце — человек король Джон — король а король Дхон — человек левая нога Ричарда — король л левая нога Ричарда — человек и т.д. Очевидно, что такой ряд утверждений не передает желаемый смысл.
Применение квантора существования (З) Квантор всеобщности позволяет формировать утверждения о каждом объекте. Аналогичным образом, мы можем формировать утверждение о некотором объекте во вселенной без его именования с помощью квантора существования. Например, чтобы выразить мысль, что на голову короля Джона возложена корона, можно записать следующее; Зх Сгоьп(х) л Оплеао(х,.толп) Квантор существования с переменной Зх читается как; "Существует х, такой, что ...", или "Для некоторого х...".
Интуитивно ясно, что в высказывании Зх р утверждается, будто выражение р истинно по меньшей мере для одного объекта х. Точнее, высказывание Зх ристинно в данной конкретной модели при данной конкретной интерпретации, если выражение Р истинно по меньшей мере в одной расширенной интерпретации, в которой присваивается х одному из элементов проблемной области.
В данном примере это означает, что должно быть истинным по меньшей мере одно из приведенных ниже утверждений. Ричард Львиное Сердце — корона л Ричард Львиное Сердце находится на голове Джона король Джон — корона а король Джон находится на голове Джона левая нога Ричарда — корона л левая нога Ричарда находится на голове Джона левая нога Джона — корона а левая нога Дхона находится на голове Джона корона — корона л корона находится на голове Джона В рассматриваемой модели истинно пятое утверждение, поэтому в ней является истинным само первоначальное утверждение с квантором существования.
Обратите внимание на то, что в соответствии с приведенным выше определением квантора существования это высказывание будет также истинным и в такой модели, в которой на короля Джона возложены две короны. Такая ситуация является полностью совместимой с первоначальным высказыванием'. "На голову короля Джона возложена корона".
ь Применяется также определенный вариант квантора существования, обычно записываемый как 3' нлн л ц который означает: "Существует только один...". Как будет показано в разделе 8.2, тот же смысл можно выразить с использованием утверждений, содержащих знак равенства. 355 Глава 8. Логика первого порядка Итак, логическая связка .=> может рассматриваться как наиболее подходящая для использования с квантором Ч, а логическая связка л естественным образом подходит для использования с квантором Л. В примере, который рассматривался в предыдущем разделе, применение л в качестве основной связки в сочетании с квантором )у приводило к формированию слишком сильного утверждения, а использование связки =ь в сочетании с квантором В обычно приводит к формированию действительно очень слабых утверждений.
Рассмотрим следующее высказывание: Дх Сгонп (х) => Опиеао) (х, Голл) На первый взгляд может показаться, что в этом высказывании вполне успешно передана мысль о том, что на голову короля Джона возложена корона. Применяя соответствующее определение семантики, можно убедиться в том, что данное высказывание лекларирует истинность по меньшей мере одного из следующих утверждений: Ричард Львиное Сердце — корона => Ричард Львиное Сердце находится на голове Джона король Джон — корона => король Джон находится на голове Джона левая нога Ричарда — корона => левая нога Ричарда находится на голове Джона и т.л. Итак, импликация истинна, если и предпосылка, и заключение являются истинными, или если ложна ее предпосылка.
Поэтому, если Ричард Львиное Сердце— не корона, то первое утверждение истинно и выполняется высказывание с квантором существования. Таким образом, высказывание в форме импликации с квантором существования истинно в любой модели, содержащей объект, для которого предпосылка импликации является ложной, поэтому полобные высказывания фактически не несут почти никакой информации. Вложенные кванторы Часто возникает необходимость сформировать более сложные высказывания с использованием нескольких кванторов. Простейшим является случай, когда кванторы относятся к одному и тому же типу.
Например, утверждение: чбратья — это люди, связанные братскими родственными узами", может быть записано следующим образом: )(х Х)у Вгоеьег(х,у) =-> Б1Ь11пд(х,у) Послеловательно применяемые кванторы могут быть записаны как один квантор с несколькими переменными. Например, чтобы выразить мысль о том, что родственные отношения между людьми, связанными братскими узами, являются симметричным, можно составить следующее высказывание: Чх, у Б1Ь11пд(х, у) еь 51Ыдпд(у, х) В других случаях возникает необходимость в использовании сочетания разных кван- торов. Например, строка из песни "Ечегубо()у )очез зогпеЬо()у" ()каждый кого-то любит) означает, что для каждого человека существует кто-то, кого этот человек любит: )гх Зу Ьочея(х,у) С другой стороны, чтобы сформулировать утверждение "Есть некто, кого любят все", можно записать следующее: )(у Лх Ботев(х,у) 356 Часть П1, Знания и рассуждения Таким образом, порядок расположения кванторов очень важен.
Он становится очевиднее после вставки круглых скобок. В высказывании Ух (Зу борев (х, у) ) утверждается, что каждый имеет конкретное свойство, а именно то свойство, что его кто-толюбит. Сдругой стороны, в высказывании Лх (зуу ьопев(х,у) ) утверждается, что некто в мире имеет конкретное свойство, а именно свойство быть любимым всеми.
Если два квантора используются с одним и тем же именем переменной, может возникнуть некоторая путаница. Рассмотрим следующее высказывание: 'тх [сгсьчт(х) и (Зх вгоспег(лзс)загс(, х) ) ] Здесь к переменной х в атомарном высказывании вгос)тег()(йс)загс), х) применяется квантор существования. Общее правило состоит в том, что переменная приналлежит к самому внутреннему квантору, в котором она упоминается; это означает, что такая переменная не может стать субъектом действия любого другого кван- тора'.
Еше один способ анализа приведенного выше высказывания состоит в следующем: Бх Вгос)тег(лйс]загс, х) — это высказывание о Ричарде (о том, что у него есть брат), а не о переменной х, поэтому размещение квантора 1(х за пределами данного высказывания не оказывает на него никакого действия, и оно могло быть равным образом записано как Лг Вгос)зег(лзс)загс], я) . Но поскольку такая ситуация может стать источником путаницы, в подобных обстоятельствах мы всегда будем использовать разные переменные. Связь между кваиторами ту и 3 Кванторы ~у и 3 фактически тесно связаны друг с другом через отрицание. Утверждение о том, что никто не любит пастернак, равносильно утверждению о том, что не существует никого, кто бы его любил, и наоборот; ух ьт)сея(х, Рагапзра] эквивалентно высказыванию Лх ьзхеа(х, Рагапзра) По такому же принципу может быть сформирована более сложная конструкция; например, выражение "Все любят мороженое" означает, что нет никого, кто не любил бы мороженое: ух ьз)сея(х, гсесгеат] эквивалентно высказыванию зх ьз)сеа(х, тсесгеат] Поскольку квантор У фактически определяет в универсуме объектов конъюнкцию, а квантор Л определяет дизъюнкцию, нет ничего удивительного в том, что они подчиняются правилам де Моргана.
Правила де Моргана для высказываний с кван- торами и без кванторов приведены ниже. УхРвЛхР Рл Да (Рч Д) ' Тем не менее сохраняется возможность обеспечить взаимодействие кванторов с испальзованием переменной с одним и тем же именем, которая послужила побудительной причиной разработки нескалько замысловатого механизма применения расширенных интерпретаций в семантике высказываний с кванторами.
В данном примере более интуитивно очевидный подход, при котором выполняется подстановка обьектов вместо каждого вхождения переменной х, становится неесушестяимым, поскольку значение переменной х в атомарном высказывании вгс снег (аз с(загс], х) в результате такой подстановки будет "закреплено". Расширенные интерпретации позволякп справиться с этой ситуацией правильно, поскольку присяаивание значения переменной х во внутреннем кванторе перекрывает присваивание, выполняемое во внешнем квэнторе.
Глава 8. Логика первого порядка 357 -~Чх Р и Вх ~Р -1(Р л Р) а — Р х -лР )(х Р а -~Эх Р Рл Ра — 1( Рх Р) охра )(х Р рх (7а ( — Рл (7) Таким образом, в действительности нет необходимости иметь одновременно кванторы Ч и Л, так же как фактически не нужны обе связки л и м. Тем не менее удобство для чтения важнее, чем зкономия выразительных средств, поэтому мы будем пользоваться обоими этими кванторами. Равенство В логике первого порядка прелусмотрен еше один способ составления атомарных высказываний, отличный от использования предикатных символов и термов, как было описано выше. Для составления утверждений о том, что два терма ссылаются на один и тот же объект, может использоваться Ж символ равенства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
