Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет (2007) (1242426), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Данная задача известна (см. гл. ! 3) как задача построения формирующего фильтра и сводится (см. ранее) к следующему. Если требуется сформировать некоторый коррелированный по времени случайный процесс «(г) с заданными характеристиками (математическим ожиданием, корреляционной функцией или спектральной плотностью), воздействующий на динамическую систему, удовлетворяющую модели вида гтгТ Яя( Ш) = ~(1+ Т' шг) ' гггТ(1+ ЗТг шг) 2п(1+ Та шг)г * (16.21) (!6.22) где ш — частота, имеющая размерность с '. Уравнения формирующего фильтра, моделирующего поле турбулентности атмосферы и соответствующие (16.2! ) и (! 6.22), будут иметь вид для продольной составляющей: хПЬ) = ~И), хг(!) = х!(г) = Кг„х!(г) + Ь!Ч(!), (16.23) где Кг. = — Т ', Ь! = о,ъ/2Т ', дпя поперечной (боковой) составляющей: х1(!) = иг), х!(!) =- хг+ Ь!9(1), хг(!) = К р х! + Кг, хг + Ьг9(!), (16.24) где К~ = — Т г; К~ = — 2Т з; Ь! = г/„ЛТ ', Ьг = (1 — 2т/3) х х п,Т з/г Выгоды применения метода формирующего фильтра особенно проявляются при реализации его на ЭЦВМ, в частности, при определении характеристик рассеивания на основе метода статистических испытаний.
Вместе с тем следует подчеркнуть, что обсуждаемый метод относится к числу приближенных методов моделирования 609 турбулентности. До высот Н = 500 м величина Т, = Н при полете над равниной и / = 2Н вЂ” над холмистой местностью и горами. При движении ЛА на больших высотах /, существенно зависит от климата и метеорологических условий в рассматриваемой области воздушного пространства над земной поверхностью. Принято считать, что при о, < О, 5 м/с турбулентность является слабой, а при и, ) 2,5 м/с — сильной. Соотношениям (16.19) и (16.20) отвечают выражения для спектральных плотностей продольной и поперечной составляющих тур- булентности случайных процессов.
Наиболее надежным способом контроля точности моделирования случайного процесса на основе алгоритма формирующего фильтра принято считать статистическую обработку моделируемых реализаций !122). 16.2. Характеристики точности попадания в цель Непрерывная случайная величина может принимать любое значение на числовой оси. Не имеет смысла говорить о вероятности, с которой она принимает то или иное отдельное значение. Вместо это~о целесообразно рассматривать вероятность попадания значения величины в соответствующий интервал числовой оси.
При этом случайная величина будет считаться заданной, если для любого заданного интервала числовой оси известна вероятность нахождения ее в этом интервале. Если ориентироваться на введенное ранее допущение о независимости отклонений ЛЬ и ЛВ, а также учесть, что при проектировании СУ аппаратов баллистического типа следует обеспечить «развязку» каналов управления для исключения взаимной корреляции отклонений по указанным направлениям, то в отсутствие смещения центра группирования, обусловливаемого систематическими ошибками, выражение плотности вероятности двумерного нормального распределения, имея в виду (16.5), может быть представлено [51, 101, 114) в виде 1 Л2,' ЛВ'1 г"( ЛЬ, ЛВ) = ехр ~ — —, — ~. (16.25) 2коьоп ~ 2сф 2оц ~ Возможность использования приведенного выражения в практике расчетов подтверждается большим опытом обработки результатов пусков БР, доказывающим справедливость применения к обсуждаемому явлению рассеивания центральной предельной теоремы (ЦПТ) теории вероятностей (строго говоря, речь идет о группе теорем, известных под названием «центральной предельной теоремы»).
Суть ее заключается в том, что при суммировании достаточно большого числа случайных величин, подчиняющихся различным законам распределения, закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному (закону Гаусса) при соблюдении некоторых условий. Зги условия, которые математически формулируются различным образом, в более или менее общем виде сводятся 6!О к требованию, чтобы влияние на сумму отдельных слагаемых было равномерно малым, т.е.
чтобы в состав суммы не входили члены, явно преобладающие над совокупностью остальных по своему влиянию на рассеивание суммы. Возможные формы ЦПТ отличаются между собой теми условиями, для которых устанавливается это предельное свойство суммы случайных величин 119).
Следствием принятия гипотезы о нормальном распределении является справедливость следующих утверждений: ° для нормального закона математическое ожидание и дисперсия (либо эквивалентная ей характеристика СКО, о = х'Д(х)), являются исчерпывающими характеристиками, т. е. они полностью определяют этот закон, тогда как в случае других законов распределения кроме этих двух характеристик необходимо определять моменты третьего и более высоких порядков; ° за максимальное (предельное) отклонение может быть принято такое значение, когда вероятность Р получения больших по абсолютной величине отклонений достаточно мала и составляет для принятого в практике проектирования БР правила трех сигм (т~ х 3 гз ) Р = 0,003 (при более строгом подходе имеем 2, 698 о = 2, 7 о с вероятностью Р = О, 007); ° предельное отклонение для закона Гаусса удобно характеризовать не СКО (универсальной характеристикой рассеивания вне зависимости от рассматриваемого закона распределения), а вероятным (срединнит) отклонением Е, под которым понимается половина ширины полосы (участка), симметричной относительно оси ординат, проходящей через центр группирования, вероятность попадания в которую составляет 0,5; ° сечениями поверхности плотности двумерного нормального распределения плоскостями, параллельными МВВ (где М вЂ” точка, определяемая математическими ожиданиями отклонений), являются эллипсы Е равной плотности.
Вероятные отклонения Е„, отнесенные к направлению дальности и боковому, в теории стрельбы принято обозначать через Вь и Вв. Тогда, переходя от СКО к вероятным отклонениям, перепишем (16.25) в виде В В "р~ р'~ ' + ) ' ('б2б) 611 где Вь = рт/2 с!ь, Вн = рьГ2пн, а р = В;( с!зъу2) ' = 0,4769— аргумент функции Лапласа Ф! р), для которого она равна 0,5. Эллипс с полуосями Вс и Вл называют эллипсом рассеивания. Вероятность попадания в этот эллипс равна 0,203.
Если рассматривать полный эллипс, полуоси которого определяются предельными значениями 4Вь и 4Вв (правило четырех Е), то вероятность попадания в него будет равна 0,974. Рассмотренные эллипсы равной плотности должны удовлетворять уравнению (16.27) йВ йВ где параметр к — отношение полуосей эллипса к вероятным отклонениям. Вероятность попадания ГЧ в область Е„может быть представлена в виде Р[( ЛЬ, ЛВ) Е Е,) = Д ЛЕ 6В) 4 М)4 ЛВ) = 1л,) пВгВн 2Вьз 2Вгв х й( ЛЬ)4( ЬВ). !16.28) рбмк р6В Произведя замену переменных = и и = д и используя в в полярные координаты и = гсов О, д = тейп О сякобианом преобразования Р(г, О) = г, перейдем от эллипса рассеивания Е„к кругу С„, для которого Р [( Ьь, ЛВ) Е Е„] = 1 — ехр [ — (lс р)з) .
(16.29) Используя методику, изложенную, в !114), покажем порядок перехода к часто используемому в практике оценки точности БР круговому рассеиванию. За меру точности принимают радиус В предельного рассеивания по вероятности Р(Гс ) = а эквивалентного попадания БГ в полный эллипс рассеивания, для которого а = 0,974. 6! 2 Для кругового рассеивания ггь = ов = о и В„ь = В„в = В„. В таком случае й = ЦВч = Н/ рт(2 о и, согласно (16.29), Р(гг) = 1 — ехр — р — 1 ехр г откуда для Р = 0,974 следует, что В =4 В„= 2,7о.
Величина 4В„на уровне 2,7о называется предельным отклонением. Пусть ггь ~ ов. Перейдя к введенным в рассмотрение полярным координатам ЛЬ = гсов 8, ЛВ = тейп 8, 73(т, 8) = т, определим радиус )г эквивалентного круга с = ( ль, ьв:,Гьь' ью = ° < л) . Вероятность попадания в круг С равна Р(В)= (ЛБ, ЛВ)1(ЛБ) ((ЛВ)= ~(т, 8)В(т, 8)Ь)8 = (с) (с) = '...О- [-"'А"" '1" ,г( о2 (т2 ) х ехр — ь в сов28 г(тд8. (16.30) 4 сггь огв Обозначим о„,„х = птах( оь, ов), о~;„= пт)п( оь, ов), а = = о щ/ о„,„„и для определенности примем оь > ов.
Тогда х 1о — г ~ ат, (16.31) т~(1 — а )11 4аг ог (тг(1 аг)) 1 гх (тг(1 аг) где То ~ г г ~ = — ) ехр ~ сов28 г(8 — моди- фицированная функция Бесселя нулевого порядка. Полагая в (16.31) 613 гз(1 — аз) и =, получим 4а оспах и~ 2а Г ( 1+ аз'« Р(и) = з ! ехр ~ — з~ 1о(и) ди, (16.32) (1 - аз) ! ~ 1 а ~ о Дз(1 аз) где и«, —— 4аз «т~ Уравнение (16.32) решается численными методами и сводится к нахождению такого значения независимой переменной и = и а для каждого выбранного параметра «х в диапазоне от О до 1, при котором величина Р(и~) будет достигать заданного уровня вероятности Р„ т.е.
Р(и~) = г, (144). Величину 1о(и) в уравнении (! 6.32) можно получить (114) из решения дифференциального уравнения «1з1о(и) 1 «(1о(и) +— — 1о(и) = О ««из и «(и «11о(и) при начальных условиях 1о(О) = 1, = О. ««и Кроме того, решение может быть получено, если воспользоваться ч=ч и разложением в ряд 1о(и) = ~~, з, ограничиваясь значениями (2~ ьй)2' ч=О п = 5...7. При с -+О двумерное нормальное распределение вырождается в одномерное для ЛГ, или ЛВ и в этом случае и« Р(г«) = — ехр — — ««и, о где и г, = Л/ оь, В частности, полагая Р( ЛГ ( В) = О, 974, имеем и~ = 2, 223 и Л = и ~ оь = 2, 223 с«г.. Радиус круга В = Л г, вероятность попадания в который равна г„определяется из выражения для и ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
