Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет (2007) (1242426), страница 112
Текст из файла (страница 112)
1ь з < 1ы 1(хе~хм, хь- ) = 1(хь~ хь- ), (16.6) т. е. если плотность распределения г'(хь 1ь) зависит только от ординат этого процесса в момент времени 1ь 1 и совершенно не зависит от их значений в прошлом, то такой процесс называется марковским. Именно в этом смысле марковский процесс иногда называют «процессом без последствия». Исчерпывающими характеристиками его являются начальная одномерная плотность (плотность вероятности первой ординаты) ('(хз) и переходная плотность )(хь~хь з). Марковский процесс с независимыми приращениями Х(1), у которого переходная плотность гауссовская, называется нинеровским случайным процессом (процессом случайного блуждания).
С точки зрения свойств совместной плотности распределения стационарные процессы следует трактовать как процессы, у которых плотность распределения вероятностей инвариантна временному сдвигу. Если теперь вспомнить, какие требования предъявляют свойствам стохастических дифференциальных уравнений, нетрудно установить, что процессы, определяемые такими уравнениями, относятся к числу марковских. Достоинство подхода, базирующегося на использовании теории марковских процессов, заключается в том, что в отличие от случайных процессов общего вида использование их существенно упрощает методы анализа процессов и динамики стохастических систем, для исследования которых аппарат корреляционной теории, т.е. теории, оперирующей моментами не выше второго порядка, оказывается недостаточным.
В отличие от линейных стохастических дифференциальных уравнений, для которых условная плотность распределения при заданном нормальном предшествующем состоянии будет отвечать гауссовскому распределению, в нелинейных системах данное условие в общем случае не выполняется. Для нахождения соответствующих условных плотностей распределения используют дифференциальные уравнения в частных производных параболического типа, 603 получившие название прямого и обрангного уравнений Колмогорова. Прямое уравнение Колмогорова еше до его строгого вывода в работе [47] было использовано П.
Фоккером и М. Планком при исследовании диффузионных процессов, поэтому его также называют уравнением Фоккера — Планка — Колмогорова. Применительно к многомерному диффузионному процессу, описываемому векторным стохастическим дифференциальным уравнением, при соблюдении условий гладкости переходная плотность распределения г (под которой понимается плотность вероятности состояния х(1) прн условии, что в предшествуюший момент 1о, принимаемый за начальный, процесс характеризуется состоянием хо) будет удовлетворять обратному уравнению Колмогорова д~ д~ 1 дз)' — = — Г Е,— — — ~ ~гт!я гззя (16.7) д! ~ 'дх, 2 ~- ' 'дх,дх, г=1 га,ь=! с начальным условием ((х, г/хшго) = Ь(х — хо).
В функции аргументов т( т > 1) и х( т) изменение переходной плот- ности описывается прямым уравнением Колмогорова дУ " д 1" дз — = -'~ — У~'гг)+- 7" ( гг,гг о гг) г (!6.8) дт дх!! " 2 дхггдхц г=! га,юг=1 при том же начальном условии. Переходя к стохастическому нелинейному уравнению первого порядка, запишем г1х = Г(х,1)г11+ п(х,г)г11).
(16.9) Относительная безусловная плотность распределения г'(х, 1) для него, вытекаюшая из уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова, будет иметь вид дух,г) д 1 дз дг дх ' ' 2дхз = — — [Г(х,1)7(х,г)) + — — [ п~(х,г)Г(х,1)~ . (16.10) 604 Из (16.10) можно получить [30, 109) уравнения, характеризующие изменение математического ожидания и дисперсии процесса х(С) в функции времени: — т (С) = Р(х,С)((х,С)йх, й д — Д,(С) = 2 (х — т,)Р(х, СЩх, С)дх+ гтэ(х, С) С(х, С) г(х.
(16.11) (! 6.12) Е(х, С)С (х, С)г(х = а(С)т (С) + 6(С), (х — т,)Р(х, С) 1(х, С)йх = а(С)Д,(С), о~(х, С)Г(х, С)г(х = о'(С). Поэтому й — т,(С) = а(С)т,(С) + Ь(С), (16. 13) — Д, (С) = 2а(С)Д. (С) + а (С). Интегрирование полученных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях т,(Со) и Д,(Со) приводит к нахожде- В общем случае нелинейной системы приведенные соотношения являются незамкнутыми, так как входящая под знаки интегралов плотность ) (х, С) диффузионного процесса х(С) неизвестна. Для линейной системы они превращаются в уравнения относительно т (С) и Д (С) и становятся замкнутыми. Действительно, для линейной одномерной системы нию расчетных зависимостей изменений математического ожидания и дисперсии в функции времени. Распространение зависимостей (16.13) и (16.14) на многомерную линейную марковскую систему дает д Ж вЂ” пз„(1) = А(~)пз„(1) + Ь(~), (16.
15) — К„(~) = А(~)К„(~) + К„(!)А'(~) + о'(~)С(~) сг(~), (16.16) где С(1) — интенсивность входного возмущающего воздействия, аппроксимируемого, в частности, белым шумом. В совокупности уравнения (16.15) и (16.16) составляют корреляционную систему уравнений. Будучи независимыми они могут интегрироваться раздельно. Методику практического использования корреляционной системы уравнений рассмотрим на примере вычисления характеристик рассеивания нисходящих пассивных участков траектории полета ракет и снарядов малой дальности. В качестве исходной воспользуемся моделью движения ЛА как материальной точки: т — = — Х вЂ” тз1яп О, г11 40 т'г' — = — тесов О, й пу — = 'г" яп О, и'! дх — = 'г' сов О. й Будем считать, что в момент времени ! = 1о, принятый за начальный, известны значения постоянных т, я, Я,.
Значения Г, О, х, у, с (М), а также р(у) будем рассматривать как случайные переменные с заданными начальными статистическими характеристиками. Обозначим 1Г = х1', О = хз, у = хз, х = хя. Тогда вектор состояния х(1) = (хмхз, хз,хз), а нелинейная правая часть исходной нелинейной модели 606 где 71 = — с,.(ты ха) р(хз)х1Я„,(2т) ' — яв1пхг; 7г= — ях, совка, — 1 (з = хз а1п ха,',(4 = х1 соь' уа. Представим вектор состояния ЛА в виде суммы х(1) = пз„(Г) + + Ьх(1).
Далее, используя рассмотренные правила линеаризации дифференциальных уравнений движения, линеаризуем вектор-функцию Г(х, ~) в окрестности х(~) = гп„(г). В результате получим Г(х,~) = Г(гп„,г) + А(пз„,1) Ах(~), где А(пз„, ~) = (дт'(х, ~),1дх)„— квадратная (4 х 4) матрица частных производных (якобиан) вектор-функции Г(х, г) по составляющим х(Г). Тогда ~1 — (тп„+ Ьх) = Г(тп„,1) + А(тп„,1) Ах(г), й откуда в результате усреднения непосредственно находим й гй — пз„(С) = Г(тп„,1).
Определив значения математических ожиданий для опорного движения, переходим к уравнению возмущенного движения в окрестности средней траектории ~1 — х(~) = А(тп„, ~) Лх(г), и'г на основе которого составляем уравнение для расчета корреляцион- ной матрицы вектора состояния х(г): д — К„(~) = А(гп„, ~)К„ (~) + К„(~)А'(гп„, ~). Й При заданных начальных условиях гп„(1о), К„(~о) совместное интегрирование корреляционной системы уравнений позволяет получить пз„(~) и К„(г) для любого текущего момента времени, а также для г = г„соответствующего точке падения.
Если ЛА в процессе полета находится под воздействием случайных возмущений, которые по своей природе существенно отличаются от процессов типа «белый шумна аппроксимация их стационарным случайным процессом с постоянной спектральной плотностью приводит к слишком большой ошибке. Возникает необходимость разработки алгоритма, позволяющего преобразовать процесс типа «белый 607 — х(() = А(!)х(1) + «(1), Й (!6.!7) воспользуемся некоторой дополнительной моделью, отвечающей дифференциальному уравнению ( ! 6.18) Динамическая система, состояние которой описывается уравнением (16.18), называется формирующим фильтром (см. п.
13.4). В уравнении (!6.!8) приняты следующие обозначения: К~ — матрица коэффициентов усиления формирующего фильтра; д(1) — возбуждающий (порождающий) процесс; «(1) белый шум. Наиболее полно и наглядно достоинства метода формирующего фильтра проявляются ( ! 22] при анализе движения ЛА в турбулентмой атмосфере (123). При решении подавляющего большинства баллистических задач можно принять, что в пределах некоторой области пространства, в которой рассматривается движение ЛА, поле турбулентности будет изотропным.
В рамках корреляционной теории исчерпывающе характеризуют изотропное поле корреляционные функции поперечного (бокового) и продольного перемещений — К,( т) и К,( т). Их выражения имеют вид К ( т) = гг~~ ехр( — ~ т~ Т ), (16. 19) К,( т) = с!~ '(1 — ~ т((2Т) ~) ехр( — )т~Т !), (16.20) где о~ характеризует интенсивность турбулентности; Т = ТХ '— время прохождения ЛА участка с масштабом турбулентности Е. Масштаб турбулентности определяет уровень корреляции между воздушными порывами в различных точках пространственного поля шум» в случайный «(!) с заданными статистическими характеристиками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
