Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.Л. Теория ракетных двигателей. 1980 г. (1241533), страница 32
Текст из файла (страница 32)
11) дх ду г ду е=У(1. у) (13. 12) где т=ч —" — Е (и'о'); ду л м уз= — — — Е (уо') +их. ср ду 1,=1+ и92. В соответствии с формулами (12.14) члены уравнений, содержащие пульсационные составляющие, могут быть записаны в виде -Е(и'ю')=т), —, — (1'а')=а, —, 'ду ду ны плотность конвективного теплового потока д«,— — ()./ср) (д1/ду),, и касательное напряжение трения т„=«1(ди/ду)„. Однако, чтобы полученная система уравнений была замкнутой, необходимы выражения, устанавливающие взаимосвязь между средними параметрами потока н пульсационными составляющими. Решение задачи о расчете параметров в пограничном слое в строгой постановке в настоящее время невозможно.
Обычно вводят многочисленные упрощающие допущения и предположения, поэтому для обоснования принятых методов расчета решающее значение имеет эксперимент. Для анализа структуры пограничного слоя большое значение имеет уравнение баланса энергии турбулентных пульсаций. Согласно этому уравнению конвективный перенос турбулентности со средней скоростью потока уравновешивается генерацией турбулентности при неоднородной средней скорости, диссипацией турбулентности и «диффузией» турбулентности в пространстве (под влиянием пульсаций давления и молекулярной вязкости).
Экспериментальное исследование вклада каждой составляющей показывает, что в пограничном слое можно выделить три характерные области; тонкий слой вблизи стенки, промежуточную область и область во внешней части пограничного слоя. В пристеночном слое существенно влияние молекулярной вязкости, диффузии турбулентности и диссипации энергии; в промежуточной области главными статьями баланса энергии являются генерация турбулентности и ее диссипация, которые примерно уравновешивают друг друга, влияние других составляющих баланса энергии мало. Промежуточная зона является основной зоной турбулентного пограничного слоя с большим градиентом средней скорости.
Во внешней части градиент средней скорости становится малым, главными статьями баланса энергии являются диффузия турбулентности и диссипация. Широкое распространение в теории пограничного слоя получила полуэмпнрическая теория пути смешения Праидтля. Согласно этой теории для турбулентных коэффициентов вязкости и теплопроводности справедливы формулы ч~,=дЯди/ду~; Х= с,й1,1 ~ди/ду), (13. 14) где 1, 1~ †дли пути перемешивания для импульса н температуры. Для вычисления значений 1, 1~ предложены различные формулы, например, 1=Ау, 1~ =1, 1=0,4. На основе анализа экспериментальных данных о структуре пограничного слоя В.
М. Иевлевым (34] развита полуэмпирическая теория пограничного слоя высокотемпературных потоков, которая применима для решения широкого круга задач. Основу теории составляет применение уравнений баланса: энергии турбулентности и квадрата пульсаций энтальпии <1'з>. Для промежуточной части пограничного слоя делается предположение, что генерация энергии турбулентности и величины <1м> примерно равны их диссипации. Это предположение несправедливо для пристеночного слоя, однако в этой области т1, и а, невелики, поэтому ошибки в их определе- 152 нни не сильно повлияют на суммы т)+т), и а+а,. Оно несправедливо также и для внешней части пограничного слоя, но в этой области малы градиенты ди/ду и д(/ду, поэтому ошибки в т), и ат не очень существенны, На основе сделанного предположения и применения экспериментальных данных для определения эмпирических констант В.
М. Иевлевым получены следующие формулы; — "' = — 3,8+ 14,4 4- (13. 15) л, 1 Г 1 о~г' — — + ~гг — + 1,23 — ~6,67+ — ~ Рг ~Г Ргт т ( т/ где 1, — масштаб турбулентности; т,=т)т/Гб т=т)/О. При 11,/и()' т/0)1)~ 1, т. е. вдали от стенки, нз формул (13.15) получается те=1, )/т/О, что совпадает с формулой Прандтля. Следовательно, для обеспечения согласия расчетов по формулам (13.15) с опытными данными необходимо вдали от стенки считать величину 1, равной «длине пути смешениям Прандтля, Можно, например, вычислять 1, по формуле Никурадзе для трубы, заменив в этой формуле радиус трубы толщиной погравичного слоя б: 1/3 = 0,14 — 0,03(1 — И/3)т — 0,06 (1 — у/3)4 (13.16) или воспользоваться другими предлагавшимися в литературе эмпирическими зависимостями для 1„ например, 1,=0,4 у.
Таким образом, уравнения (13.8) — (13.12) и (12,14) совместно с зависимостями (13.15) — (13.16) образуют замкнутую систему дифференциальных уравнений в частных производных. Эту систему при заданных граничных условиях можно решить численно на ЭВЛ4. 13.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ИМНУЛЬСОВ И ЭНЕРГИИ Интегральные соотношения выражают законы количества движения н сохранения энергии в пограничном слое.
Их можно получить интегрированием по у уравнений (13.9) и (!3.11) с учетом граничных условий и уравнения неразрывности (13.8). Используя формулы для условных толщин (13.2) и (13.3), можно записать интегральные соотношения импульсов и энергии в виде (О г Ой )+Олгаойее(1+0 ) — "=/э (13. 17) ох (МО и/т'3 *)=/тч" (13. 18) где Ив= йе/йее — формпараметр. Вывод интегральных соотношений удобно рассмотреть на примере вывода интегрального соотношения энероии. Умиожиы уравнение (13.3) на йь уравнение (!3, 11) на г и сложим их. 133 (13.21) (13. 23) где Кео=ц„йЕ/и,„; Š— некоторый характерный размер, например радиус минимального сечения сопла г; х=х/Е; г=Д//..
Таким образом, из системы дифференциальных уравнений в частных производных получена два обыкновенных дифференциальных уравнения (13.24) и (13.25), которые содержат пять неизвестных: а, аг, Нз, Кее* и Кег ° Поэтому для замыкания системы необходимы дополнительные соотношения, задаваемые на основезкспсримеитальных и теоретических данных. Благодаря тому, что порядок уравнений (13.24) и (13.25) ниже, чем порядок исходных дифференциальных уравнений (13.8) — (13.12), уравнения вида (13.24) и (13.25у широко используются в расчетах и при обработке эксперимеапальных данных. В то же время эти уравнения в отличие от В результате получим .д, д д дх дн ду ' — (!огци) + — (1егцо)=- — (гдо) зз.. Уравнение неразрывности (13.8) умножим теперь на энтальпию торможения вне пограничного слоя 1ьноторая не зависит от х и у: д д — (1егпи) + — (Гсгпо) = О. (13.20) дх ду Из уравнения (!3.20) вычтем уравнение (13.19), разность энтальпий 7е — 1е представим в виде Иа — о1ь где оТе=1й — 1,„.
В результате будем иметь д - д д дх 1(д1о д1о) гци) + 1Жо — дто)гцо~ = (1уо). ду ду Интегрирование уравнения (13.21) по у в пределах толщины пограничного слоя бт с учетом граничных условий и формулы (13. 3) приводит к соотношению (13. 18). Примерно в такой же последовательаости выводится интегральное соотношение импульсов.
Введем в рассмотрение характерные числа Рейнольдса, записанные по условным толщинам пограничного слоя: (13. 22) ъ чл а также безразмерные коэффициенты а и ат, пропорциональные соответственно коэффициенту трения и критерию Стантона: а= =г ° аг= %т уз Ц„й' ' Цзйа1о где т)я — некоторый характерный коэффициент вязкости, не зависящий от х.
С учетом введенных параметров Ке*е, Кег, а и ат интегральные соотношения импульсов и энергии можно преобразовать так: дйеее =+(1+Н*) = =+ Ке*э = — =аРе; е йее* дй аэ Ф 1п г дх й Фх дх диет" Нег да1о -д1п г — += =о+Кег — =агКео,'ф (13. 25) дх ато дх дх системы (13.8) — (13.12) не позволяют непосредственно найти распределение параметров внутри пограничного слоя.
Зависимости вида (13. 26) а=~(йе*«); аг= г" (йег, Рг) получили название законов трения (сопротивления) и теплоо б м е н а. Наиболее просто такие законы удается получить обобщением экспериментальных и расчетных данных для случая обтекания пластины несжимаемой жидкостью прн й=сопз1 и Т„=' = сопя(. Дозвуковые и сверхзвуковые течения газа обладают рядом особенностей, отличающих их от течений несжимаемой жидкости. Однако если рассматривать только вопросы трения, теплообмена и диффузии в пограничном слое без скачков уплотнения, то между течением несжимаемой'жидкости и газом качественных различий не обнаруживается. Основные различия — количественные, и характеризуются они видом зависимости свойств поперек пограничного слоя от энтальпии (температуры) и давления.
Это справедливо и для смесей газов, в том числе и для диссоциированных. В работах В. М. Иевлева показано, что законытрения итеплообмена для турбулентного пограничного слоя консервативны к изменению граничных условий, поэтому законы трения и теплообмена, полученные при Т„=сопз1 и й=сопз1, представляется возможным распространить на более сложные граничные условия. Более того, в качестве основных могут быть взяты данные для несжимаемой жидкости с постоянными физическими свойствами, а затем с помощью различных поправок они могут быть скорректированы на другие виды физических сред. Сжимаемость и изменение свойств рабочего тела поперек пограничного слоя обычно учитывают двумя методами. По методу определяющей температуры физические параметры, входящие в критерии подобия (Ке, 31, Рг), относят к некоторой «определяющей» температуре, способ вычисления которой выбран на основании сопоставления расчетных и экспериментальных данных.