Magnich_L_N__Molchanov_V_Ya_-_Akustoopticheskie_u (1239102), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Под решением дифракционной задачи будем понимать определение напряженности поля дифрагированного света по известной напряженности поля падающегосвета и звуковому полю. Наиболее просто решение находится, если падающая волна — плоская. Этот случайбудет рассмотрен в двух следующих параграфах.Однако понятие плоских волн является не более чемфизической абстракцией. Приборы имеют дело с огран"12ценными в пространстве световыми и звуковыми пучками и именно эти реально существующие взаимодействующие поля определяют их характеристики. В § 1.7решим дифракционную задачу для монохроматическихрасходящихся световой и звуковой волн и на основаниианализа полученных соотношений в следующих параграфах рассмотрим основные характеристики важнейшего класса акустооптических приборов: дефлекторови модуляторов.1.3. Дифракция плоской световой волны.Режим Рама на—НатаВ этом параграфе найдем напряженность дифрагированного поля в режиме Рамана — Ната для плоскоймонохроматической волны, падающей на акустическийстолб конечной ширины, следуя традиционному методурешения волнового уравнения в возмущенной среде, развитому еще в классических работах Рамана иНата [10] и впоследствиииспользованному как в акустооптике [7, И], так ив голографии толстых ре- >шеток [12].
Решение длябрэгговской дифракции будет рассмотрено в следуюрч^ fo L Ύщем параграфе.Предположим, что в прозрачной изотропной средеВДОЛЬ ОСИ X системы коор- рис. ι.β. Геометрические соотДИНат XYZ (рИС. 1.6) распро- ношенияпри дифракции плоскойстраняется бегущая акустисветовой волныческая волна, ограниченнаяразмером L по оси У.
Акустическая волна вызывает периодическое изменение диэлектрической проницаемостисреды ε по закону ε=εο+Δε8ΐη(Ωί—КХ) (го — диэлектрическая проницаемость среды в отсутствие акустического поля; t — время; Δε — амплитуда возмущенной части диэлектрической проницаемости).Пусть слева на область акустического поля падаетпод углом θ в плоскости AT плоская световая волна.Будем считать, что угол θ отличен от угла Брэгга бв.1.3Распространение световой волны в области возмущенной акустическим полем диэлектрической проницаемости (области взаимодействия) описывается уравнениями Максвелла и материальными уравнениями. В немагнитной среде они связывают между собой векторынапряженностей электрического поля Е, магнитного поля Η и электрического смещения D и в отсутствие токови объемных зарядов имеют видго1Н=(1/с)Г,(1.6)rot Е = -(1/с) Η,(1.7)divD=0,(1.8)divH=0,(1.9)Γ=εΕ,(1.10)здесь с — скорость света в вакууме.Продифференцируем уравнение (1.6) по времени иподставим в него выражение для D из (1.10); к уравнению (1.7) применим операцию rot.
Исключая rot H изпреобразованных таким образом уравнений (1.6) и(1.7), получимrot rot Ε + (1/с а ) (d2fdt2) (ε Ε) = 0.2Используя тождество rot rot = grad div — V ,последнее уравнение к виду— (l/c 2 )(^/^ 2 )( s E).приведем(1.11)Применяя тождество divab = a d i u b + b grada к материальному уравнению (1.10), с учетом (1.8) получаемs d i v E + Egrads^O.(1.12)Предположим, что падающая волна линейно поляризована, так что электрический вектор Ε перпендикулярен плоскости падения (рис.
1.6). Тогда скалярное произведение E g r a d e — О и (1.11) с учетом .(1.12) в окончательной форме примет видd*EfdX* + d*EldY*=[(llc*)[(d*ldt*) (eE).(1.13)Нужно отметить, что сделанное выше ограничениена поляризацию световой волны не является принципиальным. Па это обстоятельство обратил внимание еще14Когельник [12], который рассмотрел также и ортогональную поляризацию. Согласно [12] при малых углахпадения θ поле волны с электрическим вектором Е, лежащим в плоскости дифракции, также удовлетворяетуравнению (1.13).Уравнение (1.13) есть волновое уравнение для электрического поля в среде с возмущенной диэлектрической проницательностью. Следуя [7] и [10], решениеволнового уравнения будем искать в виде совокупностиплоских волн, распространяющихся в направлении дифракционных максимумовЕ=-f (Αβίπβ — m/C)]^— [ЛУсодв]},(1.14)где Em(Y) — амплитуда дифракционного максимума тго порядка с частотой ω + mQ.
Предположим, что амплитуды Em(Y) — медленно меняющиеся функции координаты, так что вторыми производными d^Em(Y)/dYzв (1.13) можно пренебречь. Далее с учетом того, чтоQ<Co, и собирая в .(1.13) коэффициенты при экспонентах и приравнивая их нулю, получаем систему уравнений)£ w (7),(1.15)где т = 0, ±1, ±2,(1.16)Наибольшее значение θ ограничено расходимостью звуковой волны A/L. Если расходимость звуковой волнынастолько велика, что sin9 m ax>^sin θ , то в уравнении(1.15) членом газтбв в соответствии с работой Рамана — Ната [10] можно пренебречь.
Легко видеть, что такое допущение соответствует параметру Q<Cl. В этомпредположении решение (1.15) имеет вид [8]K t g ( 9 / 2 )- / *15где /m — функция Бесселя m-ro порядка; EQ — амплитуда падающей волны. Для интенсивности /ш m-го дифракционного максимума (интенсивность определяется, какобычно, формулой 1т=ЕтЕ*т, знак * обозначает комплексное сопряжение) при Y=L в режиме Рамана — Ната получаем следующее выражение:где χ— ЛХ tg(6/2) ; /° — интенсивность падающей волны.1.4. Дифракция плоской световой волны. Режим БрэггаРассмотрим более подробно решение волнового уравнения (1.13) в режиме дифракции Брэгга, следуя работам [11] и [12].
При дифракции Брэгга полями всехдифракционныхпорядков кроме первого и нулевогоможно пренебречь. Будем считать, что в возмущеннойсреде распространяются только две волны: падающаяEQ(¥) и дифрагированная Ει(Υ).Решение волнового уравнения (1.13) будем искатьв виде (1.14) для /п=0; 1. В этом случае (1.14) сведетсяк видуΕ = EQ (Υ) exp {i (orf + k sin θ X — k cos Щ ++ E, (Y) exp {i [(ω -f Ω) t -f (k sin θ — Κ) Χ — k cos 6У]},(1.18)а система уравнений (1 15) — к двум уравнениямdE%(Y)/dY = tEl(Y)l2,dE, (Y)ldY + f p£, (У) = - ξ£. (У) /2,(1.19)(1 .20]где $ = K (sin θ — sin 6 B )/cos θ, величина ξ определяетсяиз (1.16).Уравнения (1.19) и (1.20) называются уравнениямисвязанных волн.
Физический смысл их заключаетсяв том, что они определяют зависимость между амплитудами падающей и дифрагированной волн при их распространении в возмущенной среде. Уравнение (1.19)показывает, что изменение падающей волны определяется величиной дифрагированной волны. Из уравнения(1.20) следует, что изменение дифрагированного поля16зависит как от амплитуды поля падающей волны, таки от амплитуды поля дифрагированной волны.
Величинаξ зависит от изменения диэлектрической проницаемостиΔε и определяет степень связи между волнами. В отсутствие акустического возмущения (Δε=0) ξ—0 и уравнения (1.19) и (1.20) становятся независимыми.Система уравнений связанных волн (1.19) и (1.20)легко решается при граничных условиях Ei(Q)=0 и£ 0 (0)=Е° (£°—амплитуда волны, падающей на областьвзаимодействия).
Решение системы относительно E\(Y)дает выражение для амплитуды брэгговского максимума- sin θ) 2(sin Θ Β - sin θ)(''и для его интенсивностиsin2Л с о з б V>2 + (sin 9 Б - s i n 6 ) 2ЗдесьΙΡ=(Λ/2λ)(Δβ/β).(1.23)Как следует из (1.22), интенсивность дифрагированногосвета зависит от изменения диэлектрической проницаемости Δε и от угла падения Θ. Если свет падает подуглом Брэгга: Θ=ΘΒ, для интенсивности дифрагированного поля имеем простое выражение/ 1 = Г sin 2 (тшЩЯ0 cos ΘΒ) (Δε/ε),( 1 .24)где λο — длина световой волны в вакууме; /г — показатель преломления. Интенсивность света в нулевом максимуме /о можно определить из решения уравнения(1.19) и (1.20) или из очевидного равенства: /о— /° — /ι.Фактически /0 есть интенсивность волны, прошедшей через акустооптическое устройство (дефлектор, модулятор) без изменения направления.Выражение (1:24) показывает, что интенсивностьдифрагированного света /ι возрастает по мере увеличения длины взаимодействия L, в то время как уменьшается интенсивность прошедшего света /0.
Наконец, при2-35717дбсИШеййй некоторой длины дифрагирует весь падающий свет. Начиная с этого момента прошедшая и дифрагированная волны по сути дела меняются местами, ипри дальнейшем увеличении L соотношения между ихинтенсивностями изменяются в том же порядке. В этомсмысле прошедшая и дифрагированная волны совершенно равноправны. Следует еще раз подчеркнуть, чтосоотношения, полученные в этом параграфе, справедливы только для плоской 'падающей волны.1 .5. Коэффициент акустооптического качества М%Установим соотношение между изменением диэлектрической проницаемости Δε#_ и величиной акустическоймощности Ра, вызывающей это изменение вследствиеэффекта фотоупругости.
Очевидно, чтогде В — диэлектрическая непроницаемость.Классическая теория фотоупругости устанавливаетследующую тензорную связь между изменением непроницаемости ABij и деформацией кристалла Smi [13]:Щ,- = Рцт1Зт1.(1.26)Коэффициенты pijmi образуют тензор четвертого рангаи называются фотоупругими или упругооптическими.Из (1.25) имеемΔ[(/ι- ϊ ) / / ]Η]Δ(β- 1 ) ί / = Δβ//.(1.27)Соотношение между компонентами тензоров ε и ε"1 находится с помощью следующего выражения:β«ι(Οι/=Α/·(1.28)Дифференцируя выражение (1.28) и умножая результат1на ejfe, получим ΔεηΛ= — εηιΔίε·" )^^. Используя (1.26)и (1.27), получаем соотношение между упругой деформацией, вызываемой звуковой волной, и изменением диэлектрической проницаемости [14]^b*nk=-*i4PllmlSml*lk·(I· 2 9 )Для изотропного вещества, в котором взаимодействуют световая и звуковая волны заданной поляризации,18а также для изотропной дифракции в анизотропных средах выражение (1.29) можно записать в виде, свободномот тензорных обозначений:Δε=— ε2/?5,(1.30)где ρ — действующая фотоупругая константа; 5 — амплитуда деформации.
Акустическая мощность Ра связана с амплитудой деформации, вызванной бегущей звуковой волной, следующим соотношением [9]:Pa = (l/2)Pt;3SS*Ltf,(1.31)где ρ — плотность среды; υ — скорость звука; Я — ширина пьезопреобразователя. Объединяя (1.30) и (1.31),получаеми выражение (1.24) для интенсивности дифрагированного поля примет окончательную формуΛ 0 cos(1-33)^'Величина M2=n6p2/pv3есть комбинация константданного материала, она определяет интенсивность дифрагированного света независимо от размеров пьезопреобразователя и акустической мощности и называетсякоэффициентом акустооптического качества N1%.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
