Семинары 4 семестр Часть 2 (1238809)
Текст из файла
СЕМИНАРЫ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ВЕСЕННЕГО СЕМЕСТРАМОСКОВСКОГО ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА.ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ.Преподаватель: Семендяев Сергей Вячеславович.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра1СЕМИНАР №7.УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА И СКОБКИ ПУАССОНА.Указатель литературы.Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической динамике. 3-е издание. – М.: Наука, 2001.................................................................. §9, с.58-60Айзерман М.А.Классическая механика.
– М.: Наука, 1974, 1980. .................................................................................................................... Маркеев А.П. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1990...............................................................................................................................
Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. ............................. §7, 10 с.51-55, 66-70Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. 2-е издание – М.: Наука, 2001. . ...................................................................................... -Переходим к темам второго задания. Необходимо обязательно ходить на лекции погамильтоновой механике, т.к. задание чисто теоретическое.В подходе Гамильтона рассмотрение ведется в расширенном фазовомпространствеq, p, t , где pi =∂L- обобщенный импульс.
Эти переменные еще называют∂qiгамильтоновыми.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра2Рассматриваются голономные системы, для которых существует функция ЛагранжаL , удовлетворяющая требованию: det∂2 L≠ 0 (Требование обратимости перехода∂qi ∂qkот лагранжевых t , q, q переменных к гамильтоновым t , q, p ).Функция Гамильтона (Гамильтониан):nΗ ( q, p, t ) = ∑ pi qi |q =Ψ ( q , p ,t ) − L ( q, q, t ) |q =Ψ ( q , p ,t )i =1где запись qi = Ψ ( q, p, t ) означает, что qi должны быть выражены через переменныеq, p, t , что можно сделать с помощью соотношения pi =∂L= f ( t , q, q ) .∂qiКанонические уравнения Гамильтона (гамильтонова система):∂Η⎧⎪⎪ q i = ∂pi, i = 1, n .⎨∂Η⎪ pi = −⎪⎩∂qiЭти уравнения удобны для вычислительной техники, а также с точки зренияаналитического решения, т.к.
разрешены относительно производных второгопорядка. Также им на помощь приходят первые интегралы движения.Первым интегралом уравнений Гамильтона называется функция f (q, p, t ) , котораяпри подстановке в нее любого решения q(t ), p(t ) системы Гамильтона сохраняет какфункция t свое значение: f (q(t ), p(t ), t ) = f (q0 , p0 , t 0 ) = const .Количество всех функционально независимых первых интегралов: 2n .Первые интегралы можно найти без вычислений, например, через циклическиекоординаты.Координата q k называется циклической, если функция Гамильтона (а значит иЛагранжиан) от нее не зависит явно, т.е.∂Η∂L= 0 (или= 0 ).∂qk∂qkЦиклической координате q k соответствует первый интеграл pk = Ck = const - импульс.При введении m циклических координат порядок системы Гамильтона понижаетсяна 2m единицы. Чем больше циклических координат, тем больше можем понизитьпорядок системы.С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра3Пример. Для центрального поля, если координаты декартовы - Π (x, y, z ) . Еслисферические - Π (r ) , т.е. в сферических координатах θ и ϕ - циклическиекоординаты.Η совпадает с полной энергией, когда система натуральна (тогдаL = T2 + T1 + T0 − Π ) и склерономна (тогда T = T2 ). Тогда можно записатьгамильтониан Η = Τ + Π , выраженный через p и q . Система натуральна, еслисуществует обычный либо обобщенный потенциал. Если система, кроме того,склерономна, то вся кинетическая энергия в Τ2 . Если она, кроме того, еще иконсервативна, то полная энергия сохраняется Η = h ,dΗ ∂Η=. Таким образомdt∂tясен физический смысл Гамильтониана: для натуральных склерономныхсистем он совпадает с полной энергией, а для консервативных более того –сохраняется.Задача С.19.24.RR sin θϕθRθϕ□ Система реономна R = R(t ) .L=()m 2R + R 2θ 2 + R 2 sin 2 θϕ 2 − mgR cos θ2pθ =∂L= mR 2θ∂θpϕ =∂L= mR 2 sin 2 θϕ∂ϕ⇒ θ=ϕ=pθ,mR 2pϕmR sin 2 θ2.С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра4nΗ ( q, p, t ) = ∑ pi qi |q =Ψ ( q , p ,t ) − L ( q, q, t ) |q =Ψ ( q , p ,t ) .i =1pϕ2pϕ2pθ2m ⎛⎜ pθ2Η=+−+mR 2 mR 2 sin 2 θ 2 ⎜⎝ m 2 R 2 m 2 R 2 sin 2 θ⎞⎟ + mgR cos θ − m R 2⎟2⎠m 2R можно было не писать, т.к. Η определяется с точностью до аддитивной2функции от времени, а у нас R = R(t ) .⎞pϕ21 ⎛⎜ pθ2⎟ + mgR cos θ = h .Η=+2m ⎜⎝ R 2 R 2 sin 2 θ ⎟⎠pθ = −2∂Η 1 pϕ cos θ=+ mgR sin θ .∂θ m R 2 sin 3 θpϕ = −∂Η= 0.∂ϕpϕ = Cϕ и Η = h - первые интегралы.Η (θ , Cϕ , pθ ) = h (ушла явная зависимость от t ).Кстати, можно выразить pθ = 2mR h − 2m gR cos θ −2θ=23Cϕ2sin 2 θ.pϕpθ=,ϕ.■mR 2mR 2 sin 2 θЕсть еще одна возможность приобретения первых интегралов – это скобкиПуассона:n⎛(ϕ ,ψ ) = ∑ ⎜⎜ ∂ϕ ∂ψi =1⎝ ∂qi ∂pi−∂ϕ ∂ψ∂pi ∂qi⎞⎟⎟ .⎠Свойства:1.
(ϕ ,ψ ) = −(ψ , ϕ ) ;⎛m⎞m⎠i =12. ⎜ ∑ λiϕ i ,ψ i ⎟ = ∑ λi (ϕ i ,ψ i ), λ = const ;⎝ i =13. ((ϕ , f ),ψ ) + (( f ,ψ ), ϕ ) + ((ψ , ϕ ), f ) = 0 (тождество Пуассона);4.∂ (ϕ ,ψ ) ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ψ,ψ ⎟ + ⎜ ϕ ,=⎜∂t⎝ ∂t⎠ ⎝ ∂t⎞⎟.⎠Через скобки Пуассона можно сформулировать критерий того, что некотораяС.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра5функция f - интеграл уравнений Гамильтона.Для того чтобы f была первым интегралом необходимо и достаточно, чтобыnndf ∂fdf ∂f∂f∂f=+( f ,H) = 0 (=+∑qi + ∑pi = 0 , и учесть уравнения Гамильтона).dt ∂t i =1 ∂qidt ∂ti =1 ∂piЕсли для элементов векторного пространства определена бинарная операция (•,•) ,удовлетворяющая условиям 1-3, то пространство есть алгебра Ли.
Другим примеромалгебры Ли является трехмерное векторное пространство с операцией векторногоумножения.Понятие скобки Пуассона полезно тем, что дает возможность по двум первыминтегралам простыми вычислениями подсчитать еще один первый интеграл.Теорема Якоби-Пуассона. Скобка Пуассона (ϕ ,ψ ) от первых интеграловгамильтоновой системы есть первый интеграл той же системы.Пример. Пусть Η = h - первый интеграл, а q1 - циклическая координата, тогда p1 = C первый интеграл.
Скобка Пуассона от них: ( p1 , H ) = 1 ⋅∂Η= 0 . Цепочка остановилась,∂q1новый первый интеграл не получить.Кроме того, нас интересуют независимые первые интегралы.Есть еще один способ получения первых интегралов, основанный на отделимыхкоординатах.Координата q k называется отделимой, если от нее и от соответствующего ейимпульса функция Гамильтона зависит следующим образом:Η = Η ( t , z , q1 ,.., qk −1 , qk +1 ,.., qn , p1 ,.., pk −1 , pk +1 ,.., pn ) , где z = f ( qk , pk ) .Циклическая координата q k - частный случай отделимой координаты:z = f (q k , p k ) = p k .Теорема.
Отделимой координате q k соответствует первый интеграл z = f (q k , p k ) .Пример. Отделение переменных в Η ( f 2 ( f1 (q1 , p1 ), q 2 , p 2 ), p3 , q 4 , p 4 ) дает четыре первыхинтеграла: f1 (q1 , p1 ) = α 1 , f 2 (α 1 , q 2 , p 2 ) = α 2 , p3 = α 3 , Η (α 2 , α 3 , q 4 , p 4 ) = α 4 .
Для каждой изшести скобок Пуассона этих функций выполняется (•,•) = 0 , что позволит удвоитьС.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра6количество первых интегралов. (Об этом в §41 краткого курса аналитическойдинамики Г.Н. Яковенко).Через скобки Пуассона уравнения Гамильтона можно записать в виде:⎧ qi = (qi , Η )⎨⎩ pi = ( pi , Η )Пример. В плоскости y, z точка отпущена вниз в поле тяжести с нулевой скоростью.xyzДопустим, есть первые интегралы:x = const , K y = const = p x z − xp z .ijkKo = xpxypyzpzСкобка Пуассона (x, K y ) = 1 ⋅ z = const в соответствии с теоремой Якоби-Пуассона.Но z ≠ const ⇒ противоречие. Ошибка здесь в том, что x и K y не первые интегралы.Задача С.19.41.qi = f i (θ j , t ) , i, j = 1, n .{qi , qi , t} → {θ j ,θ j , t}.piq =∂L.∂qidqi∂f∂f=∑ i θj + i .dt∂tj ∂θ j⎛∂f∂f ⎞L = L⎜ f i , ∑ i θ j + i , t ⎟ .⎜∂t ⎟⎠j ∂θ j⎝p jθ =⎛ ∂L ⎞∂f∂f∂f∂L= ∑⎜⋅ i = ∑ piq i .
⇒ pθ =⎟∂θ∂θ j∂θ ji ⎝ ∂qi ⎠ qi =..., ∂θ jiTpqqi =...С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра7СЕМИНАР №8.ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ.Указатель литературы.Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической динамике. 3-е издание. – М.: Наука, 2001.................................................................. §9, с.58-60Айзерман М.А.Классическая механика.
– М.: Наука, 1974, 1980. .................................................................................................................... Маркеев А.П. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1990...............................................................................................................................
Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. ............................. §7, 10 с.51-55, 66-70Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. 2-е издание – М.: Наука, 2001. . ......................................................................................
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
