Семинары 4 семестр Часть 2 (1238809), страница 2
Текст из файла (страница 2)
-Принцип Гамильтона являет собой пример вариационного подхода к исследованиювопроса: возможно ли движение q ( t ) у конкретной механической системы или такоедвижение реализоваться не может.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра8tt1t0qnq(t )q1Прямой путь – график возможного движения в расширенном координатномпространстве. Окольный путь – невозможного.Действием по Гамильтону называется функционалt1W = ∫ L(t , q, q )dt ,t0для подсчета которого конкретный путь q(t ) подставляется в функцию Лагранжа,полученная функция времени L(t , q(t ), q(t )) интегрируется в заданных пределах t0 ,t1 .Принцип Гамильтона.
Путь q ( t ) является прямым в том и только в том случае,если при любом варьировании q(t , α ) удовлетворяющем q(t 0 , α ) = q 0 , q(t1 , α ) = q 1 ,для вариации действия по Гамильтону на этом пути выполняетсяδW = 0 .Другими словами принцип Гамильтона утверждает, что при любомварьировании с закрепленными конечными точками на прямом путивыполняется∂W (α )= 0,∂α α =0т.е. α = 0 есть стационарная точка функции W (α ) .Тип стационарной точки зависит от наличия или отсутствия на исследуемом путикинетических фокусов.Пример (осциллятор).Возможные решения:q1 ( t ) = A1 sin ωt + B1 cos ωt и q2 ( t ) = A2 sin ωt + B2 cos ωtС.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра9qtТочки нарушения единственности протекания путей в расширенном координатномпространстве– сопряженные кинетические фокусы.Исходим из того, что q1 ( 0 ) = q2 ( 0 ) .0 = B1 − B2 ⇒ B1 = B2 .t ′ : q1 ( t ′ ) = q2 ( t ′ ) ,0 = ( A1 − A2 ) sin ωt ′ ⇒ t ′ =kπω,т.е. через каждые полпериода сопряженные кинетические фокусы.Действие по Гамильтону минимально, когда нет нарушения единственности,т.е.
отсутствуют сопряженные кинетические фокусы.В расширенном координатном пространстве t , q могут быть точки нарушенияединственности протекания путей. В то же время расширенное фазовоепространство t , q, p всегда обладает единственностью протекания путей.tpqВыбор точки в нем однозначно задает траекторию.Пример. С21.13.На рисунке изображены прямой путь (часть косинусоиды) и окольный (частьпараболы с положительным α )q(0 ) = q 0 , q(0) = 0q(t ) =q0ωsin ωt + q0 cos ωt = q0 cos ωtС.В. Семендяев.
Семинары весеннего семестра10qtL=m 2 c 2q − q22q = − q 0 ω sin ωt .TTcc⎛m⎞=W = ∫ Ldt = ∫ ⎜ ( q02ω 2 sin 2 ωt ) − q02 cos 2 ωt ⎟ dt = ω 2 =m22⎝⎠00T⎛m⎛ c⎞⎞ c= ∫ ⎜ ⎜ q02 sin 2 ωt ⎟ − q02 cos 2 ωt ⎟ dt =02⎝ m⎠ 2⎠0⎝Окольный путь: q(t ) = αt (t − T ) + q0 .q (t ) = 2αt − αT .WОК ∨ W ПР ?T2⎞60π 2 q02 ⎞cT ⎛2⎛mW = ∫ ⎜ ( 2α t − α T ) − (α t ( t − T ) + q0 ) ⎟dt = − ⎜ α 2 ( 2π 2 − 5 ) T 2 − 20π 2 q0α +⎟2230 ⎝T2 ⎠⎠o⎝при этом учтено, что ω =2π.TПолучаем параболу относительно α .WОКWWПРWОК = WПРαWОК ≺ WПРПарабола имеет две точки пересечения с осью α , потому что ее дискриминант(D = q02π 2 80 15 − π 2)0.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра11ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ.Для гамильтоновых систем, кроме законов сохранения – первых интегралов – имеютместо законы сохранения особого вида: интегральные инварианты.tC1pqC0Контур C - полный набор начальных данных для уравнения Гамильтона.Каждая точка порождает прямой путь.Получили трубку прямых путей.Интегральное выражение⎛ n⎞J ПК = ∫ ⎜ ∑ pi δqi − Ηδt ⎟⎠C ⎝ i =1носит название: основной относительный интегральный инвариант ПуанкареКартана.
J ПК принимает одно и то же значение по любым двум согласованнымконтурам C0 и C 1 , охватывающим трубку прямых путей, порожденных функцией Η .«Относительный» означает, что инвариантность имеет место, когда интегрированиев J ПК проводится по замкнутому контуру. Инвариантность интеграла ПуанкареКартана может быть положена в основу механики, так как из этой инвариантностивытекает, что движение системы подчиняется каноническим уравнениямГамильтона.Если контур изохронный, т.е.
t = const , то имеет место универсальныйинтегральный инвариант ПуанкареnJ П = ∫ ∑ piδqiC i =1Универсальный значит инвариантный для любой гамильтоновой системы(поскольку Η не входит в выражение).С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра12Инвариантность интеграла Пуанкаре так же может быть положена в основумеханики. Это утверждение является одной из обратных теорем теорииинтегральных инвариантов. Если для некоторой системы дифференциальныхуравнений qi = Qi (t , q, p ), pi = Pi (t , q, p ), i = 1, n имеет место инвариантность интегралаПуанкаре, то эта система гамильтонова, т.е. ∃Η (t , q, p ) : Qi =∂Η∂Η, Pi = −.∂pi∂qiДля интегрального инварианта Пуанкаре-Картана имеется аналогичноеутверждение, только с несколько другой функцией вместо Η .Пример.tC3C1C2C1t = constC12pt = constqC0C 0 - изохронный контур.C1 , C 2 , C 3 - изохронные контуры в одной гиперплоскости t = const .C - неизохронный контур.Трубки прямых путей.Η1 , Η 2 , Η 3Очевидно, J ПC = J ПC , потому что J ПC = J ПC и J ПC = J ПC .1J ПC3 =∫ ∑ p δq = ∫ ∑ ( p δqiiC3J ПC2 =12ii020− Η 3δt ) ,C∫ ∑ p δq = ∫ ∑ ( p δqiiC2ii− Η 2δt ) .CПоэтому J ПC − J ПC = ∫ (Η 2 − Η 3 )δt .
■32CРассмотрим все множество универсальных интегральных инвариантов первогопорядка. «Первого порядка» значит, что в выражение под знаком интеграладифференциалы входят линейно.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра13nJ ′ = ∫ ∑ ( Ai (t , q, p )δqi + Bi (t , q, p )δpi ) .C i =1Теорема Ли Хуачжуна. ЕслиnJ ′ = ∫ ∑ ( Ai (t , q, p )δqi + Bi (t , q, p )δpi )C i =1- универсальный интегральный инвариант, то J ′ = cJ П , т.е.nn∫ ∑ ( Ai (t , q, p )δqi + Bi (t , q, p )δpi ) = c ∫ ∑ piδqiC i =1C i =1где c - постоянная, J П - интегральный инвариант Пуанкаре.nИными словами, интеграл J ′ = ∫ ∑ ( Ai (t , q, p )δqi + Bi (t , q, p )δpi ) является универсальнымC i =1интегральным инвариантом тогда и только тогда, когда при некотором числе cвыполняются условия⎧ ∂Ai ∂Ak,=⎪qq∂∂ki⎪⎪ ∂Bi ∂Bk,=⎨pp∂∂ki⎪⎪ ∂Ai ∂Bk=+ cδ ik⎪⎩ ∂pk ∂qiПример.
С22.4.n⎡⎛q pJ = ∫ ∑ ⎢2qi cos 2 ⎜ i i⎝ 2i =1 ⎣⎤⎞⎟δpi + pi cos(qi pi )δqi ⎥ .⎠⎦⎛q p ⎞2qi cos 2 ⎜ i i ⎟ = qi (1 + cos(qi pi )) .⎝ 2 ⎠Тогдаnni =1i =1J = ∫ ∑ [qi δpi + cos(qi pi )( pi δqi + qi δpi )] = ∫ ∑ [qi δpi + δ (sin (qi pi ))]Т.к. qiδ pi = δ ( pi qi ) − piδ qi , иn∫ ∑ δ (qi pi ) = 0 ,i =1n∫ ∑ δ (sin (q p )) = 0i =1ii(интегралы по замкнутомуконтуру от полных дифференциалов равны нулю), тоnJ = − ∫ ∑ pi δqi . Удовлетворяет условию т. Ли Хуачжуна, c = −1 . ■i =1С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра14Кроме универсальных интегральных инвариантов первого порядка существуют идругие универсальные интегральные инварианты. Например, при помощи формулыnnСтокса находится инвариант второго порядка J П = J 1 = ∫ ∑ pi δqi = ∫∫ ∑ δpi δqi = J 2 .C i =1S i =1Поверхность S не замкнута, поэтому интегральный инвариант называетсяабсолютным.Аналогично имеются универсальные интегральные инварианты более высокихпорядков.Фазовый объем – абсолютный интегральный инвариант порядка 2n (его ещеназывают «полным» или «старшим») J 2 n = ∫ ... ∫ δq1δp1 ...δq nδp n .V (t )Теорема Лиувилля. Пусть правые части системы обыкновенныхдифференциальных уравнений xi = ϕ i (t , x ), i = 1, n , удовлетворяют условиюndivϕ (t , x ) = ∑i =1∂ϕ i (t , x )= 0.∂xiТогда на решениях системы сохраняется величина фазового объема.
Величинафазового объема не меняется при перемещении точек объема по траекториямгамильтоновой системы.Статистический ансамбль – множество систем, у которых совпадают уравненияГамильтона, но различаются начальные данные q0 , p0 . Плотность статистическогоансамбля - ρ (q, p ) =µ, где υ - величина малого объема V , а µ - количествоυнаходящихся в V экземпляров ансамбля. Плотность ρ (q, p ) статистическогоансамбля является первым интегралом гамильтоновой системы.Для консервативной системы любая функция от энергии системы может служитьплотностью статистического ансамбля.Пример С22.22.Η=p2⇒ Уравнения Гамильтона2q = p, p = 0⇒ p = p0 , q = q0 + p0 t .С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра15Очевидно, фазовый объем сохраняется.pxpxββαα0γδx0 γ + αtС.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестраxδ + αt γ + β t δ + β t16СЕМИНАР №9.КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.Указатель литературы.Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической динамике. 3-е издание. – М.: Наука, 2001.................................................................. §9, с.58-60Айзерман М.А.Классическая механика. – М.: Наука, 1974, 1980. .................................................................................................................... Маркеев А.П. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1990...............................................................................................................................
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
